En las comunicaciones por radio , la modulación de banda lateral única ( SSB ) o modulación de portadora suprimida de banda lateral única ( SSB-SC ) es un tipo de modulación que se utiliza para transmitir información, como una señal de audio , mediante ondas de radio . Es un perfeccionamiento de la modulación de amplitud y utiliza la potencia del transmisor y el ancho de banda de manera más eficiente. La modulación de amplitud produce una señal de salida cuyo ancho de banda es el doble de la frecuencia máxima de la señal de banda base original . La modulación de banda lateral única evita este aumento del ancho de banda y la potencia desperdiciada en una portadora, a costa de una mayor complejidad del dispositivo y una sintonización más difícil en el receptor.
Los transmisores de radio funcionan mezclando una señal de radiofrecuencia (RF) de una frecuencia específica, la onda portadora , con la señal de audio que se va a transmitir. En los transmisores de AM, esta mezcla generalmente se lleva a cabo en el amplificador de RF final (modulación de alto nivel). Es menos común y mucho menos eficiente hacer la mezcla a baja potencia y luego amplificarla en un amplificador lineal. Cualquier método produce un conjunto de frecuencias con una señal fuerte en la frecuencia portadora y con señales más débiles en frecuencias que se extienden por encima y por debajo de la frecuencia portadora en la frecuencia máxima de la señal de entrada. Por lo tanto, la señal resultante tiene un espectro cuyo ancho de banda es el doble de la frecuencia máxima de la señal de audio de entrada original.
La SSB aprovecha el hecho de que toda la señal original está codificada en cada una de estas "bandas laterales". Dado que un buen receptor puede extraer la señal original completa tanto de la banda lateral superior como de la inferior, no es esencial transmitir ambas bandas laterales más la portadora. Existen varios métodos para eliminar la portadora y una banda lateral de la señal transmitida. La producción de esta señal de banda lateral única se puede realizar a un alto nivel en la etapa final del amplificador como con AM [1] [2] , pero generalmente se produce a un nivel de potencia bajo y se amplifica linealmente. La menor eficiencia de la amplificación lineal compensa parcialmente la ventaja de potencia obtenida al eliminar la portadora y una banda lateral. Sin embargo, las transmisiones SSB utilizan la energía del amplificador disponible con mucha más eficiencia, lo que proporciona una transmisión de mayor alcance para la misma salida de potencia. Además, el espectro ocupado es menos de la mitad del de una señal AM con portadora completa.
La recepción en banda lateral única requiere una estabilidad de frecuencia y una selectividad que superan con creces a las de los receptores AM económicos, por lo que las emisoras rara vez la han utilizado. En las comunicaciones punto a punto, donde ya se utilizan receptores costosos, se pueden ajustar con éxito para recibir cualquier banda lateral que se esté transmitiendo.
La primera solicitud de patente estadounidense para modulación SSB fue presentada el 1 de diciembre de 1915 por John Renshaw Carson . [3] La Marina de los EE. UU. experimentó con SSB en sus circuitos de radio antes de la Primera Guerra Mundial . [4] [5] La SSB entró en servicio comercial por primera vez el 7 de enero de 1927, en el circuito radiotelefónico público transatlántico de onda larga entre Nueva York y Londres. Los transmisores SSB de alta potencia estaban ubicados en Rocky Point, Nueva York , y Rugby, Inglaterra . Los receptores estaban en lugares muy tranquilos en Houlton, Maine , y Cupar , Escocia. [6]
La SSB también se utilizó en líneas telefónicas de larga distancia , como parte de una técnica conocida como multiplexación por división de frecuencia (FDM). La FDM fue desarrollada por las compañías telefónicas en la década de 1930. Con esta tecnología, se podían transmitir muchos canales de voz simultáneos en un solo circuito físico, por ejemplo en portadora L. Con la SSB, los canales podían estar espaciados (normalmente) solo 4000 Hz , al tiempo que ofrecían un ancho de banda de voz de nominalmente 300 Hz a 3400 Hz.
Los radioaficionados comenzaron a experimentar seriamente con SSB después de la Segunda Guerra Mundial . El Comando Aéreo Estratégico estableció SSB como el estándar de radio para sus aeronaves en 1957. [7] Desde entonces, se ha convertido en un estándar de facto para transmisiones de radio de voz a larga distancia.
La banda lateral única tiene la forma matemática de modulación de amplitud en cuadratura (QAM) en el caso especial donde una de las formas de onda de banda base se deriva de la otra, en lugar de ser mensajes independientes :
donde es el mensaje (de valor real), es su transformada de Hilbert y es la frecuencia portadora de radio . [8]
Para entender esta fórmula, podemos expresarla como la parte real de una función de valor complejo, sin pérdida de información:
donde representa la unidad imaginaria . es la representación analítica de lo que significa que comprende solo los componentes de frecuencia positiva de :
donde y son las respectivas transformadas de Fourier de y Por lo tanto, la función trasladada en frecuencia contiene solo un lado de Dado que también tiene solo componentes de frecuencia positiva, su transformada de Fourier inversa es la representación analítica de
y nuevamente la parte real de esta expresión no provoca pérdida de información. Con la fórmula de Euler para desarrollar obtenemos la ecuación 1 :
La demodulación coherente de para recuperar es la misma que la de AM: multiplicar por y pasar por paso bajo para eliminar los componentes de "doble frecuencia" alrededor de la frecuencia . Si la portadora de demodulación no está en la fase correcta (fase de coseno aquí), entonces la señal demodulada será una combinación lineal de y , que suele ser aceptable en las comunicaciones de voz (si la frecuencia de la portadora de demodulación no es del todo correcta, la fase se desplazará cíclicamente, lo que de nuevo suele ser aceptable en las comunicaciones de voz si el error de frecuencia es lo suficientemente pequeño, y los operadores de radioaficionados a veces son tolerantes a errores de frecuencia aún mayores que causan efectos de cambio de tono que suenan poco naturales).
También se puede recuperar como la parte real del complejo conjugado, que representa la porción de frecuencia negativa de Cuando es lo suficientemente grande como para no tener frecuencias negativas, el producto es otra señal analítica, cuya parte real es la transmisión de banda lateral inferior real :
La suma de las dos señales de banda lateral es:
que es el modelo clásico de AM de banda lateral doble con portadora suprimida .
Un método para producir una señal SSB es eliminar una de las bandas laterales mediante filtrado , dejando solo la banda lateral superior ( USB ), la banda lateral con la frecuencia más alta, o con menos frecuencia la banda lateral inferior ( LSB ), la banda lateral con la frecuencia más baja. Lo más frecuente es que la portadora se reduzca o elimine por completo (se suprima), lo que se conoce en su totalidad como portadora suprimida de banda lateral única ( SSBSC ). Suponiendo que ambas bandas laterales sean simétricas, lo que es el caso de una señal AM normal , no se pierde información en el proceso. Dado que la amplificación de RF final ahora se concentra en una sola banda lateral, la potencia de salida efectiva es mayor que en AM normal (la portadora y la banda lateral redundante representan más de la mitad de la potencia de salida de un transmisor AM). Aunque SSB utiliza sustancialmente menos ancho de banda y potencia, no puede demodularse con un simple detector de envolvente como AM estándar.
Un método alternativo de generación conocido como modulador Hartley , llamado así por RVL Hartley , utiliza la fase para suprimir la banda lateral no deseada. Para generar una señal SSB con este método, se generan dos versiones de la señal original, mutuamente desfasadas 90° para cualquier frecuencia individual dentro del ancho de banda operativo. Cada una de estas señales modula entonces ondas portadoras (de una frecuencia) que también están desfasadas 90° entre sí. Al sumar o restar las señales resultantes, se obtiene una señal de banda lateral superior o inferior. Un beneficio de este enfoque es permitir una expresión analítica para señales SSB, que se puede utilizar para comprender efectos como la detección sincrónica de SSB.
No es posible desfasar la señal de banda base 90° simplemente retrasándola, ya que contiene un amplio rango de frecuencias. En los circuitos analógicos, se utiliza una red de diferencia de fase de 90 grados de banda ancha [9] . El método fue popular en la época de las radios de tubo de vacío , pero luego ganó mala reputación debido a implementaciones comerciales mal ajustadas. La modulación que utiliza este método está ganando popularidad nuevamente en los campos de la fabricación casera y los DSP . Este método, que utiliza la transformada de Hilbert para desfasar el audio de banda base, se puede realizar a bajo costo con circuitos digitales.
Otra variación, el modulador Weaver , [10] utiliza sólo filtros de paso bajo y mezcladores en cuadratura, y es un método preferido en implementaciones digitales.
En el método de Weaver, la banda de interés se traduce primero para que esté centrada en cero, conceptualmente modulando una exponencial compleja con frecuencia en el medio de la banda de voz, pero implementada por un par de moduladores de seno y coseno en cuadratura a esa frecuencia (por ejemplo, 2 kHz). Esta señal compleja o par de señales reales se filtra luego con un filtro de paso bajo para eliminar la banda lateral no deseada que no está centrada en cero. Luego, la señal compleja de banda lateral única centrada en cero se convierte en una señal real, mediante otro par de mezcladores en cuadratura, a la frecuencia central deseada.
Las señales moduladas en amplitud convencionales pueden considerarse un desperdicio de potencia y ancho de banda porque contienen una señal portadora y dos bandas laterales idénticas. Por lo tanto, los transmisores SSB generalmente están diseñados para minimizar la amplitud de la señal portadora. Cuando se elimina la portadora de la señal transmitida, se denomina SSB con portadora suprimida .
Sin embargo, para que un receptor reproduzca el audio transmitido sin distorsión, debe estar sintonizado exactamente a la misma frecuencia que el transmisor. Dado que esto es difícil de lograr en la práctica, las transmisiones SSB pueden sonar poco naturales y, si el error en la frecuencia es lo suficientemente grande, puede causar una mala inteligibilidad. Para corregir esto, se puede transmitir una pequeña cantidad de la señal portadora original para que los receptores con los circuitos necesarios para sincronizarse con la portadora transmitida puedan demodular correctamente el audio. Este modo de transmisión se denomina banda lateral única con portadora reducida .
En otros casos, puede ser deseable mantener cierto grado de compatibilidad con receptores AM simples, mientras se sigue reduciendo el ancho de banda de la señal. Esto se puede lograr transmitiendo en banda lateral única con una portadora normal o ligeramente reducida. Este modo se llama SSB compatible (o portadora completa) o modulación de amplitud equivalente (AME) . En sistemas AME típicos, la distorsión armónica puede alcanzar el 25% y la distorsión de intermodulación puede ser mucho mayor de lo normal, pero minimizar la distorsión en receptores con detectores de envolvente generalmente se considera menos importante que permitirles producir audio inteligible.
Una segunda definición, y quizás más correcta, de "banda lateral única compatible" (CSSB) se refiere a una forma de modulación de amplitud y fase en la que la portadora se transmite junto con una serie de bandas laterales que están predominantemente por encima o por debajo del término de la portadora. Dado que la modulación de fase está presente en la generación de la señal, se elimina energía del término de la portadora y se redistribuye en la estructura de banda lateral de manera similar a lo que ocurre en la modulación de frecuencia analógica. Las señales que alimentan el modulador de fase y el modulador de envolvente se desplazan aún más en fase 90° una con respecto a la otra. Esto coloca los términos de información en cuadratura entre sí; la transformada de Hilbert de la información que se va a transmitir se utiliza para provocar la adición constructiva de una banda lateral y la cancelación de la banda lateral primaria opuesta. Dado que se emplea la modulación de fase, también se generan términos de orden superior. Se han empleado varios métodos para reducir el impacto (amplitud) de la mayoría de estos términos de orden superior. En un sistema, el término modulado en fase es en realidad el logaritmo del valor del nivel de la portadora más el término de audio/información desplazado en fase. Esto produce una señal CSSB ideal, donde a niveles bajos de modulación solo predomina un término de primer orden en un lado de la portadora. A medida que aumenta el nivel de modulación, el nivel de la portadora se reduce mientras que un término de segundo orden aumenta sustancialmente en amplitud. En el punto de modulación de envolvente del 100%, se eliminan 6 dB de potencia del término de la portadora, y el término de segundo orden es idéntico en amplitud al término de la portadora. La banda lateral de primer orden ha aumentado en nivel hasta que ahora está al mismo nivel que la portadora anteriormente no modulada. En el punto de modulación del 100%, el espectro parece idéntico a una transmisión AM de doble banda lateral normal, con el término central (ahora el término de audio primario) en un nivel de referencia de 0 dB, y ambos términos a cada lado de la banda lateral primaria en −6 dB. La diferencia es que lo que parece ser la portadora se ha desplazado por el término de audiofrecuencia hacia la "banda lateral en uso". A niveles por debajo del 100% de modulación, la estructura de la banda lateral parece bastante asimétrica. Cuando la voz se transmite mediante una fuente CSSB de este tipo, los componentes de baja frecuencia son dominantes, mientras que los términos de frecuencia más alta son más bajos en hasta 20 dB a 3 kHz. El resultado es que la señal ocupa aproximadamente la mitad del ancho de banda normal de una señal DSB de portadora completa. Hay un problema: el término de audio utilizado para modular la fase de la portadora se genera en función de una función logarítmica que está sesgada por el nivel de la portadora. Con una modulación negativa del 100 %, el término se lleva a cero (0) y el modulador se vuelve indefinido. Se debe emplear un control estricto de la modulación para mantener la estabilidad del sistema y evitar salpicaduras . Este sistema es de origen ruso y se describió a fines de la década de 1950. No se sabe con certeza si alguna vez se implementó.
Leonard R. Kahn diseñó y patentó una segunda serie de enfoques . Los diversos sistemas de Kahn eliminaron el límite estricto impuesto por el uso de la función de logaritmo estricto en la generación de la señal. Los sistemas de Kahn anteriores utilizaban varios métodos para reducir el término de segundo orden mediante la inserción de un componente de predistorsión. Un ejemplo de este método también se utilizó para generar una de las señales estéreo AM de banda lateral independiente (ISB) de Kahn. Se conocía como el método de excitación STR-77, que se introdujo en 1977. Más tarde, el sistema se mejoró aún más mediante el uso de un modulador basado en arcoseno que incluía un término 1-0,52E en el denominador de la ecuación del generador de arcoseno. E representa el término de la envolvente; aproximadamente la mitad del término de modulación aplicado al modulador de la envolvente se utiliza para reducir el término de segundo orden de la ruta modulada por "fase" de arcoseno; reduciendo así el término de segundo orden en la banda lateral no deseada. Se utilizó un enfoque de retroalimentación de modulador/demodulador de bucle múltiple para generar una señal de arcoseno precisa. Este enfoque se introdujo en 1984 y se conoció como el método STR-84. Fue vendido por Kahn Research Laboratories; más tarde, Kahn Communications, Inc. de NY. Un dispositivo de procesamiento de audio adicional mejoró aún más la estructura de banda lateral al aplicar selectivamente preénfasis a las señales moduladoras. Dado que la envolvente de todas las señales descritas sigue siendo una copia exacta de la información aplicada al modulador, se puede demodular sin distorsión mediante un detector de envolvente como un diodo simple. En un receptor práctico, puede haber cierta distorsión, generalmente a un nivel bajo (en transmisión AM, siempre por debajo del 5 %), debido al filtrado brusco y al retardo de grupo no lineal en los filtros de FI del receptor, que actúan para truncar la banda lateral de compatibilidad (aquellos términos que no son el resultado de un proceso lineal de simple modulación de envolvente de la señal como sería el caso en DSB-AM de portadora completa) y la rotación de fase de estos términos de compatibilidad de modo que ya no cancelen el término de distorsión en cuadratura causado por un término SSB de primer orden junto con la portadora. La pequeña cantidad de distorsión causada por este efecto es generalmente bastante baja y aceptable.
El método CSSB de Kahn también fue utilizado brevemente por Airphone como método de modulación empleado para las primeras llamadas telefónicas de consumo que podían realizarse desde un avión a tierra. Este método fue rápidamente reemplazado por métodos de modulación digital para lograr una eficiencia espectral aún mayor.
Aunque hoy en día el CSSB rara vez se utiliza en las bandas de transmisión AM/MW en todo el mundo, algunos operadores de radioaficionados aún experimentan con él.
El extremo frontal de un receptor SSB es similar al de un receptor AM o FM , y consta de un extremo frontal de RF superheterodino que produce una versión desplazada en frecuencia de la señal de radiofrecuencia (RF) dentro de una banda de frecuencia intermedia (IF) estándar.
Para recuperar la señal original de la señal SSB de FI, la banda lateral única debe desplazarse hacia abajo hasta su rango original de frecuencias de banda base , utilizando un detector de producto que la mezcla con la salida de un oscilador de frecuencia de batido (BFO). En otras palabras, es simplemente otra etapa de heterodinación. Para que esto funcione, la frecuencia del BFO debe ajustarse con precisión. Si la frecuencia del BFO está desfasada, la señal de salida se desplazará en frecuencia (hacia arriba o hacia abajo), lo que hará que el habla suene extraña y como al " Pato Donald ", o ininteligible.
En el caso de las comunicaciones por audio, existe un acuerdo general sobre el desplazamiento del oscilador BFO de 1,7 kHz. Una señal de voz es sensible a un desplazamiento de aproximadamente 50 Hz, aunque todavía se pueden soportar hasta 100 Hz. Algunos receptores utilizan un sistema de recuperación de portadora , que intenta sincronizarse automáticamente con la frecuencia de FI exacta. La recuperación de portadora no resuelve el desplazamiento de frecuencia, pero ofrece una mejor relación señal/ruido en la salida del detector. [ cita requerida ]
Como ejemplo, considere una señal IF SSB centrada en una frecuencia = 45000 Hz. La frecuencia de banda base a la que se debe desplazar es = 2000 Hz. La forma de onda de salida del BFO es . Cuando la señal se multiplica por (también conocida como heterodina con ) la forma de onda del BFO, desplaza la señal a , y a , que se conoce como frecuencia de batido o frecuencia de imagen . El objetivo es elegir una que dé como resultado = 2000 Hz. (Los componentes no deseados en se pueden eliminar mediante un filtro de paso bajo ; para lo cual puede servir un transductor de salida o el oído humano ).
Hay dos opciones para 43000 Hz y 47000 Hz, llamadas inyección de lado bajo y lado alto . Con la inyección de lado alto, los componentes espectrales que se distribuyeron alrededor de 45000 Hz se distribuirán alrededor de 2000 Hz en orden inverso, también conocido como espectro invertido. De hecho, esto es deseable cuando el espectro de FI también está invertido, porque la inversión del BFO restablece las relaciones adecuadas. Una razón para esto es cuando el espectro de FI es la salida de una etapa inversora en el receptor. Otra razón es cuando la señal SSB es en realidad una banda lateral inferior, en lugar de una banda lateral superior. Pero si ambas razones son verdaderas, entonces el espectro de FI no está invertido y se debe utilizar el BFO no inversor (43000 Hz).
Si está desfasado por una pequeña cantidad, entonces la frecuencia de pulso no es exactamente , lo que puede provocar la distorsión del habla mencionada anteriormente.
Las técnicas SSB también se pueden adaptar a formas de onda de banda base con inversión de frecuencia y desplazamiento de frecuencia ( inversión de voz ). Este método de codificación de voz se realizó haciendo pasar el audio de una muestra de audio modulada de banda lateral a través de su opuesta (por ejemplo, haciendo pasar una muestra de audio modulada LSB a través de una radio que ejecuta modulación USB). Estos efectos se utilizaron, junto con otras técnicas de filtrado, durante la Segunda Guerra Mundial como un método simple para el cifrado de voz . Las conversaciones radiotelefónicas entre los EE. UU. y Gran Bretaña fueron interceptadas y "descifradas" por los alemanes; incluían algunas conversaciones tempranas entre Franklin D. Roosevelt y Churchill . [ cita requerida ] De hecho, las señales podían ser entendidas directamente por operadores capacitados. En gran medida para permitir comunicaciones seguras entre Roosevelt y Churchill, se ideó el sistema SIGSALY de cifrado digital.
Hoy en día, estas técnicas simples de cifrado de voz basadas en inversión se descifran fácilmente utilizando técnicas simples y ya no se consideran seguras.
La limitación de la modulación de banda lateral única que se utiliza para señales de voz y que no está disponible para señales de vídeo/TV conduce al uso de la banda lateral vestigial . Una banda lateral vestigial (en comunicaciones por radio ) es una banda lateral que ha sido cortada o suprimida solo parcialmente. Las emisiones de televisión (en formatos de vídeo analógicos) utilizan este método si el vídeo se transmite en AM , debido al gran ancho de banda utilizado. También se puede utilizar en la transmisión digital, como la 8VSB estandarizada por ATSC .
El canal de transmisión o transporte para TV en países que utilizan NTSC o ATSC tiene un ancho de banda de 6 MHz. Para conservar el ancho de banda, sería deseable el SSB, pero la señal de video tiene un contenido significativo de baja frecuencia (brillo promedio) y tiene pulsos de sincronización rectangulares. El compromiso de ingeniería es la transmisión de banda lateral vestigial. En la banda lateral vestigial, se transmite la banda lateral superior completa del ancho de banda W2 = 4,0 MHz, pero solo se transmite W1 = 0,75 MHz de la banda lateral inferior, junto con una portadora. La frecuencia de la portadora está 1,25 MHz por encima del borde inferior del canal de 6 MHz de ancho. Esto hace que el sistema sea AM en frecuencias de modulación bajas y SSB en frecuencias de modulación altas. La ausencia de los componentes de banda lateral inferior en frecuencias altas debe compensarse, y esto se hace en el amplificador de FI .
Cuando se utiliza una banda lateral única en las comunicaciones de voz de radioaficionados, es una práctica común que para frecuencias inferiores a 10 MHz, se utilice la banda lateral inferior (LSB) y para frecuencias de 10 MHz y superiores, se utilice la banda lateral superior (USB). [11] Por ejemplo, en la banda de 40 m, las comunicaciones de voz suelen tener lugar alrededor de 7,100 MHz utilizando el modo LSB. En la banda de 20 m a 14,200 MHz, se utilizaría el modo USB.
Una excepción a esta regla se aplica a los cinco canales amateur discretos en la banda de 60 metros (cerca de 5,3 MHz) donde las normas de la FCC requieren específicamente USB. [12]
La banda lateral única extendida es cualquier modo J3E (SSB-SC) que excede el ancho de banda de audio de los modos SSB J3E estándar o tradicionales de 2,9 kHz (ITU 2K90J3E) para admitir un sonido de mayor calidad.
La banda lateral única con compresión de amplitud ( ACSSB ) es un método de modulación de banda estrecha que utiliza una banda lateral única con un tono piloto, lo que permite que un expansor en el receptor restaure la amplitud que fue comprimida severamente por el transmisor. Ofrece un alcance efectivo mejorado en comparación con la modulación SSB estándar, al mismo tiempo que conserva la compatibilidad con las radios SSB estándar. La ACSSB también ofrece un ancho de banda reducido y un alcance mejorado para un nivel de potencia determinado en comparación con la modulación FM de banda estrecha.
La generación de modulación SSB estándar da como resultado grandes sobreimpulsos de envolvente muy por encima del nivel de envolvente promedio para un tono sinusoidal (incluso cuando la señal de audio está limitada por picos). Los picos de envolvente SSB estándar se deben al truncamiento del espectro y la distorsión de fase no lineal de los errores de aproximación de la implementación práctica de la transformada de Hilbert requerida. Recientemente se demostró que una compensación de sobreimpulso adecuada (la denominada modulación de banda lateral única de envolvente controlada o CESSB ) logra aproximadamente 3,8 dB de reducción de pico para la transmisión de voz. Esto da como resultado un aumento de potencia promedio efectivo de aproximadamente 140%. [13] Aunque la generación de la señal CESSB se puede integrar en el modulador SSB, es factible separar la generación de la señal CESSB (por ejemplo, en forma de un preprocesador de voz externo) de una radio SSB estándar. Esto requiere que el modulador de la radio SSB estándar sea de fase lineal y tenga un ancho de banda suficiente para pasar la señal CESSB. Si un modulador SSB estándar cumple estos requisitos, entonces se conserva el control de envolvente mediante el proceso CESSB. [14]
En 1982, la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT) designó los tipos de modulación de amplitud:
![{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\text{ssb}}(t)&=\operatorname {Re} \left\{s_{\mathrm {a} }(t)\cdot e^{j2\pi f_{0}t}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{\,\left[s(t)+j\cdot {\widehat {s}}(t)\right]\cdot \left[\cos \left(2\pi f_{0}t\right)+j\cdot \sin \left(2\pi f_{0}t\right)\right]\,\right\}\\&=s(t)\cdot \cos \left(2\pi f_{0}t\right)-{\widehat {s}}(t)\cdot \sin \left(2\pi f_{0}t\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75792a0ac2bb0ee6213b5f329629648d7d68ee18)
