En matemáticas, un campo local de dimensión superior es un ejemplo importante de un campo de valoración discreto completo . A estos campos también se los denomina campos locales multidimensionales.
En los cuerpos locales usuales (típicamente compleciones de cuerpos numéricos o los cuerpos cocientes de anillos locales de curvas algebraicas ) hay una única valoración discreta sobreyectiva (de rango 1) asociada a una elección de un parámetro local de los cuerpos, a menos que sean cuerpos locales arquimedianos tales como los números reales y los números complejos . De manera similar, hay una valoración discreta de rango n en casi todos los cuerpos locales n -dimensionales, asociada a una elección de n parámetros locales del cuerpo. [1] En contraste con los cuerpos locales unidimensionales, los cuerpos locales superiores tienen una secuencia de cuerpos residuales . [2] Hay diferentes estructuras integrales en cuerpos locales superiores, dependiendo de cuánta información de cuerpos residuales se quiera tener en cuenta. [2]
Geométricamente, los campos locales superiores aparecen a través de un proceso de localización y finalización de anillos locales de esquemas de dimensiones superiores . [2] Los campos locales superiores son una parte importante del tema de la teoría de números de dimensiones superiores, formando la colección apropiada de objetos para consideraciones locales.
Los campos finitos tienen dimensión 0 y los campos de valoración discretos completos con un campo de residuo finito tienen dimensión uno (es natural definir también los campos locales arquimedianos como R o C como de dimensión 1), entonces decimos que un campo de valoración discreto completo tiene dimensión n si su campo de residuo tiene dimensión n −1. Los campos locales superiores son aquellos de dimensión mayor que uno, mientras que los campos locales unidimensionales son los campos locales tradicionales. Llamamos al campo de residuo de un campo local superior de dimensión finita el 'primer' campo de residuo, su campo de residuo es entonces el segundo campo de residuo, y el patrón continúa hasta que llegamos a un campo finito. [2]
Los campos locales bidimensionales se dividen en las siguientes clases:
Los campos locales superiores aparecen en una variedad de contextos. Un ejemplo geométrico es el siguiente. Dada una superficie sobre un campo finito de característica p, una curva en la superficie y un punto en la curva, tome el anillo local en el punto. Luego, complete este anillo, localícelo en la curva y complete el anillo resultante. Finalmente, tome el campo cociente. El resultado es un campo local bidimensional sobre un campo finito. [2]
Existe también una construcción que utiliza álgebra conmutativa, que resulta técnica para anillos no regulares. El punto de partida es un anillo noetheriano, regular, n -dimensional y una bandera completa de ideales primos tales que su anillo cociente correspondiente es regular. Se suceden una serie de completaciones y localizaciones como las anteriores hasta que se alcanza un cuerpo local n -dimensional.
Los campos locales unidimensionales se consideran generalmente en la topología de valoración, en la que se utiliza la valoración discreta para definir conjuntos abiertos. Esto no será suficiente para campos locales de dimensiones superiores, ya que también es necesario tener en cuenta la topología a nivel de residuo. Los campos locales superiores pueden estar dotados de topologías apropiadas (no definidas de forma única) que aborden esta cuestión. Dichas topologías no son las topologías asociadas con valoraciones discretas de rango n , si n > 1. En la dimensión dos y superiores, el grupo aditivo del campo se convierte en un grupo topológico que no es localmente compacto y la base de la topología no es contable. Lo más sorprendente es que la multiplicación no es continua; sin embargo, es secuencialmente continua , lo que basta para todos los fines aritméticos razonables. También existen enfoques iterados Ind–Pro para reemplazar las consideraciones topológicas por otras más formales. [3]
No existe una medida invariante de traducción en cuerpos locales bidimensionales. En cambio, existe una medida invariante de traducción finitamente aditiva definida en el anillo de conjuntos generados por bolas cerradas con respecto a valoraciones discretas bidimensionales en el cuerpo, y que toman valores en series de potencias formales R (( X )) sobre números reales. [4] Esta medida también es contablemente aditiva en un cierto sentido refinado. Puede verse como una medida Haar superior en cuerpos locales superiores. El grupo aditivo de cada cuerpo local superior es no canónicamente autodual, y se puede definir una transformada de Fourier superior en espacios apropiados de funciones. Esto conduce a un análisis armónico superior . [5]
La teoría de campos de clase local en dimensión uno tiene sus análogos en dimensiones superiores. El reemplazo apropiado para el grupo multiplicativo se convierte en el n-ésimo grupo K de Milnor , donde n es la dimensión del campo, que aparece entonces como el dominio de un mapa de reciprocidad al grupo de Galois de la extensión abeliana máxima sobre el campo. Aún mejor es trabajar con el cociente del n-ésimo grupo K de Milnor por su subgrupo de elementos divisibles por cada entero positivo. Debido al teorema de Fesenko, [6] este cociente también puede verse como el cociente topológico separado máximo del grupo K dotado de una topología dimensional superior apropiada. El homomorfismo de reciprocidad local superior de este cociente del n-ésimo grupo K de Milnor al grupo de Galois de la extensión abeliana máxima del campo local superior tiene muchas características similares a las de la teoría de campos de clase local unidimensional.
La teoría de campos de clase local superior es compatible con la teoría de campos de clase en el nivel de campo de residuos, utilizando el mapa de borde de la teoría K de Milnor para crear un diagrama conmutativo que involucra el mapa de reciprocidad en el nivel del campo y el campo de residuos. [7]
La teoría general de campos de clase local superior fue desarrollada por Kazuya Kato [8] y por Ivan Fesenko [9] [10] . La teoría de campos de clase local superior en característica positiva fue propuesta por Aleksei Parshin [11] .