En matemáticas , una categoría C *-autónoma (léase "autónoma en estrella") es una categoría cerrada monoidal simétrica dotada de un objeto dualizante . El concepto también se conoce como categoría de Grothendieck-Verdier en vista de su relación con la noción de dualidad de Verdier .
Sea C una categoría cerrada monoidal simétrica. Para cualquier objeto A y , existe un morfismo
definida como la imagen por la biyección que define el cierre monoidal
del morfismo
donde es la simetría del producto tensorial. Un objeto de la categoría C se denomina dualizante cuando el morfismo asociado es un isomorfismo para todo objeto A de la categoría C .
De manera equivalente, una categoría *-autónoma es una categoría monoidal simétrica C junto con un funtor tal que para cada objeto A hay un isomorfismo natural , y para cada tres objetos A , B y C hay una biyección natural.
El objeto dualizante de C se define entonces por . La equivalencia de las dos definiciones se muestra identificando .
Las categorías cerradas compactas son *-autónomas, siendo la unidad monoidal el objeto dualizante. Por el contrario, si la unidad de una categoría *-autónoma es un objeto dualizante, entonces existe una familia canónica de funciones.
Todos estos son isomorfismos si y sólo si la categoría *-autónoma es compacta y cerrada.
Un ejemplo conocido es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre cualquier cuerpo k que se hace monoidal con el producto tensorial habitual de espacios vectoriales. El objeto dualizante es k , el espacio vectorial unidimensional, y la dualización corresponde a la transposición. Aunque la categoría de todos los espacios vectoriales sobre k no es *-autónoma, se pueden hacer *-autónomas las extensiones adecuadas a las categorías de espacios vectoriales topológicos .
Por otra parte, la categoría de espacios vectoriales topológicos contiene una subcategoría completa extremadamente amplia, la categoría Ste de espacios estereotípicos , que es una categoría *-autónoma con el objeto dualizante y el producto tensorial .
Varios modelos de lógica lineal forman categorías *-autónomas, la primera de las cuales fue la categoría de espacios de coherencia de Jean-Yves Girard .
La categoría de semirretículos completos con morfismos que conservan todas las uniones pero no necesariamente los encuentros es *-autónoma con dualizador la cadena de dos elementos. Un ejemplo degenerado (todos los homsets de cardinalidad como máximo uno) lo da cualquier álgebra booleana (como un conjunto parcialmente ordenado ) hecha monoidal usando la conjunción para el producto tensorial y tomando 0 como el objeto dualizador.
El formalismo de la dualidad de Verdier ofrece otros ejemplos de categorías *-autónomas. Por ejemplo, Boyarchenko y Drinfeld (2013) mencionan que la categoría derivada acotada de haces l-ádicos construibles en una variedad algebraica tiene esta propiedad. Otros ejemplos incluyen categorías derivadas de haces construibles en varios tipos de espacios topológicos.
Un ejemplo de una categoría autodual que no es *-autónoma son los órdenes lineales finitos y las funciones continuas, que tienen * pero no son autónomas: su objeto dualizante es la cadena de dos elementos pero no hay producto tensorial.
La categoría de conjuntos y sus inyecciones parciales es autodual porque el recíproco de estas últimas es a su vez una inyección parcial.
El concepto de categoría *-autónoma fue introducido por Michael Barr en 1979 en una monografía con ese título. Barr definió la noción para la situación más general de las V -categorías, categorías enriquecidas en una categoría monoidal simétrica o autónoma V . La definición anterior especializa la definición de Barr al caso V = Conjunto de categorías ordinarias, aquellas cuyos homoobjetos forman conjuntos (de morfismos). La monografía de Barr incluye un apéndice de su alumno Po-Hsiang Chu que desarrolla los detalles de una construcción debida a Barr que muestra la existencia de V -categorías *-autónomas no triviales para todas las categorías monoidales simétricas V con pullbacks, cuyos objetos se conocieron una década después como espacios de Chu .
En una categoría monoidal bicerrada C , no necesariamente simétrica, todavía es posible definir un objeto dualizante y luego definir una categoría *-autónoma como una categoría monoidal bicerrada con un objeto dualizante. Son definiciones equivalentes, como en el caso simétrico.
