Conjetura de Thomas-Yau

Conjetura en geometría simpléctica

En matemáticas , y especialmente en geometría simpléctica , la conjetura de Thomas-Yau plantea la existencia de una condición de estabilidad, similar a las que aparecen en geometría algebraica , que garantice la existencia de una solución a la ecuación especial de Lagrange dentro de una clase isotópica hamiltoniana de subvariedades de Lagrange . En particular, la conjetura contiene dos dificultades: primero, plantea la pregunta de cuál podría ser una condición de estabilidad adecuada y, segundo, si se puede probar la estabilidad de una clase isotópica si y solo si contiene un representante especial de Lagrange.

La conjetura de Thomas-Yau fue propuesta por Richard Thomas y Shing-Tung Yau en 2001, ^{[1] [2]} y fue motivada por teoremas similares en geometría algebraica que relacionan la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales geométricas y condiciones de estabilidad, especialmente la correspondencia de Kobayashi-Hitchin que relaciona fibrados vectoriales de pendiente estable con métricas hermíticas de Yang-Mills .

La conjetura está íntimamente relacionada con la simetría especular , una conjetura en la teoría de cuerdas y la física matemática que predice que en espejo de una variedad simpléctica (que es una variedad de Calabi–Yau ) debería haber otra variedad de Calabi–Yau para la cual la estructura simpléctica se intercambia con la estructura compleja . ^[3] En particular, la simetría especular predice que los lagrangianos especiales, que son el modelo de teoría de cuerdas Tipo IIA de las D-branas BPS , deberían intercambiarse con las mismas estructuras en el modelo Tipo IIB, que están dadas por fibrados vectoriales estables o fibrados vectoriales que admiten métricas hermíticas de Yang–Mills o posiblemente hermíticas deformadas de Yang–Mills . Motivado por esto, Dominic Joyce reformuló la conjetura de Thomas-Yau en 2014, prediciendo que la condición de estabilidad puede entenderse utilizando la teoría de las condiciones de estabilidad de Bridgeland definidas en la categoría de Fukaya de la variedad de Calabi-Yau, que es una categoría triangulada que aparece en la conjetura de simetría especular homológica de Kontsevich . ^[4]

Declaración

El enunciado de la conjetura de Thomas-Yau no es completamente preciso, ya que la condición de estabilidad particular aún no se conoce. En el trabajo de Thomas y Thomas-Yau, la condición de estabilidad se dio en términos del flujo de curvatura media lagrangiano dentro de la clase isotópica hamiltoniana del lagrangiano, pero la reinterpretación de la conjetura por parte de Joyce predice que esta condición de estabilidad puede darse en forma categórica o algebraica en términos de las condiciones de estabilidad de Bridgeland .

Subvariedades lagrangianas especiales

Considérese una variedad de Calabi–Yau de dimensión compleja , que es en particular una variedad simpléctica real de dimensión . Entonces una subvariedad lagrangiana es una subvariedad de dimensión real tal que la forma simpléctica es idénticamente cero cuando se restringe a , es decir . La forma de volumen holomorfa , cuando se restringe a una subvariedad lagrangiana, se convierte en una forma diferencial de grado superior . Si el lagrangiano está orientado, entonces existe una forma de volumen en y se puede comparar esta forma de volumen con la restricción de la forma de volumen holomorfa: para alguna función de valor complejo . La condición de que sea una variedad de Calabi–Yau implica que la función tiene norma 1, por lo que tenemos donde es el ángulo de fase de la función . En principio, esta función de fase solo es localmente continua, y su valor puede saltar. Un lagrangiano graduado es un lagrangiano junto con una elevación del ángulo de fase a , que satisface en todas partes en . ${\displaystyle (X,\omega ,\Omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L\subset X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left.\omega \right|_{L}=0}$ ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{n,0}(X)}$ ${\displaystyle dV_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left.\Omega \right|_{L}=fdV_{L}}$ ${\displaystyle f:L\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=e^{i\Theta }}$ ${\displaystyle \Theta :L\to [0,2\pi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \vartheta :L\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Theta =\vartheta \mod 2\pi }$ ${\displaystyle L}$

Se dice que una lagrangiana graduada y orientada es una subvariedad lagrangiana especial si la función de ángulo de fase es constante en . El valor promedio de esta función, denotado , se puede calcular utilizando la forma de volumen como ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\arg \int _{L}\Omega ,}$

y sólo depende de la clase isotópica hamiltoniana de . Utilizando este valor medio, la condición de que es constante puede escribirse de la siguiente forma, que se da comúnmente en la literatura. Esta es la definición de una subvariedad lagrangiana especial: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle \mathrm {Im} (e^{-i\theta }\left.\Omega \right|_{L})=0.}$

Clases de isotopías hamiltonianas

La condición de ser un lagrangiano especial no se satisface para todos los lagrangianos, pero se predice que las propiedades geométricas y especialmente físicas de las subvariedades lagrangianas en la teoría de cuerdas dependen solo de la clase de isotopía hamiltoniana de la subvariedad lagrangiana. Una isotopía es una transformación de una subvariedad dentro de una variedad ambiente que es una homotopía por incrustaciones. En una variedad simpléctica, una isotopía simpléctica requiere que estas incrustaciones sean por simplectomorfismos , y una isotopía hamiltoniana es una isotopía simpléctica para la cual los simplectomorfismos son generados por funciones hamiltonianas . Dada una subvariedad lagrangiana , la condición de ser un lagrangiano se conserva bajo isotopías hamiltonianas (de hecho simplécticas), y la colección de todas las subvariedades lagrangianas que son isotópicas hamiltonianas a se denota , llamada la clase de isotopía hamiltoniana de . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [L]}$ ${\displaystyle L}$

Flujo de curvatura media lagrangiana y condición de estabilidad

Dada una variedad riemanniana y una subvariedad , el flujo de curvatura media es una ecuación diferencial satisfecha para una familia de un parámetro de incrustaciones definidas para en algún intervalo con imágenes denotadas , donde . Es decir, la familia satisface el flujo de curvatura media si ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \iota :N\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle \iota _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,T)}$ ${\displaystyle N^{t}}$ ${\displaystyle N^{0}=N}$

${\displaystyle {\frac {d\iota _{t}}{dt}}=H_{\iota _{t}}}$

donde es la curvatura media de la subvariedad . Este flujo es el flujo de gradiente del volumen funcional sobre subvariedades de la variedad de Riemann , y siempre existe existencia de soluciones en tiempos cortos a partir de una subvariedad dada . ${\displaystyle H_{\iota _{t}}}$ ${\displaystyle N^{t}\subset M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

En una variedad de Calabi-Yau, si es un lagrangiano, la condición de ser un lagrangiano se conserva al estudiar el flujo de curvatura media de con respecto a la métrica de Calabi-Yau. Por lo tanto, esto se llama flujo de curvatura media lagrangiano ( Lmcf ). Además, para un lagrangiano graduado , Lmcf conserva la clase isotópica hamiltoniana, por lo que para todos donde se define Lmcf. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (L,\vartheta )}$ ${\displaystyle L^{t}\in [L]}$ ${\displaystyle t\in [0,T)}$

Thomas introdujo una condición de estabilidad conjetural ^[1] definida en términos de gradaciones al dividir en sumas conexas lagrangianas. Es decir, una lagrangiana graduada se llama estable siempre que pueda escribirse como una suma conexa lagrangiana graduada. ${\displaystyle (L,\vartheta )}$

${\displaystyle (L,\vartheta )=(L_{1},\vartheta _{1})\#(L_{2},\vartheta _{2})}$

Las fases promedio satisfacen la desigualdad

${\displaystyle \theta _{1}<\theta _{2}.}$

En el lenguaje posterior de Joyce, utilizando la noción de una condición de estabilidad de Bridgeland, esto se explicó con más detalle de la siguiente manera: un lagrangiano casi calibrado (lo que significa que se considera que la fase elevada se encuentra en el intervalo o en algún desplazamiento entero de este intervalo) que se divide como una suma conexa graduada de lagrangianos casi calibrados corresponde a un triángulo distinguido ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$

${\displaystyle L_{1}\to L_{1}\#L_{2}\to L_{2}\to L_{1}[1]}$

en la categoría de Fukaya. El lagrangiano es estable si para cualquier triángulo distinguido se cumple la desigualdad angular anterior. ${\displaystyle (L,\vartheta )}$

Enunciado de la conjetura

La conjetura tal como la propuso originalmente Thomas es la siguiente:

Conjetura: ^[1] Un lagrangiano orientado, graduado y casi calibrado admite un representante lagrangiano especial en su clase isotópica hamiltoniana si y sólo si es estable en el sentido mencionado anteriormente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [L]}$

Posteriormente, en el trabajo de Thomas-Yau, también se predijo el comportamiento del flujo de curvatura media lagrangiana.

Conjetura (Thomas–Yau): ^{[1] [2]} Si un lagrangiano orientado, graduado y casi calibrado es estable, entonces el flujo de curvatura media lagrangiana existe para todo el tiempo y converge a un representante lagrangiano especial en la clase de isotopía hamiltoniana . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [L]}$

Esta conjetura fue reforzada por Joyce, quien proporcionó un análisis más sutil de qué comportamiento se espera del flujo de curvatura media lagrangiana. En particular, Joyce describió los tipos de formación de singularidades de tiempo finito que se espera que ocurran en el flujo de curvatura media lagrangiana y propuso expandir la clase de lagrangianos estudiados para incluir subvariedades lagrangianas singulares o inmersas, que deberían aparecer en la categoría completa de Fukaya de Calabi-Yau.

Conjetura (Thomas–Yau–Joyce): ^[4] Un lagrangiano orientado, graduado y casi calibrado se divide como una suma conexa lagrangiana graduada de subvariedades lagrangianas especiales con ángulos de fase dados por la convergencia del flujo de curvatura media lagrangiana con intervenciones quirúrgicas para eliminar singularidades en una secuencia de tiempos finitos . En estos puntos de intervención quirúrgica, el lagrangiano puede cambiar su clase isotópica hamiltoniana pero conserva su clase en la categoría de Fukaya. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}\#\cdots \#L_{k}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{1}>\cdots >\theta _{k}}$ ${\displaystyle 0<T_{1}<\cdots <T_{k}}$

En el lenguaje de la formulación de la conjetura de Joyce, la descomposición es un análogo simpléctico de la filtración de Harder-Narasimhan de un fibrado vectorial, y utilizando la interpretación de Joyce de la conjetura en la categoría de Fukaya con respecto a una condición de estabilidad de Bridgeland, la carga central está dada por ${\displaystyle L=L_{1}\#\cdots \#L_{k}}$

${\displaystyle Z(L)=\int _{L}\Omega }$,

Se conjetura que el corazón de la estructura t que define la condición de estabilidad está dado por aquellos lagrangianos en la categoría de Fukaya con fase , y la conjetura de Thomas–Yau–Joyce predice que el flujo de curvatura media lagrangiana produce la condición de filtración de Harder–Narasimhan que se requiere para demostrar que los datos definen una condición de estabilidad de Bridgeland genuina en la categoría de Fukaya. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {A}})}$

Referencias

1. Thomas, RP (2001). "Mapas de momentos, monodromía y variedades especulares". Geometría simpléctica y simetría especular . págs. 467–498. arXiv : math/0104196 . doi :10.1142/9789812799821_0013. ISBN 978-981-02-4714-0. Número de identificación del sujeto  15284349.
2. Thomas, RP; Yau, S.-T. (2002). "Lagrangianos especiales, haces estables y flujo de curvatura media". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 10 (5): 1075–1113. arXiv : math/0104197 . doi : 10.4310/CAG.2002.V10.N5.A8 . S2CID  2153403.
3. Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Ravi, Vakil; Zaslow, Eric (2003). Simetría especular (PDF) . Monografías de Clay Mathematics. Vol. 1. AMS y Clay Mathematics Institute. p. 929. ISBN 978-0-8218-2955-4.
4. Joyce, Dominic (2015). "Conjeturas sobre la estabilidad de Bridgeland para categorías de Fukaya de variedades de Calabi-Yau, lagrangianos especiales y flujo de curvatura media lagrangiana". Encuestas EMS en Ciencias Matemáticas . 2 : 1–62. arXiv : 1401.4949 . doi :10.4171/EMSS/8. S2CID  118102887.