Teoría K de Milnor

En matemáticas , la K-teoría de Milnor ^[1] es un invariante algebraico (denotado para un cuerpo ) definido por John Milnor  (1970) como un intento de estudiar la K-teoría algebraica superior en el caso especial de los cuerpos . Se esperaba que esto ayudara a iluminar la estructura de la K-teoría algebraica y diera alguna idea sobre sus relaciones con otras partes de las matemáticas, como la cohomología de Galois y el anillo de Grothendieck-Witt de formas cuadráticas . Antes de que se definiera la K-teoría de Milnor, existían definiciones ad hoc para y . Afortunadamente, se puede demostrar que la K-teoría de Milnor es una parte de la K-teoría algebraica , que en general es la parte más fácil de calcular. ^[2] ${\displaystyle K_{*}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$

Definición

Motivación

Después de la definición del grupo de Grothendieck de un anillo conmutativo , se esperaba que existiera un conjunto infinito de invariantes llamados grupos de la teoría K superior , a partir del hecho de que existe una secuencia exacta corta ${\displaystyle K(R)}$ ${\displaystyle K_{i}(R)}$

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

que debería tener una continuación por una secuencia exacta larga . Nótese que el grupo de la izquierda es la teoría K relativa . Esto condujo a mucho estudio y como una primera suposición de cómo se vería esta teoría, Milnor dio una definición para los cuerpos. Su definición se basa en dos cálculos de cómo "debería" verse la teoría K superior en grados y . Entonces, si en una generalización posterior de la teoría K algebraica se diera, si los generadores de vivieran en grado y las relaciones en grado , entonces las construcciones en grados y darían la estructura para el resto del anillo de la teoría K. Bajo esta suposición, Milnor dio su definición "ad hoc". Resulta que la teoría K algebraica en general tiene una estructura más compleja, pero para los cuerpos los grupos de la teoría K de Milnor están contenidos en los grupos generales de la teoría K algebraica después de tensar con , es decir . ^[3] Resulta que el mapa natural no es inyectivo para un cuerpo global ^{[3] pág. 96} . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle K_{*}(R)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle K_{*}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$ ${\displaystyle F}$

Definición

Nota: para los campos, el grupo de Grothendieck se puede calcular fácilmente como , ya que los únicos módulos finitamente generados son espacios vectoriales de dimensión finita . Además, la definición de Milnor de grupos K superiores depende del isomorfismo canónico ${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

(el grupo de unidades de ) y observar el cálculo de K 2 de un campo por Hideya Matsumoto , que dio la presentación simple ${\displaystyle F}$

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

para un ideal bilateral generado por elementos , llamados relaciones de Steinberg . Milnor tomó la hipótesis de que estas eran las únicas relaciones, por lo que dio la siguiente definición "ad hoc" de la teoría K de Milnor como ${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

La suma directa de estos grupos es isomorfa a un álgebra tensorial sobre los números enteros del grupo multiplicativo modificado por el ideal bilateral generado por: ${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

entonces

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

mostrando que su definición es una extensión directa de las relaciones de Steinberg.

Propiedades

Estructura de anillo

El módulo graduado es un anillo conmutativo graduado ^{[1] pág. 1-3} . ^[4] Si escribimos ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

como

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

entonces para y tenemos ${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$ ${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

De la prueba de esta propiedad, hay algunas propiedades adicionales que se desprenden, como para ya que . Además, si de los elementos de los campos distintos de cero es igual a , entonces Hay una aplicación aritmética directa: es una suma de cuadrados si y solo si cada dimensión positiva es nilpotente, lo que es una declaración poderosa sobre la estructura de los K-grupos de Milnor . En particular, para los campos , con , todos sus K-grupos de Milnor son nilpotentes. En el caso inverso, el campo se puede incrustar en un campo cerrado real , lo que da un ordenamiento total en el campo. $${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$ ${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$ ${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$ ${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$ ${\displaystyle 0,1}$ $${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$ ${\displaystyle -1\in F}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle F}$

Relación con los grupos de Chow superiores y la teoría K superior de Quillen

Una de las propiedades fundamentales que relacionan la K-teoría de Milnor con la K-teoría algebraica superior es el hecho de que existen isomorfismos naturales a los grupos de chow superiores de Bloch que inducen un morfismo de anillos graduados. Esto se puede verificar usando un morfismo explícito ^{[2] pág. 181} donde Esta función está dada por para la clase del punto con . La propiedad principal a comprobar es que para y . Nótese que esto es distinto de ya que este es un elemento en . Además, la segunda propiedad implica la primera para . Esta comprobación se puede hacer usando una curva racional que define un ciclo en cuya imagen bajo la función límite está la suma para , mostrando que difieren por un límite. De manera similar, si la función límite envía este ciclo a , mostrando que difieren por un límite. La segunda propiedad principal a mostrar son las relaciones de Steinberg. Con estos, y el hecho de que los grupos de Chow superiores tienen una estructura de anillo, obtenemos un mapa explícito. Mostrar el mapa en la dirección inversa es un isomorfismo es más trabajo, pero obtenemos los isomorfismos. Luego podemos relacionar los grupos de Chow superiores con la K-teoría algebraica superior usando el hecho de que hay isomorfismos que dan la relación con la K-teoría algebraica superior de Quillen. Nótese que los mapas $${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$ $${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$ $${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$ $${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$ ${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$ ${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$ ${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$ ${\displaystyle [a]\cdot [b]}$ ${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$ ${\displaystyle b=1/a}$ ${\displaystyle C^{1}(F,2)}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$ ${\displaystyle ab\neq 1}$ ${\displaystyle ab=1}$ ${\displaystyle [a]-[1/a]}$ $${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$ $${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$ $${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$ $${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

de los K-grupos de Milnor de un cuerpo a los K-grupos de Quillen , que es un isomorfismo para pero no para n mayor , en general. Para elementos distintos de cero en F , el símbolo en significa la imagen de en el álgebra tensorial. Cada elemento de la K-teoría de Milnor se puede escribir como una suma finita de símbolos. El hecho de que en para a veces se denomina relación de Steinberg . ${\displaystyle n\leq 2}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$ ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ ${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$ ${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$

Representación en cohomología motívica

En la cohomología motívica , específicamente en la teoría de homotopía motívica , hay un haz que representa una generalización de la K-teoría de Milnor con coeficientes en un grupo abeliano . Si denotamos entonces definimos el haz como la gavillación del siguiente pre-haz ^{[5] pg 4} Nótese que las secciones de este pre-haz son clases equivalentes de ciclos en con coeficientes en los que son equidimensionales y finitos sobre (lo que se desprende directamente de la definición de ). Se puede demostrar que hay una equivalencia -débil con los haces motívicos de Eilenberg-Maclane (dependiendo de la convención de gradación). ${\displaystyle K_{n,A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$ ${\displaystyle K_{n,A}}$ $${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$ ${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle K(A,2n,n)}$

Ejemplos

Campos finitos

Para un cuerpo finito , es un grupo cíclico de orden (ya que es isomorfo a ), por lo que la conmutatividad graduada da por lo tanto Como es un grupo finito, esto implica que debe tener orden . Mirando más allá, siempre se puede expresar como una suma de residuos no cuadráticos, es decir, elementos tales que no son iguales a , por lo tanto se muestra . Debido a que las relaciones de Steinberg generan todas las relaciones en el anillo de la teoría K de Milnor, tenemos para . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$ $${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$ $${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a,b\in F}$ ${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a+b=1}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$ ${\displaystyle n>2}$

Números reales

Para el campo de los números reales , los grupos de la teoría K de Milnor se pueden calcular fácilmente. En grado, el grupo se genera por donde da un grupo de orden y el subgrupo generado por es divisible. El subgrupo generado por no es divisible porque de lo contrario podría expresarse como una suma de cuadrados. El anillo de la teoría K de Milnor es importante en el estudio de la teoría de homotopía motívica porque da generadores para parte del álgebra de Steenrod motívica . ^[6] Los otros son elevaciones de las operaciones clásicas de Steenrod a la cohomología motívica. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$ ${\displaystyle (-1)^{n}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$ ${\displaystyle (-1)^{n}}$

Otros cálculos

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$es un grupo unívocamente divisible incontable . ^[7] Además, es la suma directa de un grupo cíclico de orden 2 y un grupo unívocamente divisible incontable; es la suma directa del grupo multiplicativo de y un grupo unívocamente divisible incontable; es la suma directa del grupo cíclico de orden 2 y grupos cíclicos de orden para todos los primos impares . Para , . La prueba completa está en el apéndice del artículo original de Milnor. ^[1] Algunos de los cálculos se pueden ver mirando un mapa en inducido desde la inclusión de un cuerpo global hasta sus terminaciones , por lo que hay un morfismo cuyo núcleo se generó finitamente. Además, el cokernel es isomorfo a las raíces de la unidad en . ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F_{v}}$ $${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$ ${\displaystyle F}$

Además, para un campo local general (tal como una extensión finita ), los K-grupos de Milnor son divisibles. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$

K*METRO(Pie))

Hay un teorema de estructura general que calcula para un cuerpo en relación con la K-teoría de Milnor de y extensiones para ideales primos distintos de cero . Esto se da por una secuencia exacta donde es un morfismo construido a partir de una reducción de a para una valoración discreta . Esto se deduce del teorema de que solo existe un homomorfismo que para el grupo de unidades que son elementos tienen valoración , que tiene un morfismo natural donde tenemos donde un elemento primo, es decir , y Dado que cada ideal primo distinto de cero da una valoración , obtenemos la función en los K-grupos de Milnor. ${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[t]/(\pi )}$ ${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$ $${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$ ${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$ ${\displaystyle U\subset F}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$ ${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$ $${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$ $${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$ ${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$ ${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$ ${\displaystyle \partial _{\pi }}$

Aplicaciones

La teoría K de Milnor juega un papel fundamental en la teoría de campos de clase superior , reemplazando a la teoría de campos de clase unidimensional . ${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!}$

La teoría K de Milnor encaja en el contexto más amplio de la cohomología motívica , a través del isomorfismo

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}$

de la K-teoría de Milnor de un campo con un cierto grupo de cohomología motívica. ^[8] En este sentido, la definición aparentemente ad hoc de la K-teoría de Milnor se convierte en un teorema: ciertos grupos de cohomología motívica de un campo pueden calcularse explícitamente mediante generadores y relaciones .

Un resultado mucho más profundo, la conjetura de Bloch-Kato (también llamada teorema de isomorfismo de residuos normativos), relaciona la K-teoría de Milnor con la cohomología de Galois o cohomología étale :

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

para cualquier entero positivo r invertible en el cuerpo F . Esta conjetura fue demostrada por Vladimir Voevodsky , con contribuciones de Markus Rost y otros. ^[9] Esto incluye el teorema de Alexander Merkurjev y Andrei Suslin así como la conjetura de Milnor como casos especiales (los casos cuando y , respectivamente). ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle r=2}$

Finalmente, existe una relación entre la K-teoría de Milnor y las formas cuadráticas . Para un cuerpo F de característica distinta de 2, definamos el ideal fundamental I en el anillo de Witt de formas cuadráticas sobre F como el núcleo del homomorfismo dado por la dimensión de una forma cuadrática, módulo 2. Milnor definió un homomorfismo: ${\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}$

donde denota la clase de la forma Pfister n -fold . ^[10] ${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$

Dmitri Orlov, Alexander Vishik y Voevodsky demostraron otra afirmación llamada conjetura de Milnor, es decir, que este homomorfismo es un isomorfismo. ^[11] ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}$

Véase también

• Álgebra de Azumaya
• Teoría de la homotopía motívica

Referencias

1. Milnor, John (1970-12-01). "Teoría K algebraica y formas cuadráticas". Inventiones Mathematicae . 9 (4): 318–344. Bibcode :1970InMat...9..318M. doi :10.1007/BF01425486. ISSN  1432-1297. S2CID  13549621.
2. Totaro, Burt . "La teoría K de Milnor es la parte más simple de la teoría K algebraica" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 2 de diciembre de 2020.
3. Shapiro, Jack M. (1981-01-01). "Relaciones entre la teoría K de campos de Milnor y Quillen". Journal of Pure and Applied Algebra . 20 (1): 93–102. doi : 10.1016/0022-4049(81)90051-7 . ISSN  0022-4049.
4. Gille y Szamuely (2006), pág. 184.
5. Voevodsky, Vladimir (15 de julio de 2001). "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica". arXiv : math/0107109 .
6. Bachmann, Tom (mayo de 2018). "Teoría de homotopía estable ética real y motívica". Compositio Mathematica . 154 (5): 883–917. arXiv : 1608.08855 . doi :10.1112/S0010437X17007710. ISSN  0010-437X. S2CID  119305101.
7. Un grupo abeliano es únicamente divisible si es un espacio vectorial sobre los números racionales .
8. Mazza, Voevodsky, Weibel (2005), Teorema 5.1.
9. Voevodski (2011).
10. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), secciones 5 y 9.B.
11. Orlov, Vishik, Voevodsky (2007).

• Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, Sr.  2427530
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-86103-9.MR  2266528.Zbl 1137.12001  .​
• Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir ; Weibel, Charles (2006), Lectures in Motivic Cohomology, Clay Mathematical Monographs, vol. 2, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3847-1, Sr.  2242284
• Milnor, John Willard (1970), " Teoría K algebraica y formas cuadráticas", Inventiones Mathematicae , 9 (4), con un apéndice de John Tate : 318–344, Bibcode :1970InMat...9..318M, doi :10.1007/BF01425486, ISSN  0020-9910, MR  0260844, S2CID  13549621, Zbl  0199.55501
• Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para con aplicaciones a formas cuadráticas", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165.1, MR  2276765, S2CID  9504456 ${\displaystyle K_{*}^{M}/2}$
• Voevodsky, Vladimir (2011), "Sobre la cohomología motívica con coeficientes Z / ℓ {\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }", Anales de Matemáticas , 174 (1): 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi :10.4007/annals.2011.174.1.11, MR  2811603, S2CID  15583705

Enlaces externos

• Algunos aspectos del funtor K 2 {\displaystyle K_{2}} de campos
• Acerca del cálculo de Tate de K 2 ( Q ) {\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}