Correlación canónica

Way of inferring information from cross-covariance matrices

En estadística , el análisis de correlación canónica ( CCA ), también llamado análisis de variables canónicas , es una forma de inferir información a partir de matrices de covarianza cruzada . Si tenemos dos vectores X  = ( X ₁ , ...,  X _n ) e Y  = ( Y ₁ , ...,  Y _m ) de variables aleatorias , y existen correlaciones entre las variables, entonces el análisis de correlación canónica encontrará combinaciones lineales de X e Y que tengan una correlación máxima entre sí. ^[1] TR Knapp señala que "prácticamente todas las pruebas paramétricas de significación que se encuentran comúnmente pueden tratarse como casos especiales de análisis de correlación canónica, que es el procedimiento general para investigar las relaciones entre dos conjuntos de variables". ^[2] El método fue introducido por primera vez por Harold Hotelling en 1936, ^[3] aunque en el contexto de los ángulos entre planos el concepto matemático fue publicado por Camille Jordan en 1875. ^[4]

El CCA es ahora una piedra angular de las estadísticas multivariadas y el aprendizaje de múltiples vistas, y se han propuesto una gran cantidad de interpretaciones y extensiones, como el CCA probabilístico, el CCA disperso, el CCA de múltiples vistas, el CCA profundo y el DeepGeoCCA. ^[5] Desafortunadamente, quizás debido a su popularidad, la literatura puede ser inconsistente con la notación, intentamos resaltar tales inconsistencias en este artículo para ayudar al lector a hacer el mejor uso de la literatura y las técnicas existentes disponibles.

Al igual que su método hermano PCA , CCA se puede ver en forma de población (correspondiente a vectores aleatorios y sus matrices de covarianza) o en forma de muestra (correspondiente a conjuntos de datos y sus matrices de covarianza de muestra). Estas dos formas son análogas casi exactas entre sí, por lo que a menudo se pasa por alto su distinción, pero pueden comportarse de manera muy diferente en entornos de alta dimensión. ^[6] A continuación, damos definiciones matemáticas explícitas para el problema de la población y destacamos los diferentes objetos en la llamada descomposición canónica : comprender las diferencias entre estos objetos es crucial para la interpretación de la técnica.

Definición de CCA poblacional mediante correlaciones

Dados dos vectores de columna y de variables aleatorias con segundos momentos finitos , se puede definir la covarianza cruzada como la matriz cuya entrada es la covarianza . En la práctica, estimaríamos la matriz de covarianza en función de los datos muestreados de y (es decir, de un par de matrices de datos). ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}$ ${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El análisis de correlación canónica busca una secuencia de vectores ( ) y ( ) tales que las variables aleatorias y maximicen la correlación . Las variables aleatorias (escalares) y son el primer par de variables canónicas . Luego se buscan vectores que maximicen la misma correlación sujeta a la restricción de que no deben estar correlacionados con el primer par de variables canónicas; esto da el segundo par de variables canónicas . Este procedimiento puede continuar hasta veces. ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle a_{k}^{T}X}$ ${\displaystyle b_{k}^{T}Y}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {corr} (a_{k}^{T}X,b_{k}^{T}Y)}$ ${\displaystyle U=a_{1}^{T}X}$ ${\displaystyle V=b_{1}^{T}Y}$ ${\displaystyle \min\{m,n\}}$

$${\displaystyle (a_{k},b_{k})={\underset {a,b}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{T}X,b^{T}Y)\quad {\text{ subject to }}\operatorname {cov} (a^{T}X,a_{j}^{T}X)=\operatorname {cov} (b^{T}Y,b_{j}^{T}Y)=0{\text{ for }}j=1,\dots ,k-1}$$

Los conjuntos de vectores se denominan direcciones canónicas o vectores de peso o simplemente pesos . Los conjuntos de vectores "duales" se denominan vectores de carga canónica o simplemente cargas ; estos suelen ser más sencillos de interpretar que los pesos. ^[7] ${\displaystyle a_{k},b_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{XX}a_{k},\Sigma _{YY}b_{k}}$

Cálculo

Derivación

Sea la matriz de covarianza cruzada para cualquier par de variables aleatorias (con forma de vector) y . La función objetivo a maximizar es ${\displaystyle \Sigma _{XY}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \rho ={\frac {a^{T}\Sigma _{XY}b}{{\sqrt {a^{T}\Sigma _{XX}a}}{\sqrt {b^{T}\Sigma _{YY}b}}}}.}$

El primer paso es definir un cambio de base y definir

${\displaystyle c=\Sigma _{XX}^{1/2}a,}$

${\displaystyle d=\Sigma _{YY}^{1/2}b,}$

donde y se pueden obtener a partir de la descomposición propia (o por diagonalización ): ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}}$

${\displaystyle \Sigma _{XX}^{1/2}=V_{X}D_{X}^{1/2}V_{X}^{\top },\qquad V_{X}D_{X}V_{X}^{\top }=\Sigma _{XX},}$

y

${\displaystyle \Sigma _{YY}^{1/2}=V_{Y}D_{Y}^{1/2}V_{Y}^{\top },\qquad V_{Y}D_{Y}V_{Y}^{\top }=\Sigma _{YY}.}$

De este modo

${\displaystyle \rho ={\frac {c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}{{\sqrt {c^{T}c}}{\sqrt {d^{T}d}}}}.}$

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ,

${\displaystyle \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\right)(d)\leq \left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}\left(d^{T}d\right)^{1/2},}$

${\displaystyle \rho \leq {\frac {\left(c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c\right)^{1/2}}{\left(c^{T}c\right)^{1/2}}}.}$

Existe igualdad si los vectores y son colineales. Además, se alcanza el máximo de correlación si es el vector propio con el valor propio máximo de la matriz (véase el cociente de Rayleigh ). Los pares subsiguientes se encuentran utilizando valores propios de magnitudes decrecientes. La ortogonalidad está garantizada por la simetría de las matrices de correlación. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$

Otra forma de ver este cálculo es que y son los vectores singulares izquierdo y derecho de la matriz de correlación de X e Y correspondientes al valor singular más alto. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Solución

La solución por tanto es:

• ${\displaystyle c}$es un vector propio de ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}}$
• ${\displaystyle d}$es proporcional a ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1/2}c}$

Recíprocamente, también existe:

• ${\displaystyle d}$es un vector propio de ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1/2}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}}$
• ${\displaystyle c}$es proporcional a ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1/2}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1/2}d}$

Invirtiendo el cambio de coordenadas, tenemos que

• ${\displaystyle a}$es un vector propio de , ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}\Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}}$
• ${\displaystyle b}$es proporcional a ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}a;}$
• ${\displaystyle b}$es un vector propio de ${\displaystyle \Sigma _{YY}^{-1}\Sigma _{YX}\Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY},}$
• ${\displaystyle a}$es proporcional a . ${\displaystyle \Sigma _{XX}^{-1}\Sigma _{XY}b}$

Las variables canónicas están definidas por:

${\displaystyle U=c^{T}\Sigma _{XX}^{-1/2}X=a^{T}X}$

${\displaystyle V=d^{T}\Sigma _{YY}^{-1/2}Y=b^{T}Y}$

Implementación

El CCA se puede calcular utilizando la descomposición en valores singulares en una matriz de correlación. ^[8] Está disponible como función en ^[9]

• MATLAB como canoncorr (también en Octave )
• R como función estándar de cancor y otros paquetes, incluidos CCA y vegan. CCP para pruebas de hipótesis estadísticas en análisis de correlación canónica.
• SAS como procedimiento cancorr
• Python en la biblioteca scikit-learn , como descomposición cruzada y en statsmodels, como CanCorr. La biblioteca CCA-Zoo ^[10] implementa extensiones CCA, como CCA probabilístico, CCA disperso, CCA de múltiples vistas y CCA profundo.
• SPSS como macro CanCorr se entrega con el software principal
• Julia (lenguaje de programación) en el paquete MultivariateStats.jl.

El cálculo de CCA mediante descomposición en valores singulares en una matriz de correlación está relacionado con el coseno de los ángulos entre planos . La función coseno está mal acondicionada para ángulos pequeños, lo que conduce a un cálculo muy inexacto de vectores principales altamente correlacionados en aritmética informática de precisión finita . Para solucionar este problema , hay algoritmos alternativos ^[11] disponibles en

• SciPy como función de álgebra lineal subespacio_ángulos
• MATLAB como subespacio de funciones FileExchange

Prueba de hipótesis

Cada fila puede probarse para determinar su significancia con el siguiente método. Dado que las correlaciones están ordenadas, decir que la fila es cero implica que todas las correlaciones posteriores también son cero. Si tenemos observaciones independientes en una muestra y es la correlación estimada para . Para la fila n, la estadística de prueba es: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\widehat {\rho }}_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,\min\{m,n\}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \chi ^{2}=-\left(p-1-{\frac {1}{2}}(m+n+1)\right)\ln \prod _{j=i}^{\min\{m,n\}}(1-{\widehat {\rho }}_{j}^{2}),}$

que se distribuye asintóticamente como un chi-cuadrado con grados de libertad para valores grandes . ^[12] Dado que todas las correlaciones de a son lógicamente cero (y también se estiman de esa manera), el producto de los términos después de este punto es irrelevante. ${\displaystyle (m-i+1)(n-i+1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \min\{m,n\}}$ ${\displaystyle p}$

Tenga en cuenta que en el pequeño límite de tamaño de muestra, entonces tenemos la garantía de que las correlaciones superiores serán idénticas a 1 y, por lo tanto, la prueba no tiene sentido. ^[13] ${\displaystyle p<n+m}$ ${\displaystyle m+n-p}$

Usos prácticos

Un uso típico de la correlación canónica en el contexto experimental es tomar dos conjuntos de variables y ver qué es común entre los dos conjuntos. ^[14] Por ejemplo, en las pruebas psicológicas, se podrían tomar dos pruebas de personalidad multidimensionales bien establecidas , como el Inventario Multifásico de Personalidad de Minnesota (MMPI-2) y el NEO . Al ver cómo se relacionan los factores del MMPI-2 con los factores del NEO, se podría obtener una idea de qué dimensiones eran comunes entre las pruebas y cuánta varianza se compartía. Por ejemplo, se podría encontrar que una dimensión de extroversión o neuroticismo explicaba una cantidad sustancial de varianza compartida entre las dos pruebas.

También se puede utilizar el análisis de correlación canónica para producir una ecuación modelo que relacione dos conjuntos de variables, por ejemplo, un conjunto de medidas de rendimiento y un conjunto de variables explicativas, o un conjunto de resultados y un conjunto de datos de entrada. Se pueden imponer restricciones a un modelo de este tipo para garantizar que refleje los requisitos teóricos o las condiciones intuitivamente obvias. Este tipo de modelo se conoce como modelo de correlación máxima. ^[15]

La visualización de los resultados de la correlación canónica se realiza habitualmente mediante gráficos de barras de los coeficientes de los dos conjuntos de variables para los pares de variables canónicas que muestran una correlación significativa. Algunos autores sugieren que se visualizan mejor trazándolos como heliógrafos, un formato circular con barras en forma de rayos, en el que cada mitad representa los dos conjuntos de variables. ^[16]

Ejemplos

Sea con valor esperado cero , es decir, . ${\displaystyle X=x_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=0}$

1. Si , es decir, y están perfectamente correlacionados, entonces, por ejemplo, y , de modo que el primer (y único en este ejemplo) par de variables canónicas es y . ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle U=X}$ ${\displaystyle V=Y=X}$
2. Si , es decir, y están perfectamente anticorrelacionados, entonces, por ejemplo, y , de modo que el primer (y único en este ejemplo) par de variables canónicas es y . ${\displaystyle Y=-X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle b=-1}$ ${\displaystyle U=X}$ ${\displaystyle V=-Y=X}$

Observamos que en ambos casos , lo que ilustra que el análisis de correlación canónica trata las variables correlacionadas y anticorrelacionadas de manera similar. ${\displaystyle U=V}$

Conexión con los ángulos principales

Suponiendo que y tienen valores esperados cero , es decir, , sus matrices de covarianza y pueden verse como matrices de Gram en un producto interno para las entradas de y , correspondientemente. En esta interpretación, las variables aleatorias, entradas de y de se tratan como elementos de un espacio vectorial con un producto interno dado por la covarianza ; consulte Covarianza#Relación con productos internos . ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{T}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (Y)=0}$ ${\displaystyle \Sigma _{XX}=\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {E} [XX^{T}]}$ ${\displaystyle \Sigma _{YY}=\operatorname {Cov} (Y,Y)=\operatorname {E} [YY^{T}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{i},y_{j})}$

La definición de las variables canónicas y es entonces equivalente a la definición de vectores principales para el par de subespacios generados por las entradas de y con respecto a este producto interno . La correlación canónica es igual al coseno de los ángulos principales . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {corr} (U,V)}$

Blanqueamiento y análisis de correlación canónica probabilística

El CCA también puede verse como una transformación de blanqueamiento especial donde los vectores aleatorios y se transforman simultáneamente de tal manera que la correlación cruzada entre los vectores blanqueados y es diagonal. ^[17] Las correlaciones canónicas se interpretan entonces como coeficientes de regresión que vinculan y y también pueden ser negativos. La vista de regresión del CCA también proporciona una manera de construir un modelo generativo probabilístico de variable latente para el CCA, con variables ocultas no correlacionadas que representan variabilidad compartida y no compartida. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{CCA}}$ ${\displaystyle Y^{CCA}}$ ${\displaystyle X^{CCA}}$ ${\displaystyle Y^{CCA}}$

Véase también

• Correlación canónica generalizada
• Coeficiente RV
• Ángulos entre planos
• Análisis de componentes principales
• Análisis discriminante lineal
• Análisis de correlación canónica regularizada
• Descomposición en valores singulares
• Regresión de mínimos cuadrados parciales

Referencias

1. Härdle, Wolfgang; Simar, Léopold (2007). "Análisis de correlación canónica". Análisis estadístico multivariante aplicado . págs. 321–330. CiteSeerX  10.1.1.324.403 . doi :10.1007/978-3-540-72244-1_14. ISBN . 978-3-540-72243-4.
2. Knapp, TR (1978). "Análisis de correlación canónica: un sistema general de prueba de significación paramétrica". Psychological Bulletin . 85 (2): 410–416. doi :10.1037/0033-2909.85.2.410.
3. Hotelling, H. (1936). "Relaciones entre dos conjuntos de variables". Biometrika . 28 (3–4): 321–377. doi :10.1093/biomet/28.3-4.321. JSTOR  2333955.
4. Jordania, C. (1875). "Essai sur la géométrie à n {\ Displaystyle n} dimensiones". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 3 : 103.
5. Ju, Ce; Kobler, Reinmar J; Tang, Liyao; Guan, Cuntai; Kawanabe, Motoaki (2024). Análisis de correlación canónica geodésica profunda para datos de neuroimagen basados ​​en covarianza. Duodécima Conferencia Internacional sobre Representaciones del Aprendizaje (ICLR 2024, spotlight).
6. "Aprendizaje estadístico con escasez: el lazo y las generalizaciones". hastie.su.domains . Consultado el 12 de septiembre de 2023 .
7. Gu, Fei; Wu, Hao (1 de abril de 2018). "Análisis de correlación canónica simultánea con cargas canónicas invariantes". Behaviormetrika . 45 (1): 111–132. doi :10.1007/s41237-017-0042-8. ISSN  1349-6964.
8. Hsu, D.; Kakade, SM; Zhang, T. (2012). "Un algoritmo espectral para aprender modelos ocultos de Markov" (PDF) . Revista de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 78 (5): 1460. arXiv : 0811.4413 . doi :10.1016/j.jcss.2011.12.025. S2CID  220740158.
9. Huang, SY; Lee, MH; Hsiao, CK (2009). "Medidas no lineales de asociación con análisis de correlación canónica de kernel y aplicaciones" (PDF) . Journal of Statistical Planning and Inference . 139 (7): 2162. doi :10.1016/j.jspi.2008.10.011. Archivado desde el original (PDF) el 2017-03-13 . Consultado el 2015-09-04 .
10. Chapman, James; Wang, Hao-Ting (18 de diciembre de 2021). "CCA-Zoo: una colección de métodos CCA regularizados, basados ​​en aprendizaje profundo, kernel y probabilísticos en un marco de trabajo de estilo scikit-learn". Revista de software de código abierto . 6 (68): 3823. Bibcode :2021JOSS....6.3823C. doi : 10.21105/joss.03823 . ISSN  2475-9066.
11. Knyazev, AV; Argentati, ME (2002), "Ángulos principales entre subespacios en un producto escalar basado en A: algoritmos y estimaciones de perturbación", SIAM Journal on Scientific Computing , 23 (6): 2009–2041, Bibcode :2002SJSC...23.2008K, CiteSeerX 10.1.1.73.2914 , doi :10.1137/S1064827500377332 
12. Kanti V. Mardia , JT Kent y JM Bibby (1979). Análisis multivariado . Academic Press .
13. Yang Song, Peter J. Schreier, David Ram´ırez y Tanuj Hasija Análisis de correlación canónica de datos de alta dimensión con un soporte de muestra muy pequeño arXiv :1604.02047
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15. Tofallis, C. (1999). "Construcción de modelos con múltiples variables dependientes y restricciones". Revista de la Royal Statistical Society, Serie D. 48 ( 3): 371–378. arXiv : 1109.0725 . doi :10.1111/1467-9884.00195. S2CID  : 8942357.
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Enlaces externos

• Análisis de correlación discriminante (DCA) ^[1] ( MATLAB )
• Hardoon, DR; Szedmak, S.; Shawe-Taylor, J. (2004). "Análisis de correlación canónica: una descripción general con aplicación a los métodos de aprendizaje". Computación neuronal . 16 (12): 2639–2664. CiteSeerX  10.1.1.14.6452 . doi :10.1162/0899766042321814. PMID  15516276. S2CID  202473.
• Una nota sobre el análisis de correlación canónica ordinal de dos conjuntos de puntuaciones de clasificación (también proporciona un programa FORTRAN ) en Journal of Quantitative Economics 7(2), 2009, pp. 173–199
• Análisis de correlación canónica con restricciones de representación: una hibridación de correlación canónica y análisis de componentes principales (también incluye un programa FORTRAN ) en Journal of Applied Economic Sciences 4(1), 2009, págs. 115-124

1. Haghighat, Mohammad; Abdel-Mottaleb, Mohamed; Alhalabi, Wadee (2016). "Análisis de correlación discriminante: fusión de niveles de características en tiempo real para reconocimiento biométrico multimodal". IEEE Transactions on Information Forensics and Security . 11 (9): 1984–1996. doi :10.1109/TIFS.2016.2569061. S2CID  15624506.