Cuantización de la deformación

En matemáticas y física, la cuantificación de la deformación equivale aproximadamente a encontrar un álgebra (cuántica) cuyo límite clásico es un álgebra (clásica) dada, como un álgebra de Lie o un álgebra de Poisson .

En física

Intuitivamente, una deformación de un objeto matemático es una familia de objetos del mismo tipo que dependen de algunos parámetros. Aquí se proporcionan reglas sobre cómo deformar el álgebra conmutativa "clásica" de observables en un álgebra no conmutativa cuántica de observables.

La configuración básica en la teoría de la deformación es comenzar con una estructura algebraica (digamos un álgebra de Lie ) y preguntar: ¿Existe una familia de uno o más parámetros de estructuras similares , tales que para un valor inicial del parámetro(s) uno tiene la misma estructura (álgebra de Lie) con la que comenzó? (La ilustración más antigua de esto puede ser la comprensión de Eratóstenes en el mundo antiguo de que una Tierra plana era deformable a una Tierra esférica, con parámetro de deformación 1/ R _⊕ .) Por ejemplo, uno puede definir un toro no conmutativo como una cuantificación de deformación a través de un ★ -producto para abordar implícitamente todas las sutilezas de convergencia (generalmente no abordadas en la cuantificación de deformación formal). En la medida en que el álgebra de funciones en un espacio determina la geometría de ese espacio, el estudio del producto estrella conduce al estudio de una deformación geométrica no conmutativa de ese espacio.

En el contexto del ejemplo de espacio de fases plano anterior, el producto estrella ( producto de Moyal , introducido en realidad por Groenewold en 1946), ★ _ħ , de un par de funciones en f ₁ , f ₂ ∈ C ^∞ (ℜ ² ) , se especifica mediante

${\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}$

¿Dónde está la transformada de Wigner-Weyl ? ${\displaystyle \Phi }$

El producto estrella no es conmutativo en general, sino que pasa al producto conmutativo ordinario de funciones en el límite de ħ → 0 . Como tal, se dice que define una deformación del álgebra conmutativa de C ^∞ (ℜ ² ) .

Para el ejemplo del mapa de Weyl anterior, el ★ -producto puede escribirse en términos del corchete de Poisson como

${\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}$

Aquí, Π es el bivector de Poisson , un operador definido de manera que sus potencias son

${\displaystyle \Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

y

${\displaystyle \Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}$

donde { f ₁ , f ₂ } es el corchete de Poisson . De manera más general,

${\displaystyle \Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)}$

donde es el coeficiente binomial . ${\displaystyle {n \choose k}}$

Así, por ejemplo, ^[1] las gaussianas se componen hiperbólicamente ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),}$

etc. Estas fórmulas se basan en coordenadas en las que el bivector de Poisson es constante (corchetes de Poisson planos). Para la fórmula general sobre variedades de Poisson arbitrarias , véase la fórmula de cuantificación de Kontsevich .

La antisimetrización de este ★ -producto produce el corchete de Moyal , la deformación cuántica propia del corchete de Poisson y el isomorfo del espacio de fases (transformada de Wigner) del conmutador cuántico en la formulación más habitual del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica. Como tal, proporciona la piedra angular de las ecuaciones dinámicas de observables en esta formulación del espacio de fases.

El resultado es una formulación completa del espacio de fases de la mecánica cuántica, completamente equivalente a la representación del operador del espacio de Hilbert , con multiplicaciones en estrella paralelas a las multiplicaciones de operadores isomórficamente. ^[1]

Los valores esperados en la cuantificación del espacio de fase se obtienen isomórficamente a los observables del operador de seguimiento Φ con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales del espacio de fase de observables como el f anterior con la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner sirviendo efectivamente como medida.

Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases (el mismo ámbito que para la mecánica clásica), el mapa de Weyl anterior facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización, cf. principio de correspondencia ) de la mecánica clásica, con parámetro de deformación ħ / S. (Otras deformaciones familiares en física involucran la deformación de la mecánica newtoniana clásica en mecánica relativista, con parámetro de deformación v / c ; o la deformación de la gravedad newtoniana en Relatividad General, con parámetro de deformación radio de Schwarzschild/dimensión característica. Por el contrario, la contracción de grupo conduce a las teorías no deformadas de parámetro evanescente: límites clásicos ).

Las expresiones clásicas, los observables y las operaciones (como los corchetes de Poisson) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ , ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación en estrella no conmutativa que caracteriza a la mecánica cuántica y subyace a su principio de incertidumbre.

Véase también

• Conjetura de Deligne sobre la cohomología de Hochschild
• Variedad de Poisson
• Teorema de formalidad; por ahora, véase https://mathoverflow.net/questions/32889/a-few-questions-about-kontsevich-formality
• Fórmula de cuantificación de Kontsevich

Referencias

1. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Un tratado conciso sobre mecánica cuántica en el espacio de fases . World Scientific . ISBN 9789814520430.

Lectura adicional

• Kontsevich, Maxim (1 de abril de 1999). "Operadas y motivos en la cuantificación de la deformación". Letters in Mathematical Physics . 48 (1): 35–72. doi :10.1023/A:1007555725247. ISSN  1573-0530.
• https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+quantization
• https://ncatlab.org/nlab/show/formal+deformation+quantization