En matemáticas , el teorema de Clifford sobre divisores especiales es un resultado de William K. Clifford (1878) sobre curvas algebraicas , que muestra las restricciones de los sistemas lineales especiales en una curva C.
Un divisor en una superficie de Riemann C es una suma formal de puntos P en C con coeficientes enteros. Se considera un divisor como un conjunto de restricciones sobre funciones meromórficas en el campo de funciones de C, definiéndose como el espacio vectorial de funciones que tienen polos solo en puntos de D con coeficiente positivo, como máximo tan malo como el coeficiente indique, y que tienen ceros en puntos de D con coeficiente negativo, con al menos esa multiplicidad. La dimensión de es finita y se denota . El sistema lineal de divisores asociado a D es el espacio proyectivo correspondiente de dimensión .
El otro invariante significativo de D es su grado d , que es la suma de todos sus coeficientes.
Un divisor se llama especial si ℓ ( K − D ) > 0, donde K es el divisor canónico . [1]
El teorema de Clifford establece que para un divisor especial efectivo D , se tiene:
y esa igualdad sólo se cumple si D es cero o un divisor canónico, o si C es una curva hiperelíptica y D es linealmente equivalente a un múltiplo entero de un divisor hiperelíptico.
El índice de Clifford de C se define entonces como el mínimo de tomado sobre todos los divisores especiales (excepto los canónicos y triviales), y el teorema de Clifford establece que esto no es negativo. Se puede demostrar que el índice de Clifford para una curva genérica de género g es igual a la función de piso
El índice de Clifford mide lo lejos que está la curva de ser hiperelíptica. Puede considerarse como un refinamiento de la gonalidad : en muchos casos, el índice de Clifford es igual a la gonalidad menos 2. [2]
Una conjetura de Mark Green establece que el índice de Clifford para una curva sobre los números complejos que no es hiperelíptica debe determinarse por el grado en que C como curva canónica tiene sicigias lineales. En detalle, se define el invariante a ( C ) en términos de la resolución libre mínima del anillo de coordenadas homogéneo de C en su incrustación canónica, como el índice más grande i para el cual el número de Betti graduado β i , i + 2 es cero. Green y Robert Lazarsfeld demostraron que a ( C ) + 1 es un límite inferior para el índice de Clifford, y la conjetura de Green establece que la igualdad siempre se cumple. Hay numerosos resultados parciales. [3]
Claire Voisin recibió el Premio Ruth Lyttle Satter en Matemáticas por su solución del caso genérico de la conjetura de Green en dos artículos. [4] [5] El caso de la conjetura de Green para curvas genéricas había atraído una enorme cantidad de esfuerzo por parte de los geómetras algebraicos durante veinte años antes de que finalmente Voisin lo descartara. [6] La conjetura para curvas arbitrarias permanece abierta.
