Integración funcional

Integración sobre el espacio de funciones

La integración funcional es un conjunto de resultados en matemáticas y física donde el dominio de una integral ya no es una región del espacio, sino un espacio de funciones . Las integrales funcionales surgen en la probabilidad , en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en el enfoque de la integral de trayectorias para la mecánica cuántica de partículas y campos.

En una integral ordinaria (en el sentido de la integración de Lebesgue ) hay una función a integrar (el integrando) y una región del espacio sobre la cual integrar la función (el dominio de integración). El proceso de integración consiste en sumar los valores del integrando para cada punto del dominio de integración. Hacer que este procedimiento sea riguroso requiere un procedimiento límite, donde el dominio de integración se divide en regiones cada vez más pequeñas. Para cada región pequeña, el valor del integrando no puede variar mucho, por lo que puede reemplazarse por un solo valor. En una integral funcional, el dominio de integración es un espacio de funciones. Para cada función, el integrando devuelve un valor para sumar. Hacer que este procedimiento sea riguroso plantea desafíos que siguen siendo temas de investigación actuales.

La integración funcional fue desarrollada por Percy John Daniell en un artículo de 1919 ^[1] y Norbert Wiener en una serie de estudios que culminaron en sus artículos de 1921 sobre el movimiento browniano . Desarrollaron un método riguroso (ahora conocido como la medida de Wiener ) para asignar una probabilidad a la trayectoria aleatoria de una partícula. Richard Feynman desarrolló otra integral funcional, la integral de trayectoria , útil para calcular las propiedades cuánticas de los sistemas. En la integral de trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula se reemplaza por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada una ponderada de manera diferente según sus propiedades clásicas.

La integración funcional es fundamental para las técnicas de cuantificación en física teórica. Las propiedades algebraicas de las integrales funcionales se utilizan para desarrollar series que se utilizan para calcular propiedades en electrodinámica cuántica y el modelo estándar de física de partículas.

Integración funcional

Mientras que la integración estándar de Riemann suma una función f ( x ) sobre un rango continuo de valores de x , la integración funcional suma una G [ f ] funcional , que puede considerarse como una "función de una función" sobre un rango continuo (o espacio) de funciones f . La mayoría de las integrales funcionales no se pueden evaluar de forma exacta, sino que deben evaluarse utilizando métodos de perturbación . La definición formal de una integral funcional es $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$

Sin embargo, en la mayoría de los casos las funciones f ( x ) se pueden escribir en términos de una serie infinita de funciones ortogonales tales como , y entonces la definición se convierte en ${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$ $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$

lo cual es un poco más comprensible. Se muestra que la integral es una integral funcional con una . mayúscula . A veces, el argumento se escribe entre corchetes para indicar la dependencia funcional de la función en la medida de integración funcional. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$

Ejemplos

La mayoría de las integrales funcionales son infinitas, pero a menudo el límite del cociente de dos integrales funcionales relacionadas puede ser finito. Las integrales funcionales que se pueden evaluar con exactitud suelen empezar con la siguiente integral gaussiana :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

en el que . Al derivar funcionalmente esto con respecto a J ( x ) y luego establecerlo en 0, se convierte en un exponencial multiplicado por un monomio en f . Para ver esto, usemos la siguiente notación: ${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

Con esta notación la primera ecuación se puede escribir como:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

Ahora, llevando las derivadas funcionales a la definición de y luego evaluando en , se obtiene: ${\displaystyle W[J]}$ ${\displaystyle J=0}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

que es el resultado esperado. Además, utilizando la primera ecuación se llega al resultado útil:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

Juntando estos resultados y volviendo a la notación original tenemos:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

Otra integral útil es la función delta funcional :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

lo cual es útil para especificar restricciones. Las integrales funcionales también se pueden realizar sobre funciones con valores de Grassmann , donde , lo cual es útil en electrodinámica cuántica para cálculos que involucran fermiones . ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$

Enfoques para las integrales de trayectoria

Las integrales funcionales en las que el espacio de integración consiste en trayectorias ( ν = 1) se pueden definir de muchas maneras diferentes. Las definiciones se dividen en dos clases diferentes: las construcciones derivadas de la teoría de Wiener producen una integral basada en una medida , mientras que las construcciones que siguen la integral de trayectoria de Feynman no lo hacen. Incluso dentro de estas dos amplias divisiones, las integrales no son idénticas, es decir, se definen de manera diferente para diferentes clases de funciones.

La integral de Wiener

En la integral de Wiener , se asigna una probabilidad a una clase de trayectorias de movimiento browniano . La clase consta de las trayectorias w que se sabe que pasan por una pequeña región del espacio en un momento dado. Se supone que el paso por diferentes regiones del espacio es independiente entre sí, y se supone que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria browniana tiene una distribución gaussiana con una varianza que depende del tiempo t y de una constante de difusión D :

${\displaystyle \Pr {\big (}w(s+t),t\mid w(s),s{\big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {\|w(s+t)-w(s)\|^{2}}{2Dt}}\right).}$

La probabilidad de la clase de caminos se puede hallar multiplicando las probabilidades de comenzar en una región y luego estar en la siguiente. La medida de Wiener se puede desarrollar considerando el límite de muchas regiones pequeñas.

• Cálculo de Itō y Stratonovich

La integral de Feynman

• Fórmula de Trotter, o fórmula del producto de Lie .
• La idea de Kac sobre las rotaciones de Wick.
• Usando x-punto-punto-cuadrado o i S[x] + x-punto-cuadrado.
• El Cartier DeWitt–Morette se basa en integradores en lugar de medidas

La integral de Lévy

• Mecánica cuántica fraccional
• Ecuación fraccionaria de Schrödinger
• Proceso Lévy
• Mecánica estadística fraccionaria

Véase también

• Integral de trayectoria de Feynman
• Función de partición (teoría cuántica de campos)
• Aproximación del punto de silla

Referencias

1. Daniell, PJ (julio de 1919). "Integrales en un número infinito de dimensiones". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 20 (4): 281–288. doi :10.2307/1967122. JSTOR  1967122.

Lectura adicional

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4(2):8674.
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4.ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); ISBN 981-238-107-4 (también disponible en línea: archivos PDF) 
• Laskin, Nick (2000). "Mecánica cuántica fraccional". Physical Review E . 62 (3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Código Bibliográfico :2000PhRvE..62.3135L. doi :10.1103/PhysRevE.62.3135. PMID  11088808. S2CID  15480739.
• Laskin, Nick (2002). "Ecuación de Schrödinger fraccionaria". Physical Review E . 66 (5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Código Bibliográfico :2002PhRvE..66e6108L. doi :10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956.
• Minlos, RA (2001) [1994], "Integral sobre trayectorias", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. Integrales continuas . Moscú, Imprenta de la Universidad Estatal de Moscú, 1990. (en ruso). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov , Integrales funcionales en la teoría cuántica de campos y la física estadística, Springer 1983
• Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, Un enfoque unificado para la integración de dimensión infinita, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)