El teorema de Quillen-Suslin , también conocido como problema de Serre o conjetura de Serre , es un teorema en álgebra conmutativa sobre la relación entre módulos libres y módulos proyectivos sobre anillos polinomiales . En el entorno geométrico, es una afirmación sobre la trivialidad de los paquetes de vectores en el espacio afín .
El teorema establece que todo módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo polinómico es libre .
Geométricamente, los módulos proyectivos generados finitamente sobre el anillo corresponden a haces de vectores sobre espacio afín , donde los módulos libres corresponden a haces de vectores triviales. Esta correspondencia (de módulos a paquetes de vectores (algebraicos)) está dada por el funtor de 'globalización' o 'twiddlificación', envío (Hartshorne II.5, página 110). El espacio afín es topológicamente contráctil , por lo que no admite paquetes de vectores topológicos no triviales. Un argumento simple que utiliza la secuencia exponencial exacta y el lema de Poincaré de barra d muestra que tampoco admite paquetes de vectores holomorfos no triviales .
Jean-Pierre Serre , en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents , comentó que la pregunta correspondiente no se conocía para los haces de vectores algebraicos: "No se sabe si existen módulos A proyectivos de tipo finito que no sean libres". [1] Aquí hay un anillo polinomial sobre un campo , es decir, = .
Para consternación de Serre, este problema rápidamente se conoció como la conjetura de Serre. (Serre escribió: "Me opuse tan a menudo como pude [al nombre]." [2] ) La afirmación no se desprende inmediatamente de las pruebas dadas en el caso topológico u holomórfico. Estos casos sólo garantizan que exista una trivialización continua u holomorfa, no una trivialización algebraica.
Serre hizo algunos avances hacia una solución en 1957 cuando demostró que cada módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo polinomial sobre un campo era establemente libre , lo que significa que después de formar su suma directa con un módulo libre generado finitamente, se volvía libre. El problema permaneció abierto hasta 1976, cuando Daniel Quillen y Andrei Suslin demostraron el resultado de forma independiente. Quillen recibió la Medalla Fields en 1978 en parte por su prueba de la conjetura de Serre. Leonid Vaseršteĭn dio más tarde una demostración más simple y mucho más breve del teorema, que se puede encontrar en el Álgebra de Serge Lang .
Una generalización que relaciona módulos proyectivos sobre anillos noetherianos regulares A y sus anillos polinomiales se conoce como conjetura de Bass-Quillen .
Tenga en cuenta que aunque los paquetes en espacio afín son todos triviales, esto no es cierto para los paquetes G donde G es un grupo algebraico reductivo general .
Un relato de este tema es proporcionado por:
![{\displaystyle R[x_{1},\dots,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4655882a55bf72acec0737c4a089be5c4463adff)
![{\displaystyle k[x_{1},\dots,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6b93b5ea01d89530418e3348fcd76cf5aa18a3)
