Aligación

Método de resolución de problemas aritméticos que involucran mezclas

La aligación es un método antiguo y práctico para resolver problemas aritméticos relacionados con mezclas de ingredientes. Hay dos tipos de aligación: aligación medial , que se utiliza para encontrar la cantidad de una mezcla dadas las cantidades de sus ingredientes, y aligación alternada , que se utiliza para encontrar la cantidad de cada ingrediente necesaria para hacer una mezcla de una cantidad dada. La aligación medial es simplemente una cuestión de encontrar una media ponderada . La aligación alternada es más complicada e implica organizar los ingredientes en pares altos y bajos que luego se intercambian. La aligación alternada proporciona respuestas cuando una solución algebraica (por ejemplo, utilizando ecuaciones simultáneas) no es posible (por ejemplo, tiene tres variables pero solo dos ecuaciones). Tenga en cuenta que en esta clase de problema, puede haber múltiples respuestas factibles.

Existen otras dos variantes de la aligación: la aligación parcial y la aligación total (véase el Libro de aritmética de John King de 1795, que incluye ejemplos resueltos). La técnica no se utiliza en las escuelas, aunque todavía se utiliza en las farmacias para el cálculo rápido de cantidades.

Ejemplos

Aligación medial

Supongamos que preparas una combinación de cócteles con 1/2 Coca-Cola , 1/4 Sprite y 1/4 refresco de naranja. La Coca-Cola tiene 120 gramos de azúcar por litro, la Sprite tiene 100 gramos de azúcar por litro y el refresco de naranja tiene 150 gramos de azúcar por litro. ¿Cuánta azúcar tiene la bebida? Este es un ejemplo de medial de aligación porque quieres encontrar la cantidad de azúcar en la mezcla dadas las cantidades de azúcar en sus ingredientes. La solución es simplemente encontrar el promedio ponderado por composición:

${\displaystyle {1 \over 2}\times 120+{1 \over 4}\times 100+{1 \over 4}\times 150=122.5}$gramos por litro

Alternativa de aligación

Supongamos que le gusta la leche al 1%, pero solo tiene leche entera al 3% y leche baja en grasa al ½%. ¿Cuánto de cada una debe mezclar para hacer una taza de 8 onzas de leche al 1%? Este es un ejemplo de aligación alternada porque desea encontrar la cantidad de dos ingredientes que se deben mezclar para formar una mezcla con una cantidad dada de grasa. Como solo hay dos ingredientes, solo hay una forma posible de formar un par. La diferencia del 3% del 1% deseado se asigna a la leche baja en grasa, y la diferencia del ½% del 1% deseado se asigna alternativamente a la leche entera. Luego, la cantidad total, 8 onzas, se divide por la suma para obtener , y las cantidades de los dos ingredientes son ${\displaystyle 2+{1 \over 2}={5 \over 2}}$ ${\displaystyle 16 \over 5}$

${\displaystyle {16 \over 5}\times {1 \over 2}={8 \over 5}}$onzas de leche entera y onzas de leche baja en grasa. ${\displaystyle {16 \over 5}\times 2={32 \over 5}}$

 Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público :  Chambers, Ephraim , ed. (1728). "Aligación". Cyclopædia, or an Universal Dictionary of Arts and Sciences (1.ª ed.). James y John Knapton, et al.

Una fórmula general que funciona tanto para la aligación “alterna” como para la aligación “medial” es la siguiente: Aa + Bb = Cc.

En esta fórmula, A es el volumen del ingrediente A y a es su coeficiente de mezcla (es decir, a = 3 %); B es el volumen del ingrediente B y b es su coeficiente de mezcla; y C es el volumen deseado C, y c es su coeficiente de mezcla. Por lo tanto, en el ejemplo anterior obtenemos: A(0,03) + B(0,005) = 8oz(0,01). Sabemos que B = (8oz-A), por lo que podemos resolver fácilmente para A y B para obtener 1,6 y 6,4oz, respectivamente. Con esta fórmula, puede resolver cualquiera de las 6 variables A, a, B, b, C, c, independientemente de si está tratando con medial, alternativo, etc.

Aliagación alterna de tres variables

Supongamos que le dieran 100 dólares para comprar 100 caramelos: caramelos de goma a 50 centavos cada uno, barras de chocolate a 3 dólares cada una y barras de chocolate grandes a 10 dólares cada una. ¿Cuántas compraría de cada uno?

En la secuencia de pasos ^[1] a continuación, consulte esta tabla:

1. Determinar el precio promedio de los dulces, $1
2. Identifica uno de los tipos de dulce que cuesta menos que el promedio (llamado "Simple") y combínalo con uno de los Simples que cuesta más que el promedio (en este caso, solo hay uno de los Simples de menor costo, pero eliges entre los dos Simples de mayor costo).
3. Reste el Simple más bajo del promedio (en este caso, $1,00-0,50). Asigne la diferencia de 0,50 al Simple más alto en la columna A.
4. Reste el promedio del Simple más alto (en este caso, $3.00-$1.00). Asigne la diferencia de 2.00 al Simple más bajo en la columna A.
5. Elija el otro Simple más alto (en este caso, $10) y réstele el promedio. Asigna la diferencia de 9,00 al Simple más bajo en la columna B.
6. Repita el paso 3, asignando la diferencia de 0,50 al Simple más alto en la columna B.
7. Reduzca la relación de los valores de la columna A con su mínimo común denominador y asigne esa relación de aligación a las celdas de la columna C.
8. Reducir la relación de los valores de la columna B con su mínimo común denominador, asignando esa relación de aligación a las celdas de la columna D.
9. Sume los valores de la columna C (en este caso, 5); este es el número total de "partes del todo"
10. Copiar los valores de la columna C a la columna E
11. Multiplica los valores de la columna D por las "partes del todo" (en este caso, 5)
12. Sume los valores de las columnas E y F de cada fila para determinar la respuesta de la cantidad de cada Simple a comprar.

Diluciones repetidas

De un barril lleno de vino puro se extraen 8 litros y luego se llenan con agua. Esta operación se repite tres veces más. La relación entre la cantidad de vino que queda en el barril y la de agua es 16:65. ¿Cuánto vino contenía originalmente el barril? Este es un ejemplo de un problema que implica diluciones repetidas de una solución dada. ^[2]

• Sea Vw el volumen de vino que había originalmente en el barril.
• Sea Vt el volumen total de líquido en el barril.
• Sea X el porcentaje de vino que había originalmente en la barrica.

X = volumen original de vino / volumen total de líquido en el barril = Vw / Vt

Al extraer 8 litros, el volumen de vino se reduce en 8 X litros mientras que el volumen total de líquido permanece inalterado ya que se vuelve a llenar con agua.

Sea X' el nuevo porcentaje de vino en la barrica después de esta operación.

X' = ​​(volumen original de vino – 8 X) / volumen total de líquido en la barrica

X' = ​​[Vw – 8 (Vw/ Vt)] / Vt

X' = ​​X (Vt – 8) / Vt

Después de 4 operaciones de reemplazo de este tipo, X'''' = X [(Vt – 8)/ Vt] ^ 4

Del problema, X'''' = 16/ (16 + 65) = 16/ 81

Además, como originalmente el barril estaba lleno de vino puro, X = 1

[(Vt – 8)/ Vt] ^ 4 = 16/ 81

=> Vt = 24 litros

Referencias

1. "Rompecabezas y pasatiempos matemáticos", Philip Haber
2. "Mezclas y Aligaciones: ¿Qué es una mezcla? Ejercicios Resueltos".

• "Alligation, precursor de la programación lineal", Frederick V. Waugh , Journal of Farm Economics Vol. 40, No. 1 (febrero de 1958), págs. 89–103 jstor.org/stable/1235348.

Enlaces externos

• Alligation alterna et medial: www.formatp.ca/alligation.php
• La alternancia de las aligaciones y la composición de los medicamentos: aritmética y medicina en la Inglaterra moderna
• Aritmética práctica progresiva de Robinson