la regla de simpson

Método de integración numérica

La regla de Simpson se puede derivar aproximando el integrando f ( x ) (en azul) por el interpolante cuadrático P ( x ) (en rojo) .

Una animación que muestra cómo la regla de Simpson aproxima la función con una parábola y la reducción del error al disminuir el tamaño del paso.

Una animación que muestra cómo la aproximación de la regla de Simpson mejora con más subdivisiones.

En integración numérica , las reglas de Simpson son varias aproximaciones para integrales definidas , que llevan el nombre de Thomas Simpson (1710-1761).

La más básica de estas reglas, llamada regla del 1/3 de Simpson , o simplemente regla de Simpson , dice:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

En alemán y en algunos otros idiomas, lleva el nombre de Johannes Kepler , quien lo derivó en 1615 después de verlo utilizado para barriles de vino (regla de los barriles, Keplersche Fassregel ). La igualdad aproximada en la regla se vuelve exacta si f es un polinomio hasta el tercer grado inclusive.

Si se aplica la regla de 1/3 a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a ,  b ], se obtiene la regla de Simpson compuesta de 1/3. Los puntos dentro del rango de integración reciben pesos alternos 4/3 y 2/3.

La regla de Simpson 3/8, también llamada segunda regla de Simpson , requiere una evaluación de función más dentro del rango de integración y proporciona límites de error más bajos, pero no mejora el orden del error.

Si se aplica la regla de 3/8 a n subdivisiones iguales del rango de integración [ a ,  b ], se obtiene la regla de Simpson compuesta de 3/8.

Las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 son dos casos especiales de fórmulas cerradas de Newton-Cotes .

En arquitectura naval y estimación de la estabilidad de los barcos, también existe la tercera regla de Simpson , que no tiene especial importancia en el análisis numérico general, ver reglas de Simpson (estabilidad del barco) .

La regla del 1/3 de Simpson

La regla del 1/3 de Simpson, también llamada simplemente regla de Simpson, es un método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cuadrática y se evalúa la regla compuesta de Simpson 1/3 . La regla del 1/3 de Simpson es la siguiente: ${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$

${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle n=2}$

El error al aproximar una integral mediante la regla de Simpson es ${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi ),}$$

letra griega xi^{[1] [2]} ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

El error es asintóticamente proporcional a . Sin embargo, las derivaciones anteriores sugieren un error proporcional a . La regla de Simpson gana un orden adicional porque los puntos en los que se evalúa el integrando se distribuyen simétricamente en el intervalo . ${\displaystyle (b-a)^{5}}$ ${\displaystyle (b-a)^{4}}$ ${\displaystyle [a,\ b]}$

Dado que el término de error es proporcional a la derivada cuarta de at , esto muestra que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para cualquier polinomio de grado tres o menos, ya que la derivada cuarta de dicho polinomio es cero en todos los puntos. Otra forma de ver este resultado es observar que cualquier polinomio cúbico de interpolación se puede expresar como la suma del polinomio cuadrático de interpolación único más un polinomio cúbico escalado arbitrariamente que desaparece en los tres puntos del intervalo, y la integral de este segundo término desaparece. porque es impar dentro del intervalo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$

Si la segunda derivada existe y es convexa en el intervalo , entonces ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle (a,\ b)}$

$${\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

Derivaciones

interpolación cuadrática

Una derivación reemplaza el integrando por el polinomio cuadrático (es decir, parábola) que toma los mismos valores que en los puntos finales y en el punto medio . Se puede utilizar la interpolación polinomial de Lagrange para encontrar una expresión para este polinomio, ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m=(a+b)/2}$

$${\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$$

integración por sustitución^{[3] [2]}

$${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}$$

${\displaystyle h=(b-a)/2}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {1}{3}}h\left[f(a)+4f\left(a+h\right)+f(b)\right].}$$

${\displaystyle 1/3}$

Promediando el punto medio y las reglas trapezoidales

Otra derivación construye la regla de Simpson a partir de dos aproximaciones más simples: la regla del punto medio

$${\displaystyle M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$$

regla trapezoidal

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}(b-a){\big (}f(a)+f(b){\big )}.}$$

Los errores en estas aproximaciones son

$${\displaystyle {\frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$

$${\displaystyle -{\frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$$

la notación Big Opromedio ponderado. ${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$ ${\displaystyle (b-a)^{4}}$ ${\displaystyle O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}$ ${\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}.}$

Utilizando otra aproximación (por ejemplo, la regla trapezoidal con el doble de puntos), es posible tomar un promedio ponderado adecuado y eliminar otro término de error. Éste es el método de Romberg .

Coeficientes indeterminados

La tercera derivación parte del ansatz.

$${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \alpha f(a)+\beta f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+\gamma f(b).}$$

Los coeficientes α , β y γ pueden fijarse exigiendo que esta aproximación sea exacta para todos los polinomios cuadráticos. Esto produce la regla de Simpson. (Esta derivación es esencialmente una versión menos rigurosa de la derivación por interpolación cuadrática, donde se ahorra un esfuerzo de cálculo significativo al adivinar la forma funcional correcta).

Regla compuesta de 1/3 de Simpson

Si el intervalo de integración es en algún sentido "pequeño", entonces la regla de Simpson con subintervalos proporcionará una aproximación adecuada a la integral exacta. Por "pequeño" queremos decir que la función que se integra es relativamente suave durante el intervalo . Para tal función, una interpolación cuadrática suave como la utilizada en la regla de Simpson dará buenos resultados. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Sin embargo, a menudo ocurre que la función que intentamos integrar no es uniforme durante el intervalo. Normalmente, esto significa que la función es altamente oscilatoria o carece de derivadas en ciertos puntos. En estos casos, la regla de Simpson puede dar resultados muy pobres. Una forma común de manejar este problema es dividir el intervalo en pequeños subintervalos. Luego se aplica la regla de Simpson a cada subintervalo y se suman los resultados para producir una aproximación de la integral en todo el intervalo. Este tipo de enfoque se denomina regla compuesta de 1/3 de Simpson , o simplemente regla compuesta de Simpson . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n>2}$

Supongamos que el intervalo se divide en subintervalos, con un número par. Entonces, la regla de Simpson compuesta viene dada por ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Dividiendo el intervalo en subintervalos de longitud e introduciendo los puntos para (en particular, y ), tenemos ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {1}{3}}h\sum _{i=1}^{n/2}{\big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h{\big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {1}{3}}h\left[f(x_{0})+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$

${\displaystyle n=2}$

El error cometido por la regla de Simpson compuesta es

$${\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$$

^{[4] [5]} ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$

$${\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|.}$$

Esta formulación divide el intervalo en subintervalos de igual longitud. En la práctica, suele ser ventajoso utilizar subintervalos de diferentes longitudes y concentrar los esfuerzos en los lugares donde el integrando se comporta peor. Esto lleva al método de Simpson adaptativo . ${\displaystyle [a,b]}$

La regla de los 3/8 de Simpson

La regla de los 3/8 de Simpson, también llamada segunda regla de Simpson, es otro método de integración numérica propuesto por Thomas Simpson. Se basa en una interpolación cúbica en lugar de una interpolación cuadrática. La regla de Simpson 3/8 es la siguiente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(a)+3f\left(a+h\right)+3f\left(a+2h\right)+f(b)\right],\end{aligned}}}$$

${\displaystyle h=(b-a)/3}$

El error de este método es

$${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}$$

^[6] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Una generalización adicional de este concepto de interpolación con polinomios de grado arbitrario son las fórmulas de Newton-Cotes .

Regla compuesta de Simpson 3/8

Dividiendo el intervalo en subintervalos de longitud e introduciendo los puntos para (en particular, y ), tenemos ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {3}{8}}h\sum _{i=1}^{n/3}{\big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h{\big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+\dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big ]}\\&={\frac {3}{8}}h\left[f(x_{0})+3\sum _{i=1,\ 3\nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2\sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})\right].\end{aligned}}}$$

Si bien el resto de la regla se muestra como ^[6], solo podemos usarlo si es múltiplo de tres. La regla de 1/3 se puede usar para los subintervalos restantes sin cambiar el orden del término de error (a la inversa, la regla de 3/8 se puede usar con una regla compuesta de 1/3 para subintervalos impares). ${\displaystyle -{\frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$ ${\displaystyle n}$

Regla de Simpson extendida alternativa

Esta es otra formulación de una regla de Simpson compuesta: en lugar de aplicar la regla de Simpson a segmentos disjuntos de la integral que se va a aproximar, la regla de Simpson se aplica a segmentos superpuestos, lo que produce ^[7]

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{48}}h\left[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})\right].}$$

La fórmula anterior se obtiene combinando la regla de Simpson 1/3 compuesta con la que consiste en utilizar la regla de Simpson 3/8 en los subintervalos extremos y la regla de Simpson 1/3 en los subintervalos restantes. Luego, el resultado se obtiene tomando la media de las dos fórmulas.

Reglas de Simpson en el caso de picos estrechos

En la tarea de estimación del área completa de funciones estrechas en forma de pico, las reglas de Simpson son mucho menos eficientes que la regla trapezoidal . Es decir, la regla compuesta de 1/3 de Simpson requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión que la regla trapezoidal. ^[8] La regla 3/8 de Simpson compuesta es aún menos precisa. La integración según la regla de Simpson 1/3 se puede representar como un promedio ponderado con 2/3 del valor proveniente de la integración mediante la regla trapezoidal con el paso h y 1/3 del valor proveniente de la integración mediante la regla del rectángulo con el paso 2 h . La precisión se rige por el segundo término (paso de 2 h ). El promedio de sumas compuestas de la regla de 1/3 de Simpson con marcos desplazados correctamente produce las siguientes reglas:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})\right],}$$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {1}{24}}h\left[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})\right],}$$

Estas reglas son muy similares a la regla de Simpson extendida alternativa. Los coeficientes dentro de la mayor parte de la región que se está integrando son aquellos con coeficientes no unitarios solo en los bordes. Estas dos reglas se pueden asociar con la fórmula de Euler-MacLaurin con el primer término derivado y denominarse reglas de integración de Euler-MacLaurin de primer orden . ^[8] Las dos reglas presentadas anteriormente difieren sólo en la forma en que se calcula la primera derivada al final de la región. El término de la primera derivada en las reglas de integración de Euler-MacLaurin representa la integral de la segunda derivada, que es igual a la diferencia de las primeras derivadas en los bordes de la región de integración. Es posible generar reglas de Euler-MacLaurin de orden superior sumando una diferencia de derivadas tercera, quinta, etc., con coeficientes, tal como se define en la fórmula de Euler-MacLaurin .

Regla de Simpson compuesta para datos espaciados irregularmente

Para algunas aplicaciones, el intervalo de integración debe dividirse en intervalos desiguales, tal vez debido a un muestreo desigual de datos o puntos de datos faltantes o corruptos. Supongamos que dividimos el intervalo en un número par de subintervalos de ancho . Entonces la regla de Simpson compuesta viene dada por ^[9] ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_{k}}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$

$${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\right)}$$

${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$

En caso de un número impar de subintervalos ${\displaystyle N}$ , la fórmula anterior se utiliza hasta el penúltimo intervalo, y el último intervalo se maneja por separado sumando lo siguiente al resultado: ^[10]

$${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Fórmulas de Newton-Cotes
• cuadratura gaussiana

Notas

1. Atkinson 1989, ecuación (5.1.15).
2. Süli y Mayers 2003, §7.2.
3. Atkinson 1989, pág. 256.
4. Atkinson 1989, págs. 257-258.
5. Süli y Mayers 2003, §7.5.
6. Matthews 2004.
7. Weisstein, Ecuación 35. sfn error: no target: CITEREFWeisstein (help)
8. Kalambet, Kozmin y Samokhin 2018.
9. Shklov 1960.
10. Cartwright 2017, Ecuación 8. La ecuación de Cartwright calcula el primer intervalo, mientras que las ecuaciones del artículo de Wikipedia se ajustan a la última integral. Si se realizan las sustituciones algebraicas adecuadas, la ecuación da como resultado los valores mostrados.

Referencias

• Atkinson, Kendall E. (1989). Introducción al análisis numérico (2ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-50023-2.
• Carga, Richard L.; Ferias, J. Douglas (2000). Análisis numérico (7ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• Cartwright, Kenneth V. (septiembre de 2017). "Integración acumulativa de la regla de Simpson con MS Excel y datos espaciados irregularmente" (PDF) . Revista de Ciencias Matemáticas y Educación Matemática . 12 (2): 1–9 . Consultado el 18 de diciembre de 2022 .
• Kalambet, Yuri; Kozmín, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparación de reglas de integración en el caso de picos cromatográficos muy estrechos". Quimiometría y Sistemas Inteligentes de Laboratorio . 179 : 22–30. doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN  0169-7439.
• Matthews, John H. (2004). "Regla de Simpson 3/8 para la integración numérica". Análisis Numérico - Proyecto Métodos Numéricos . Universidad Estatal de California, Fullerton. Archivado desde el original el 4 de diciembre de 2008 . Consultado el 11 de noviembre de 2008 .
• Shklov, N. (diciembre de 1960). "Regla de Simpson para ordenadas espaciadas desigualmente". El Mensual Matemático Estadounidense . 67 (10): 1022-1023. doi :10.2307/2309244. JSTOR  2309244.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). Introducción al análisis numérico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00794-1.
• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de Newton-Cotes". MundoMatemático . Consultado el 14 de diciembre de 2022 .

enlaces externos

• "Fórmula de Simpson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "La regla de Simpson". MundoMatemático .
• Regla de integración de 1/3 de Simpson: notas, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple en Métodos numéricos para estudiantes universitarios de STEM
• Dorai Sitaram describe una descripción detallada de una implementación informática en Teach Yourself Scheme en Fixnum Days , Apéndice C.

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