Desigualdad de Grönwall

Teorema matemático

En matemáticas , la desigualdad de Grönwall (también llamada lema de Grönwall o desigualdad de Grönwall–Bellman ) permite acotar una función que se sabe que satisface una determinada desigualdad diferencial o integral mediante la solución de la ecuación diferencial o integral correspondiente . Existen dos formas del lema, una forma diferencial y una forma integral. Para esta última existen varias variantes.

La desigualdad de Grönwall es una herramienta importante para obtener diversas estimaciones en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y estocásticas . En particular, proporciona un teorema de comparación que puede utilizarse para demostrar la unicidad de una solución al problema de valor inicial ; véase el teorema de Picard-Lindelöf .

Recibe su nombre en honor a Thomas Hakon Grönwall (1877-1932). Grönwall es la ortografía sueca de su nombre, pero él lo escribía como Gronwall en sus publicaciones científicas después de emigrar a los Estados Unidos.

La desigualdad fue demostrada por primera vez por Grönwall en 1919 (la forma integral que se muestra a continuación, con α y β como constantes). ^[1] Richard Bellman demostró una forma integral ligeramente más general en 1943. ^[2]

Una generalización no lineal de la desigualdad de Grönwall-Bellman se conoce como desigualdad de Bihari-LaSalle . Se pueden encontrar otras variantes y generalizaciones en Pachpatte, BG (1998). ^[3]

Forma diferencial

Sea un intervalo de la recta real de la forma o o con . Sean y funciones continuas de valor real definidas en . Si  es diferenciable en el interior de (el intervalo sin los puntos finales y posiblemente ) y satisface la desigualdad diferencial ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [a,\infty )}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I^{\circ }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

entonces está acotado por la solución de la ecuación diferencial correspondiente : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t)}$

${\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

Para todos . ${\displaystyle t\in I}$

Observación: No hay suposiciones sobre los signos de las funciones y  . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle u}$

Prueba

Definir la función

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Tenga en cuenta que satisface ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

con y para todos . Por la regla del cociente ${\displaystyle v(a)=1}$ ${\displaystyle v(t)>0}$ ${\displaystyle t\in I}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u(t)}{v(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v(t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}$

Por lo tanto, la derivada de la función no es positiva y la función está acotada superiormente por su valor en el punto inicial del intervalo : ${\displaystyle u(t)/v(t)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}$

que es la desigualdad de Grönwall.

Forma integral para funciones continuas

Sea I un intervalo de la recta real de la forma [ a , ∞) o [ a , b ] o [ a , b ) con a < b . Sean α , β y u funciones de valor real definidas en  I . Supóngase que β y u son continuas y que la parte negativa de α es integrable en cada subintervalo cerrado y acotado de  I .

• (a) Si  β no es negativo y si u satisface la desigualdad integral

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}$

entonces

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• (b) Si, además, la función α no es decreciente, entonces

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

Observaciones:

• No existen suposiciones sobre los signos de las funciones α y  u .
• En comparación con la forma diferencial, la diferenciabilidad de u no es necesaria para la forma integral.
• Para una versión de la desigualdad de Grönwall que no necesita continuidad de β y u , consulte la versión en la siguiente sección.

Prueba

(a) Definir

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$

Utilizando la regla del producto , la regla de la cadena , la derivada de la función exponencial y el teorema fundamental del cálculo , obtenemos para la derivada

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}$

donde usamos la desigualdad integral asumida para la estimación superior. Dado que β y la exponencial no son negativas, esto da una estimación superior para la derivada de . Dado que , la integración de esta desigualdad desde a hasta t da ${\displaystyle v(s)}$ ${\displaystyle v(a)=0}$

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$

Usando la definición de del primer paso, y luego esta desigualdad y la propiedad , obtenemos ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s.\end{aligned}}}$

Sustituyendo este resultado en la desigualdad integral supuesta se obtiene la desigualdad de Grönwall.

(b) Si la función α no es decreciente, entonces la parte (a), el hecho de que α ( s ) ≤ α ( t ) y el teorema fundamental del cálculo implican que

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+\alpha (t)\int _{a}^{t}\beta (s)\exp \left(\int _{s}^{t}\beta (r)dr\right)ds\\&\leq \alpha (t)+\alpha (t){\biggl (}{-}\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{aligned}}}$

Forma integral con medidas localmente finitas

Sea I un intervalo de la recta real de la forma [ a , ∞) o [ a , b ] o [ a , b ) con a < b . Sean α y u funciones mensurables definidas en  I y sea μ una medida continua no negativa en la σ-álgebra de Borel de I que satisface μ ([ a , t ]) < ∞ para todo t ∈ I (esto se satisface ciertamente cuando μ es una medida localmente finita ). Supóngase que u es integrable con respecto a μ en el sentido de que

${\displaystyle \int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

y que u satisface la desigualdad integral

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

Si además,

• La función α no es negativa o
• la función t ↦ μ ([ a , t ]) es continua para t ∈ I y la función α es integrable con respecto a μ en el sentido de que

${\displaystyle \int _{[a,t)}|\alpha (s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I,}$

entonces u satisface la desigualdad de Grönwall

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s)}$

para todo t ∈ I , donde I _s,t denota un intervalo abierto ( s , t ) .

Observaciones

• No existen supuestos de continuidad en las funciones α y u .
• Se permite que la integral en la desigualdad de Grönwall dé el valor infinito. ^{[ aclaración necesaria ]}
• Si α es la función cero y u no es negativo, entonces la desigualdad de Grönwall implica que u es la función cero.
• La integrabilidad de u con respecto a μ es esencial para el resultado. Para un contraejemplo , sea μ la medida de Lebesgue en el intervalo unitario [0, 1] , definamos u (0) = 0 y u ( t ) = 1/ t para t ∈ (0, 1] , y sea α la función cero.
• La versión dada en el libro de texto por S. Ethier y T. Kurtz. ^[4] hace suposiciones más fuertes de que α es una constante no negativa y u está acotada en intervalos acotados, pero no supone que la medida μ sea localmente finita. En comparación con la que se da a continuación, su prueba no analiza el comportamiento del resto R _n ( t ) .

Casos especiales

• Si la medida μ tiene una densidad β con respecto a la medida de Lebesgue, entonces la desigualdad de Grönwall puede reescribirse como

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Si la función α no es negativa y la densidad β de μ está limitada por una constante c , entonces

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.}$

• Si, además, la función no negativa α no es decreciente, entonces

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I.}$

Esquema de la prueba

La prueba se divide en tres pasos. La idea es sustituir la desigualdad integral supuesta en sí misma n veces. Esto se hace en la reivindicación 1 mediante inducción matemática. En la reivindicación 2 reescribimos la medida de un símplex en una forma conveniente, utilizando la invariancia de permutación de las medidas del producto. En el tercer paso pasamos al límite n hasta el infinito para derivar la variante deseada de la desigualdad de Grönwall.

Prueba detallada

Afirmación 1: Iterar la desigualdad

Para cada número natural n incluido el cero,

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)}$

con resto

${\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I,}$

dónde

${\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1,}$

es un símplex n -dimensional y

${\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1.}$

Prueba de la reclamación 1

Utilizamos la inducción matemática . Para n = 0, esta es simplemente la desigualdad integral supuesta, porque la suma vacía se define como cero.

Paso de inducción de n a n + 1 : Insertando la desigualdad integral supuesta para la función u en el resto se obtiene

${\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)}$

con

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I.}$

Utilizando el teorema de Fubini-Tonelli para intercambiar las dos integrales, obtenemos

${\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}$

Por tanto, la afirmación 1 queda demostrada para n + 1 .

Afirmación 2: Medida del símplex

Para cada número natural n incluido el cero y todos los s < t en I

${\displaystyle \mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}}$

con igualdad en el caso de que t ↦ μ ([ a , t ]) sea continua para t ∈ I .

Prueba de la reclamación 2

Para n = 0 , la afirmación es verdadera según nuestras definiciones. Por lo tanto, considere n ≥ 1 en lo siguiente.

Sea S _n el conjunto de todas las permutaciones de los índices en {1, 2, . . . , n }. Para cada permutación σ ∈ S _n definamos

${\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}$

Estos conjuntos son disjuntos para diferentes permutaciones y

${\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}$

Dado que todos tienen la misma medida con respecto al producto n -vez de μ , y dado que hay n ! permutaciones en  S _n , se sigue la desigualdad reclamada.

Supongamos ahora que t ↦ μ ([ a , t ]) es continua para t ∈ I . Entonces, para diferentes índices i , j ∈ {1, 2, . . . , n }, el conjunto

${\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}$

está contenido en un hiperplano , por lo tanto, por una aplicación del teorema de Fubini su medida con respecto al producto n -vez de μ es cero. Dado que

${\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}$

La igualdad reclamada se deduce de ello.

Prueba de la desigualdad de Grönwall

Para cada número natural n , la reivindicación 2 implica para el resto de la reivindicación 1 que

${\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}$

Suponiendo que tenemos μ ( I _{a , t} ) < ∞ , el supuesto de integrabilidad en u implica que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I.}$

La reivindicación 2 y la representación en serie de la función exponencial implican la estimación

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}$

para todo s < t en  I . Si la función  α no es negativa, entonces basta con insertar estos resultados en la reivindicación 1 para derivar la variante anterior de la desigualdad de Grönwall para la función  u .

En el caso de que t ↦ μ ([ a , t ]) sea continua para t ∈ I , la reivindicación 2 da

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty }$

y la integrabilidad de la función α permite utilizar el teorema de convergencia dominada para derivar la desigualdad de Grönwall.

Véase también

• Desigualdad estocástica de Gronwall
• Norma logarítmica , para una versión del lema de Gronwall que da límites superior e inferior a la norma de la matriz de transición de estados.
• Desigualdad de Halanay . Desigualdad similar al lema de Gronwall que se utiliza para ecuaciones diferenciales con retardo.

Referencias

1. Gronwall, Thomas H. (1919), "Nota sobre las derivadas con respecto a un parámetro de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales", Ann. of Math. , 20 (2): 292–296, doi :10.2307/1967124, JFM  47.0399.02, JSTOR  1967124, MR  1502565
2. Bellman, Richard (1943), "La estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales", Duke Math. J. , 10 (4): 643–647, doi :10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR  0009408, Zbl  0061.18502
3. Pachpatte, BG (1998). Desigualdades para ecuaciones diferenciales e integrales . San Diego: Academic Press. ISBN 9780080534640.
4. Ethier, Steward N.; Kurtz, Thomas G. (1986), Procesos de Markov, caracterización y convergencia , Nueva York: John Wiley & Sons , pág. 498, ISBN 0-471-08186-8, MR  0838085, Zbl  0592.60049

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