Canal cuántico

Objeto fundamental en la teoría de la comunicación cuántica

En la teoría de la información cuántica , un canal cuántico es un canal de comunicación que puede transmitir información cuántica , así como información clásica. Un ejemplo de información cuántica es la dinámica general de un cúbit . Un ejemplo de información clásica es un documento de texto transmitido a través de Internet .

En términos terminológicos, los canales cuánticos son mapas completamente positivos (CP) que preservan las trazas entre espacios de operadores. En otras palabras, un canal cuántico es simplemente una operación cuántica considerada no simplemente como la dinámica reducida de un sistema sino como una tubería destinada a transportar información cuántica. (Algunos autores usan el término "operación cuántica" para incluir mapas que disminuyen las trazas mientras reservan "canal cuántico" para mapas que preservan estrictamente las trazas ^[1] )

Canal cuántico sin memoria

Supondremos por el momento que todos los espacios de estados de los sistemas considerados, clásicos o cuánticos, son de dimensión finita.

La palabra sin memoria en el título de la sección tiene el mismo significado que en la teoría de la información clásica : la salida de un canal en un momento dado depende solo de la entrada correspondiente y no de las anteriores.

Imagen de Schrödinger

Pensemos en los canales cuánticos que transmiten únicamente información cuántica. Ésta es precisamente una operación cuántica , cuyas propiedades resumiremos a continuación.

Sean y los espacios de estados ( espacios de Hilbert de dimensión finita ) de los extremos emisor y receptor, respectivamente, de un canal. denotará la familia de operadores en En la imagen de Schrödinger , un canal puramente cuántico es un mapa entre matrices de densidad que actúan sobre y con las siguientes propiedades: ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$ ${\displaystyle L(H_{A})}$ ${\displaystyle H_{A}.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$

1. Como lo exigen los postulados de la mecánica cuántica, debe ser lineal. ${\displaystyle \Phi }$
2. Como las matrices de densidad son positivas, se debe conservar el cono de elementos positivos. En otras palabras, es una función positiva . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
3. Si un ancilla de dimensión finita arbitraria n está acoplado al sistema, entonces la función inducida donde I _n es la función identidad en el ancilla, también debe ser positiva. Por lo tanto, se requiere que sea positiva para todo n . Dichas funciones se denominan completamente positivas . ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$ ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$
4. Las matrices de densidad están especificadas para tener traza 1, por lo que deben preservar la traza. ${\displaystyle \Phi }$

Los adjetivos " completamente positivo" y "conservador de trazas" que se utilizan para describir un mapa a veces se abrevian como CPTP . En la literatura, a veces se debilita la cuarta propiedad, de modo que solo se requiere que no aumente las trazas. En este artículo, se asumirá que todos los canales son CPTP. ${\displaystyle \Phi }$

Imagen de Heisenberg

Las matrices de densidad que actúan sobre H _A sólo constituyen un subconjunto propio de los operadores sobre H _A y lo mismo puede decirse del sistema B . Sin embargo, una vez que se especifica una función lineal entre las matrices de densidad, un argumento de linealidad estándar, junto con el supuesto de dimensión finita, nos permite extender de forma única al espacio completo de operadores. Esto conduce a la función adjunta , que describe la acción de en la imagen de Heisenberg : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Los espacios de operadores L ( H _A ) y L ( H _B ) son espacios de Hilbert con el producto interno de Hilbert–Schmidt . Por lo tanto, viéndolo como una función entre espacios de Hilbert, obtenemos su adjunto ^* dado por ${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

Mientras que toma los estados de A y los de B , asigna los observables del sistema B a los observables de A. Esta relación es la misma que existe entre las descripciones de la dinámica de Schrödinger y Heisenberg. Las estadísticas de medición permanecen inalteradas si los observables se consideran fijos mientras los estados experimentan una operación o viceversa. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$

Se puede comprobar directamente que si se supone que conserva la traza, es unital , es decir, . Físicamente hablando, esto significa que, en la imagen de Heisenberg, el observable trivial sigue siendo trivial después de aplicar el canal. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$

Información clásica

Hasta ahora sólo hemos definido un canal cuántico que transmite únicamente información cuántica. Como se indicó en la introducción, la entrada y la salida de un canal también pueden incluir información clásica. Para describir esto, es necesario generalizar un poco la formulación dada hasta ahora. Un canal puramente cuántico, en la imagen de Heisenberg, es una función lineal Ψ entre espacios de operadores:

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

que es unital y completamente positivo ( CP ). Los espacios de operadores pueden considerarse como C*-álgebras de dimensión finita . Por lo tanto, podemos decir que un canal es una función CP unital entre C*-álgebras:

${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}$

La información clásica puede incluirse entonces en esta formulación. Se puede suponer que los observables de un sistema clásico son un álgebra C* conmutativa, es decir, el espacio de funciones continuas en algún conjunto . Suponemos que es finito, por lo que se puede identificar con el espacio euclidiano n -dimensional con multiplicación por entradas. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Por lo tanto, en la imagen de Heisenberg, si la información clásica es parte, por ejemplo, de la entrada, definiríamos incluir los observables clásicos relevantes. Un ejemplo de esto sería un canal ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

Observe que sigue siendo un álgebra C*. Un elemento de un álgebra C* se llama positivo si para algún . La positividad de una función se define en consecuencia. Esta caracterización no es universalmente aceptada; el instrumento cuántico se da a veces como el marco matemático generalizado para transmitir información tanto cuántica como clásica. En las axiomatizaciones de la mecánica cuántica, la información clásica se transporta en un álgebra de Frobenius o categoría de Frobenius . ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=x^{*}x}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Evolución del tiempo

Para un sistema puramente cuántico, la evolución temporal, en un momento determinado t , viene dada por

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

donde y H es el hamiltoniano y t es el tiempo. Claramente esto da un mapa CPTP en la imagen de Schrödinger y por lo tanto es un canal. El mapa dual en la imagen de Heisenberg es ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

Restricción

Consideremos un sistema cuántico compuesto con espacio de estados. Para un estado ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

El estado reducido de ρ en el sistema A , ρ ^A , se obtiene tomando la traza parcial de ρ con respecto al sistema B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

La operación de traza parcial es un mapa CPTP, por lo tanto un canal cuántico en la imagen de Schrödinger. En la imagen de Heisenberg, el mapa dual de este canal es

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

donde A es un observable del sistema A .

Observable

Un observable asocia un valor numérico a un efecto mecánico cuántico . Se supone que los son operadores positivos que actúan en el espacio de estados apropiado y (una colección de este tipo se denomina POVM ). En la imagen de Heisenberg, el mapa observable correspondiente mapea un observable clásico. ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

Al mecánico cuántico

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

En otras palabras, se integra f contra el POVM para obtener el observable mecánico cuántico. Se puede comprobar fácilmente que es CP y unital. ${\displaystyle \Psi }$

El mapa de Schrödinger correspondiente lleva las matrices de densidad a estados clásicos: ${\displaystyle \Psi ^{*}}$

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

donde el producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt. Además, considerando los estados como funcionales normalizados e invocando el teorema de representación de Riesz , podemos poner

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Instrumento

El mapa observable, en la imagen de Schrödinger, tiene un álgebra de salida puramente clásica y, por lo tanto, solo describe estadísticas de medición. Para tener en cuenta también el cambio de estado, definimos lo que se llama un instrumento cuántico . Sean los efectos (POVM) asociados a un observable. En la imagen de Schrödinger, un instrumento es un mapa con entrada cuántica pura y con espacio de salida : ${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho \in L(H)}$ ${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

Dejar

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

El mapa dual en la imagen de Heisenberg es

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

donde se define de la siguiente manera: Factor (esto siempre se puede hacer ya que los elementos de un POVM son positivos) entonces . Vemos que es CP y unital. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Observe que se da con precisión el mapa observable. El mapa ${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

describe el cambio de estado general.

Medir y preparar el canal

Supongamos que dos partes, A y B, desean comunicarse de la siguiente manera: A realiza la medición de un observable y comunica el resultado de la medición a B de manera clásica. Según el mensaje que recibe, B prepara su sistema (cuántico) en un estado específico. En la imagen de Schrödinger, la primera parte del canal ₁ consiste simplemente en que A realiza una medición, es decir, es el mapa del observable: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Si, en el caso del i -ésimo resultado de la medición, B prepara su sistema en el estado R _i , la segunda parte del canal ₂ lleva el estado clásico anterior a la matriz de densidad ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

La operación total es la composición

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Los canales de esta forma se denominan de medida y preparación o en forma Holevo .

En la imagen de Heisenberg, el mapa dual está definido por ${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

Un canal de medición y preparación no puede ser el mapa de identidad. Esta es precisamente la afirmación del teorema de no teletransportación , que dice que la teletransportación clásica (que no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento ) es imposible. En otras palabras, un estado cuántico no se puede medir de manera confiable.

En la dualidad canal-estado , un canal es de medición y preparación si y solo si el estado correspondiente es separable . En realidad, todos los estados que resultan de la acción parcial de un canal de medición y preparación son separables y, por esta razón, los canales de medición y preparación también se conocen como canales de ruptura de entrelazamiento.

Canal puro

Consideremos el caso de un canal puramente cuántico en la imagen de Heisenberg. Con el supuesto de que todo es de dimensión finita, es una función CP unital entre espacios de matrices ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

Por el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos , debe tomar la forma ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

donde N ≤ nm . Las matrices K _i se denominan operadores de Kraus de (en honor al físico alemán Karl Kraus , quien las introdujo). El número mínimo de operadores de Kraus se denomina rango de Kraus de . Un canal con rango de Kraus 1 se denomina puro . La evolución temporal es un ejemplo de canal puro. Esta terminología nuevamente proviene de la dualidad canal-estado. Un canal es puro si y solo si su estado dual es un estado puro. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Teletransportación

En la teletransportación cuántica , un emisor desea transmitir un estado cuántico arbitrario de una partícula a un receptor posiblemente distante. En consecuencia, el proceso de teletransportación es un canal cuántico. El aparato para el proceso en sí requiere un canal cuántico para la transmisión de una partícula de un estado entrelazado al receptor. La teletransportación se produce mediante una medición conjunta de la partícula enviada y la partícula entrelazada restante. Esta medición da como resultado información clásica que debe enviarse al receptor para completar la teletransportación. Es importante destacar que la información clásica puede enviarse después de que el canal cuántico haya dejado de existir.

En el contexto experimental

Experimentalmente, una implementación simple de un canal cuántico es la transmisión de fotones individuales por fibra óptica (o en espacio libre, para el caso) . Los fotones individuales se pueden transmitir hasta 100 km en fibras ópticas estándar antes de que predominen las pérdidas. El tiempo de llegada del fotón ( entrelazamiento de intervalos de tiempo ) o la polarización se utilizan como base para codificar información cuántica para fines tales como la criptografía cuántica . El canal es capaz de transmitir no solo estados base (p. ej ., , ) sino también superposiciones de ellos (p. ej. ). La coherencia del estado se mantiene durante la transmisión a través del canal. Contraste esto con la transmisión de pulsos eléctricos a través de cables (un canal clásico), donde solo se puede enviar información clásica (p. ej., 0 y 1). ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle +|1\rangle }$

Capacidad del canal

La norma cb de un canal

Antes de dar la definición de capacidad de canal, es necesario analizar la noción preliminar de la norma de acotación completa , o norma cb de un canal. Al considerar la capacidad de un canal , debemos compararla con un "canal ideal" . Por ejemplo, cuando las álgebras de entrada y salida son idénticas, podemos elegir que sea la función identidad. Tal comparación requiere una métrica entre canales. Dado que un canal puede verse como un operador lineal, es tentador utilizar la norma del operador natural . En otras palabras, la cercanía de al canal ideal puede definirse mediante ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

Sin embargo, la norma del operador puede aumentar cuando tensamos con el mapa identidad en alguna ancilla. ${\displaystyle \Phi }$

Para hacer que la norma del operador sea un candidato aún más indeseable, la cantidad

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

puede aumentar sin límite como La solución es introducir, para cualquier aplicación lineal entre C*-álgebras, la cb-norma ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

Definición de capacidad del canal

El modelo matemático de canal utilizado aquí es el mismo que el clásico .

Sea un canal en la imagen de Heisenberg y un canal ideal elegido. Para que la comparación sea posible, es necesario codificar y decodificar Φ mediante dispositivos adecuados, es decir, consideramos la composición ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

donde E es un codificador y D es un decodificador. En este contexto, E y D son mapas CP unitarios con dominios apropiados. La cantidad de interés es el mejor escenario posible :

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

con el ínfimo apoderándose de todos los codificadores y decodificadores posibles.

Para transmitir palabras de longitud n , el canal ideal se debe aplicar n veces, por lo que consideramos la potencia tensorial

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

La operación describe n entradas que se someten a la operación de forma independiente y es la contraparte mecánica cuántica de la concatenación . De manera similar, m invocaciones del canal corresponden a . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$

La cantidad

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

es por lo tanto una medida de la capacidad del canal para transmitir palabras de longitud n fielmente al ser invocado m veces.

Esto nos lleva a la siguiente definición:

Un número real no negativo r es una tasa alcanzable de con respecto a ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ si

Para todas las secuencias donde y , tenemos ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

Una secuencia puede considerarse como la representación de un mensaje que consta de un número posiblemente infinito de palabras. La condición de límite supremo en la definición dice que, en el límite, se puede lograr una transmisión fiel invocando el canal no más de r veces la longitud de una palabra. También se puede decir que r es el número de letras por invocación del canal que se pueden enviar sin error. ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$

La capacidad del canal de con respecto a ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ , denotada por es la máxima de todas las velocidades alcanzables. ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$

De la definición se desprende claramente que 0 es una tasa alcanzable para cualquier canal.

Ejemplos importantes

Como se dijo antes, para un sistema con álgebra observable , el canal ideal es por definición la función identidad . Por lo tanto, para un sistema cuántico puramente n- dimensional, el canal ideal es la función identidad en el espacio de matrices n  ×  n . Como un ligero abuso de notación, este canal cuántico ideal también se denotará por . De manera similar, un sistema clásico con álgebra de salida tendrá un canal ideal denotado por el mismo símbolo. Ahora podemos enunciar algunas capacidades fundamentales del canal. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

La capacidad del canal ideal clásico con respecto a un canal ideal cuántico es ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

Esto es equivalente al teorema de no teletransportación: es imposible transmitir información cuántica a través de un canal clásico.

Además, se cumplen las siguientes igualdades:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

Lo anterior dice, por ejemplo, que un canal cuántico ideal no es más eficiente en la transmisión de información clásica que un canal clásico ideal. Cuando n = m , lo máximo que se puede lograr es un bit por cúbit .

Es importante señalar aquí que ambos límites de capacidades anteriores se pueden romper con la ayuda del entrelazamiento . El esquema de teletransportación asistida por entrelazamiento permite transmitir información cuántica utilizando un canal clásico. La codificación superdensa logra dos bits por cúbit . Estos resultados indican el papel significativo que desempeña el entrelazamiento en la comunicación cuántica.

Capacidades de los canales clásicos y cuánticos

Utilizando la misma notación que la subsección anterior, la capacidad clásica de un canal Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

es decir, es la capacidad de Ψ con respecto al canal ideal en el sistema clásico de un bit . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

De manera similar, la capacidad cuántica de Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

donde el sistema de referencia es ahora el sistema de un qubit . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

Fidelidad de canal

Otra medida de qué tan bien un canal cuántico preserva la información se llama fidelidad del canal , y surge de la fidelidad de los estados cuánticos .

Canal cuántico bistocástico

Un canal cuántico bistocástico es un canal cuántico que es unital , ^[2] es decir . ${\displaystyle \Phi (\rho )}$ ${\displaystyle \Phi (I)=I}$

Véase también

• Teorema de no comunicación
• Canal de amortiguación de amplitud
• Canal despolarizante cuántico

Referencias

1. Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J.; Ralph, Timothy C.; Shapiro, Jeffrey H.; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bibliográfico :2012RvMP...84..621W. doi :10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
2. John A. Holbrook, David W. Kribs y Raymond Laflamme. "Subsistemas silenciosos y la estructura del conmutador en la corrección de errores cuánticos". Procesamiento de información cuántica . Volumen 2, número 5, págs. 381-419. Octubre de 2003.

• M. Keyl y RF Werner, Cómo corregir pequeños errores cuánticos , Apuntes de clase en Física, Volumen 611, Springer, 2002.
• Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode :2011arXiv1106.1445W, doi :10.1017/9781316809976.001, S2CID  2515538.