Teorema de Alfvén

Teorema de magnetohidrodinámica

En magnetohidrodinámica ideal , el teorema de Alfvén , o teorema del flujo congelado , establece que los fluidos conductores de electricidad y los campos magnéticos integrados están obligados a moverse juntos en el límite de grandes números de Reynolds magnéticos . Recibe su nombre en honor a Hannes Alfvén , quien propuso la idea en 1943.

El teorema de Alfvén implica que la topología magnética de un fluido en el límite de un número de Reynolds magnético grande no puede cambiar. Esta aproximación no funciona en las capas de corriente , donde puede ocurrir la reconexión magnética .

Historia

El concepto de campos magnéticos congelados en fluidos con conductividad eléctrica infinita fue propuesto por primera vez por Hannes Alfvén en un artículo de 1943 titulado "Sobre la existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas", publicado en la revista Arkiv för matematik, astronomi och fysik . Escribió: ^[1]

En vista de la conductividad infinita, todo movimiento (perpendicular al campo) del líquido en relación con las líneas de fuerza está prohibido porque daría lugar a corrientes de Foucault infinitas . De este modo, la materia del líquido queda "fijada" a las líneas de fuerza...

"Sobre la existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas" interpretó los resultados del artículo anterior de Alfvén "Existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas", publicado en la revista Nature en 1942. ^[2]

Más tarde en su vida, Alfvén desaconsejó el uso de su propio teorema. ^[3]

Descripción general

De manera informal, el teorema de Alfvén se refiere al resultado fundamental de la teoría magnetohidrodinámica ideal de que los fluidos conductores de electricidad y los campos magnéticos en su interior están obligados a moverse juntos en el límite de grandes números de Reynolds magnéticos ( R _m ) , como cuando el fluido es un conductor perfecto o cuando las escalas de velocidad y longitud son infinitamente grandes. Los movimientos de los dos están restringidos en el sentido de que todos los movimientos de fluidos en masa perpendiculares al campo magnético dan como resultado un movimiento perpendicular coincidente del campo a la misma velocidad y viceversa.

Formalmente, la conexión entre el movimiento del fluido y el movimiento del campo magnético se detalla en dos resultados principales, a menudo denominados conservación del flujo magnético y conservación de la línea del campo magnético . La conservación del flujo magnético implica que el flujo magnético a través de una superficie que se mueve con la velocidad del fluido en masa es constante, y la conservación de la línea del campo magnético implica que, si dos elementos de fluido están conectados por una línea de campo magnético, siempre lo estarán. ^[4]

Tubos de flujo y líneas de campo

Las superficies S ₁ y S ₂ son secciones transversales de un tubo de flujo magnético; el flujo magnético a través de S ₁ es igual al flujo magnético a través de S ₂ .

El teorema de Alfvén se expresa frecuentemente en términos de tubos de flujo magnético y líneas de campo magnético.

Un tubo de flujo magnético es una región del espacio con forma de tubo o cilindro que contiene un campo magnético de modo que sus lados son paralelos en todas partes al campo. En consecuencia, el flujo magnético a través de estos lados es cero y las secciones transversales a lo largo de la longitud del tubo tienen un flujo magnético constante e igual. En el límite de un gran número de Reynolds magnético, el teorema de Alfvén requiere que estas superficies de flujo constante se muevan con el fluido en el que están incrustadas. Como tal, los tubos de flujo magnético están congelados en el fluido.

La intersección de los lados de dos tubos de flujo magnético forma una línea de campo magnético, una curva que es paralela en todas partes al campo magnético. En fluidos en los que los tubos de flujo están congelados, se deduce que las líneas de campo magnético también deben estar congeladas. Sin embargo, las condiciones para las líneas de campo congeladas son más débiles que las condiciones para los tubos de flujo congelados o, equivalentemente, para la conservación del flujo. ^{[5] : 25}

Enunciado matemático

En términos matemáticos, el teorema de Alfvén establece que, en un fluido conductor de electricidad en el límite de un gran número de Reynolds magnético, el flujo magnético Φ _B a través de una superficie de material abierta y orientable transportada por un campo de velocidad macroscópico dependiente del espacio y del tiempo ^{[nota 1]} v es constante, o

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0,}$

donde D / Dt = ∂/∂ t + ( v ⋅ ∇) es la derivada advectiva .

Conservación del flujo

En la magnetohidrodinámica ideal , la inducción magnética predomina sobre la difusión magnética en las escalas de velocidad y longitud que se estudian. Se supone entonces que el término de difusión en la ecuación de inducción que rige es pequeño en relación con el término de inducción y se descuida. La ecuación de inducción se reduce entonces a su forma ideal:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$

La conservación del flujo magnético a través de superficies materiales incrustadas en el fluido se desprende directamente de la ecuación de inducción ideal y de la suposición de que no hay monopolos magnéticos a través de la ley de Gauss para el magnetismo . ^{[6] [7]}

La superficie cerrada formada por S ₁ , S ₂ y S ₃

En un fluido conductor de electricidad con un campo magnético B dependiente del espacio y del tiempo y un campo de velocidad v , una superficie arbitraria, orientable y abierta S ₁ en el tiempo t es transportada por v en un tiempo pequeño δt a la superficie S ₂ . La tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie a medida que es transportado desde S ₁ a S ₂ es entonces

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.}$

La integral de superficie sobre S ₂ se puede reexpresar aplicando la ley de Gauss para el magnetismo para suponer que el flujo magnético a través de una superficie cerrada formada por S ₁ , S ₂ y la superficie S ₃ que conecta los límites de S ₁ y S ₂ es cero. En el tiempo t + δt , esta relación se puede expresar como

${\displaystyle 0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},}$

donde el sentido de S ₁ se invirtió de modo que d S ₁ apunta hacia afuera del volumen encerrado. En la integral de superficie sobre S ₃ , el elemento de superficie diferencial d S ₃ = d l × v δt donde d l es el elemento de línea alrededor del límite ∂ S ₁ de la superficie S ₁ . Resolviendo la integral de superficie sobre S ₂ se obtiene

${\displaystyle \iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,}$

donde el término final se reescribió utilizando las propiedades de los productos triples escalares y se tomó una aproximación de primer orden . Sustituyendo esto en la expresión para D Φ _B / Dt y simplificando, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}}$

Aplicando la definición de derivada parcial al integrando del primer término, aplicando el teorema de Stokes al segundo término y combinando las integrales de superficie resultantes se obtiene

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.}$

Usando la ecuación de inducción ideal, el integrando se desvanece y

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.}$

Conservación de líneas de campo

La conservación de la línea de campo también se puede derivar matemáticamente utilizando la ecuación de inducción ideal, la ley de Gauss para el magnetismo y la ecuación de continuidad de masa. ^[5]

La ecuación de inducción ideal se puede reescribir utilizando una identidad vectorial y la ley de Gauss para el magnetismo como

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).}$

Utilizando la ecuación de continuidad de masa,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$

La ecuación de inducción ideal se puede reorganizar aún más para obtener

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .}$

De manera similar, para un segmento de línea δ l donde v es la velocidad del plasma en masa en un extremo y v + δ v es la velocidad en el otro extremo, la velocidad diferencial entre los dos extremos es δ v = ( δ l ⋅ ∇) v y

${\displaystyle {\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$,

que tiene la misma forma que la ecuación obtenida anteriormente para B / ρ . Por lo tanto, si δ l y B son inicialmente paralelas, permanecerán paralelas.

Si bien la conservación del flujo implica la conservación de la línea de campo (véase § Tubos de flujo y líneas de campo), las condiciones para esta última son más débiles que las condiciones para la primera. A diferencia de las condiciones para la conservación del flujo, las condiciones para la conservación de la línea de campo pueden cumplirse cuando en la ecuación de inducción ideal está presente un término fuente adicional paralelo al campo magnético.

Matemáticamente, para que las líneas de campo se congelen, el fluido debe satisfacer

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,}$

mientras que, para que el flujo se conserve, el fluido debe satisfacer la condición más fuerte impuesta por la ecuación de inducción ideal. ^{[8] [9]}

Teorema de circulación de Kelvin

El teorema de circulación de Kelvin establece que los tubos de vórtice que se mueven con un fluido ideal están congelados en el fluido, de manera análoga a cómo los tubos de flujo magnético que se mueven con un fluido MHD ideal perfectamente conductor están congelados en el fluido. La ecuación de inducción ideal tiene la misma forma que la ecuación de vorticidad ω = ∇ × v en un fluido ideal donde v es el campo de velocidad:

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).}$

Sin embargo, la ecuación de inducción es lineal, mientras que existe una relación no lineal entre ∇ × v y v en la ecuación de vorticidad. ^[9]

Trascendencia

El teorema de Alfvén indica que la topología del campo magnético no puede cambiar en un fluido perfectamente conductor. Sin embargo, en el caso de flujos complicados o turbulentos, esto daría lugar a campos magnéticos muy enredados con topologías muy complicadas que deberían impedir los movimientos del fluido. Los plasmas astrofísicos con altas conductividades eléctricas generalmente no muestran campos enredados tan complicados. La reconexión magnética parece ocurrir en estos plasmas a diferencia de lo que se esperaría de las condiciones de congelación del flujo. Esto tiene implicaciones importantes para los dinamos magnéticos . De hecho, una conductividad eléctrica muy alta se traduce en números de Reynolds magnéticos altos, lo que indica que el plasma será turbulento. ^[10]

Fluidos resistivos

Incluso para el caso no ideal, en el que la conductividad eléctrica no es infinita, se puede obtener un resultado similar definiendo la velocidad de transporte del flujo magnético escribiendo:

${\displaystyle \nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}}$

en el que, en lugar de la velocidad del fluido v , se ha utilizado la velocidad de flujo w . Aunque, en algunos casos, este campo de velocidad se puede encontrar utilizando ecuaciones magnetohidrodinámicas , la existencia y unicidad de este campo vectorial depende de las condiciones subyacentes. ^[11]

Teorema estocástico de Alfvén

Las investigaciones del siglo XXI han afirmado que el teorema clásico de Alfvén es incompatible con el fenómeno de la estocasticidad espontánea. Se ha demostrado que las leyes de conservación estocástica desarrolladas para describir el comportamiento hidrodinámico también se aplican en el régimen magnetohidrodinámico. El uso de las mismas herramientas produce resultados equivalentes a los del teorema clásico de Alfvén en condiciones ideales, al tiempo que describe la conservación del flujo y la reconexión magnética en condiciones no ideales (del mundo real). Por lo tanto, las soluciones estocásticas de congelamiento del flujo pueden proporcionar mejores descripciones de los fenómenos observados sin depender de condiciones idealizadas que son raras o incluso ausentes en el entorno observado. ^{[12] [13]}

Este teorema generalizado establece que las líneas de campo magnético del campo magnético de grano fino B están "congeladas" en las trayectorias estocásticas resolviendo la siguiente ecuación diferencial estocástica , conocida como ecuación de Langevin :

${\displaystyle d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)}$

donde η es la difusividad magnética y W es el ruido blanco gaussiano tridimensional (véase también el proceso de Wiener ). Los muchos vectores de campo virtuales que llegan al mismo punto final deben promediarse para obtener el campo magnético físico en ese punto. ^[14]

Véase también

• Ola de Alfvén
• Presión magnética
• Tensión magnética

Notas explicativas

1. En magnetohidrodinámica (MHD), el campo de velocidad volumétrica v es una combinación lineal de los movimientos medios de las especies individuales ponderados por la masa respectiva de las especies. Según el teorema de Alfvén, el campo magnético está restringido a moverse con esta velocidad volumétrica, pero no necesariamente con la velocidad de las especies individuales. Como tal, el teorema de Alfvén no garantiza que las especies individuales dentro del fluido estén restringidas a moverse con el campo magnético, y las corrientes pueden fluir perpendicularmente al campo magnético siempre que la velocidad volumétrica coincida con la velocidad del campo magnético. ^{[ cita requerida ]}

Referencias

1. Alfven, Hannes (1943). «Sobre la existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas» (PDF) . Arkiv para matemática, astronomía y física . 29B(2): 1–7.
2. Alfvén, Hannes (1942). "Existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas". Nature . 150 (3805): 405. Bibcode :1942Natur.150..405A. doi :10.1038/150405d0. S2CID  4072220.
3. Alfvén, H. (agosto de 1976). "Sobre líneas de campo congeladas y reconexión de líneas de campo". Revista de investigación geofísica . 81 (22): 4019–4021. Código Bibliográfico :1976JGR....81.4019A. doi :10.1029/JA081i022p04019.
4. Priest, E. (2016). "Estructuras MHD en reconexión tridimensional". Reconexión magnética . Biblioteca de Astrofísica y Ciencia Espacial. Vol. 427. págs. 101–142. doi :10.1007/978-3-319-26432-5_3. ISBN 978-3-319-26430-1.
5. Priest, Eric; Forbes, Terry (2000). Reconexión magnética: teoría y aplicaciones de la MHD (primera edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48179-1.
6. Blackman, Eric G (1 de marzo de 2013). "Sobre la derivación de la congelación del flujo en magnetohidrodinámica por diferenciación directa". Revista Europea de Física . 34 (2): 489–494. arXiv : 1301.3562 . Código Bibliográfico :2013EJPh...34..489B. doi :10.1088/0143-0807/34/2/489. S2CID  119247916.
7. Lyu, Ling-Hsiao (2010). Física elemental del plasma espacial (PDF) . Taipei: Airiti Press Inc., págs. 173-176. ISBN 978-9868270954. Recuperado el 12 de enero de 2023 .
8. Eyink, Gregory L.; Aluie, Hussein (noviembre de 2006). "La ruptura del teorema de Alfvén en flujos de plasma ideales: condiciones necesarias y conjeturas físicas". Physica D: Nonlinear Phenomena . 223 (1): 82–92. arXiv : physics/0607073 . Bibcode :2006PhyD..223...82E. doi :10.1016/j.physd.2006.08.009. S2CID  16529234.
9. Gubbins, David; Herrero-Bervera, Emilio, eds. (2007). Enciclopedia de geomagnetismo y paleomagnetismo. Dordrecht: Springer. págs. 7-11. doi :10.1007/978-1-4020-4423-6. ISBN 978-1-4020-3992-8.
10. Eyink, Gregory; Aluie, Hussein (2006). "La ruptura del teorema de Alfvén en flujos de plasma ideales: condiciones necesarias y conjeturas físicas". Physica D: Nonlinear Phenomena . 223 (1): 82. arXiv : physics/0607073 . Bibcode :2006PhyD..223...82E. doi :10.1016/j.physd.2006.08.009. S2CID  16529234.
11. Wilmot-Smith, AL; Priest, ER; Horing, G. (2005). "Difusión magnética y movimiento de líneas de campo". Dinámica de fluidos geofísicos y astrofísicos . 99 (2): 177–197. Código Bibliográfico :2005GApFD..99..177W. doi :10.1080/03091920500044808. S2CID  51997635.
12. Eyink, Gregory (2011). "Congelación de flujo estocástico y dinamo magnético". Physical Review E . 83 (5): 056405. arXiv : 1008.4959 . Código Bibliográfico :2011PhRvE..83e6405E. doi :10.1103/PhysRevE.83.056405. PMID  21728673.
13. Eyink, Gregory (2009). "Movimiento lineal estocástico y conservación del flujo estocástico para modelos hidromagnéticos no ideales". Journal of Mathematical Physics . 50 (8): 083102. arXiv : 0812.0153 . doi :10.1063/1.3193681.
14. Lalescu, Cristian C.; Shi, Yi-Kang; Eyink, Gregory; Drivas, Theodore D.; Vishniac, Ethan; Lazarian, Alex (2015). "Reconexión de rango inercial en turbulencia magnetohidrodinámica y en el viento solar". Physical Review Letters . 115 (2): 025001. arXiv : 1503.00509 . Código Bibliográfico :2015PhRvL.115b5001L. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.025001 . PMID  26207472.