Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de integración numérica.

Fórmula de Newton-Cotes para  ${\displaystyle n=2}$

En análisis numérico , las fórmulas de Newton-Cotes , también llamadas reglas de cuadratura de Newton-Cotes o simplemente reglas de Newton-Cotes , son un grupo de fórmulas de integración numérica (también llamada cuadratura ) basadas en evaluar el integrando en puntos equiespaciados. Llevan el nombre de Isaac Newton y Roger Cotes .

Las fórmulas de Newton-Cotes pueden resultar útiles si se da el valor del integrando en puntos equidistantes. Si es posible cambiar los puntos en los que se evalúa el integrando, entonces probablemente sean más adecuados otros métodos, como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis .

Descripción

Se supone que el valor de una función f definida en se conoce en puntos equidistantes: . Hay dos clases de cuadratura de Newton-Cotes: se llaman "cerradas" cuando y , es decir, usan los valores de la función en los puntos finales del intervalo, y "abiertas" cuando y , es decir, no usan los valores de la función en los puntos finales. Las fórmulas de Newton-Cotes que utilizan puntos se pueden definir (para ambas clases) como ^[1] donde ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$ ${\displaystyle x_{0}>a}$ ${\displaystyle x_{n}<b}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$$

• para una fórmula cerrada, , con , ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$
• para una fórmula abierta, , con . ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$

El número h se llama tamaño de paso , se llaman pesos . Los pesos se pueden calcular como la integral de polinomios de base de Lagrange . Dependen sólo de la función f y no de ella . Sea el polinomio de interpolación en forma de Lagrange para los puntos de datos dados , entonces ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$$

Inestabilidad para alto grado.

Se puede construir una fórmula de Newton-Cotes de cualquier grado n . Sin embargo, para n grande, una regla de Newton-Cotes a veces puede sufrir el catastrófico fenómeno de Runge ^[2] donde el error crece exponencialmente para n grande . Métodos como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis con puntos espaciados desigualmente (agrupados en los puntos finales del intervalo de integración) son estables y mucho más precisos, y normalmente se prefieren a los de Newton-Cotes. Si estos métodos no se pueden utilizar, porque el integrando sólo se da en la cuadrícula equidistribuida fija, entonces el fenómeno de Runge se puede evitar utilizando una regla compuesta, como se explica a continuación.

Alternativamente, se pueden construir fórmulas estables de Newton-Cotes utilizando la aproximación de mínimos cuadrados en lugar de la interpolación. Esto permite construir fórmulas numéricamente estables incluso para grados altos. ^{[3] [4]}

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de Newton-Cotes de tipo cerrado. Para , deja donde , y . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

La regla de Boole a veces se denomina erróneamente regla de Bode, como resultado de la propagación de un error tipográfico en Abramowitz y Stegun , uno de los primeros libros de referencia. ^[5]

El exponente del tamaño del paso h en el término de error da la velocidad a la que disminuye el error de aproximación. El orden de la derivada de f en el término de error da el grado más bajo de un polinomio que ya no se puede integrar exactamente (es decir, con un error igual a cero) con esta regla. El número debe tomarse del intervalo ( a , b ) , por lo tanto, el límite de error es igual al término de error cuando . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b}$

Abrir fórmulas de Newton-Cotes

Esta tabla enumera algunas de las fórmulas de Newton-Cotes de tipo abierto. Para , deja donde , y . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

reglas compuestas

Para que las reglas de Newton-Cotes sean precisas, el tamaño del paso h debe ser pequeño, lo que significa que el intervalo de integración debe ser pequeño en sí mismo, lo que no es cierto la mayor parte del tiempo. Por esta razón, normalmente se realiza la integración numérica dividiéndola en subintervalos más pequeños, aplicando una regla de Newton-Cotes en cada subintervalo y sumando los resultados. Esto se llama regla compuesta . Ver Integración numérica . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Ver también

• Cuadratura (matemáticas)
• Interpolación
• interpolación spline

Referencias

1. Quarteroni, Alfio ; Sacco, Ricardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas Numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
2. Quarteroni, Alfio ; Sacco, Ricardo; Saleri, Fausto (2006). Matemáticas Numéricas (Segunda ed.). Saltador. págs. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
3. Pavel Holoborodko (24 de marzo de 2011). "Fórmulas estables de Newton-Cotes" . Consultado el 17 de agosto de 2015 .
4. Pavel Holoborodko (20 de mayo de 2012). "Fórmulas estables de Newton-Cotes (tipo abierto)" . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
5. Regla de Booles en Wolfram Mathworld, con error tipográfico en el año "1960" (en lugar de "1860")

• M. Abramowitz y IA Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York: Dover, 1972. (Ver Sección 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm y Cleve B. Moler. Métodos informáticos para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice–Hall, 1977. (Ver Sección 5.1.)
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 4.1. Fórmulas clásicas para abscisas igualmente espaciadas", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer y Roland Bulirsch. Introducción al Análisis Numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980. (Ver Sección 3.1.)

enlaces externos

• "Fórmula de cuadratura de Newton-Cotes", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Fórmulas de Newton-Cotes en www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. "Fórmulas de Newton-Cotes". MundoMatemático .
• Integración de Newton-Cotes, numericmathematics.com