Disyunción lógica

Logical connective OR

Diagrama de Venn de ${\displaystyle \scriptstyle A\lor B\lor C}$

En lógica , la disyunción , también conocida como disyunción lógica , o lógica o , adición lógica o disyunción inclusiva , es un conector lógico que normalmente se escribe y se lee en voz alta como "o". Por ejemplo, la oración en inglés "está soleado o está cálido" se puede representar en lógica utilizando la fórmula disyuntiva , asumiendo que abrevia "está soleado" y abrevia "está cálido". ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle S\lor W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$

En la lógica clásica , la disyunción tiene una semántica funcional de verdad según la cual una fórmula es verdadera a menos que tanto y sean falsas. Debido a que esta semántica permite que una fórmula disyuntiva sea verdadera cuando ambos disyuntos son verdaderos, es una interpretación inclusiva de la disyunción, en contraste con la disyunción exclusiva . Los tratamientos teóricos de prueba clásicos a menudo se dan en términos de reglas como la introducción de la disyunción y la eliminación de la disyunción . La disyunción también ha recibido numerosos tratamientos no clásicos , motivados por problemas que incluyen el argumento de la batalla naval de Aristóteles , el principio de incertidumbre de Heisenberg , así como los numerosos desajustes entre la disyunción clásica y sus equivalentes más cercanos en los lenguajes naturales . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \phi \lor \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Un operando de una disyunción es un disyunto . ^[3]

Disyunción inclusiva y exclusiva

Debido a que el "o" lógico significa que una fórmula de disyunción es verdadera cuando una o ambas de sus partes son verdaderas, se la denomina disyunción inclusiva . Esto contrasta con una disyunción exclusiva , que es verdadera cuando uno u otro de los argumentos son verdaderos, pero no ambos (denominada " o exclusivo " o "XOR").

Cuando es necesario aclarar si se pretende que "o" sea inclusivo o exclusivo, los hablantes de inglés a veces usan la frase " y/o ". En términos lógicos, esta frase es idéntica a "o", pero hace explícita la inclusión de que ambos sean verdaderos.

Notación

En lógica y campos relacionados, la disyunción se suele denotar con un operador infijo (Unicode U+2228 ∨ OR LOGICAL ). ^[1] Las notaciones alternativas incluyen , utilizado principalmente en electrónica , así como y en muchos lenguajes de programación . La palabra inglesa "or" también se utiliza a veces, a menudo en mayúsculas. En la notación de prefijo de Jan Łukasiewicz para lógica , el operador es , abreviatura de alternatywa en polaco (en español: alternative). ^[4] ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \vert }$ ${\displaystyle \vert \!\vert }$ ${\displaystyle A}$

En matemáticas, la disyunción de un número arbitrario de elementos se puede denotar como una operación binaria iterada utilizando un ⋁ mayor (Unicode U+22C1 ⋁ N-ARIO OR LÓGICO ): ^[5] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \bigvee _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\lor a_{2}\lor \ldots a_{n-1}\lor a_{n}}$

Disyunción clásica

Semántica

En la semántica de la lógica , la disyunción clásica es una operación funcional de verdad que devuelve el valor de verdad "verdadero" a menos que ambos argumentos sean "falsos". Su entrada semántica se da de manera estándar de la siguiente manera: ^[6]

${\displaystyle \models \phi \lor \psi }$     si         o         o ambos ${\displaystyle \models \phi }$ ${\displaystyle \models \psi }$

Esta semántica corresponde a la siguiente tabla de verdad : ^[1]

Definido por otros operadores

En los sistemas lógicos clásicos donde la disyunción lógica no es una primitiva, se puede definir en términos de las primitivas " y " ( ) y " no " ( ) como: ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lnot }$

${\displaystyle A\lor B=\neg ((\neg A)\land (\neg B))}$.

Alternativamente, puede definirse en términos de " implica " ( ) y "no" como: ^[7] ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle A\lor B=(\lnot A)\to B}$.

Esto último se puede comprobar mediante la siguiente tabla de verdad:

También puede definirse únicamente en términos de : ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle A\lor B=(A\to B)\to B}$.

Esto se puede comprobar mediante la siguiente tabla de verdad:

Propiedades

Las siguientes propiedades se aplican a la disyunción:

• Asociatividad : ^[8] ${\displaystyle a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c}$
• Conmutatividad : ${\displaystyle a\lor b\equiv b\lor a}$
• Distributividad : ${\displaystyle (a\land (b\lor c))\equiv ((a\land b)\lor (a\land c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\land c))\equiv ((a\lor b)\land (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\lor c))\equiv ((a\lor b)\lor (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))}$

• Idempotencia : ${\displaystyle a\lor a\equiv a}$
• Monotonía : ${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))}$

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))}$

• Preservación de la verdad : la interpretación bajo la cual a todas las variables se les asigna un valor de verdad de 'verdadero', produce un valor de verdad de 'verdadero' como resultado de la disyunción.
• Preservación de la falsedad : la interpretación bajo la cual a todas las variables se les asigna un valor de verdad de 'falso', produce un valor de verdad de 'falso' como resultado de la disyunción.

Aplicaciones en informática

Puerta lógica OR

Los operadores correspondientes a la disyunción lógica existen en la mayoría de los lenguajes de programación .

Operación bit a bit

La disyunción se utiliza a menudo para operaciones bit a bit . Ejemplos:

• 0 o 0 = 0
• 0 o 1 = 1
• 1 o 0 = 1
• 1 o 1 = 1
• 1010 o 1100 = 1110

El oroperador se puede utilizar para establecer los bits de un campo de bits en 1, mediante orla adición de un campo constante con los bits relevantes establecidos en 1. Por ejemplo, x = x | 0b00000001forzará el bit final a 1, mientras que los otros bits no se modificarán. ^{[ cita requerida ]}

Operación lógica

Muchos lenguajes distinguen entre disyunción bit a bit y disyunción lógica al proporcionar dos operadores distintos; en lenguajes posteriores a C , la disyunción bit a bit se realiza con el operador de tubería simple ( |), y la disyunción lógica con el ||operador de tubería doble ( ).

La disyunción lógica suele estar en cortocircuito ; es decir, si el primer operando (izquierdo) se evalúa como true, entonces el segundo operando (derecho) no se evalúa. El operador de disyunción lógica constituye, por tanto, un punto de secuencia .

En un lenguaje paralelo (concurrente), es posible cortocircuitar ambos lados: se evalúan en paralelo y, si uno termina con el valor verdadero, el otro se interrumpe. Este operador se denomina entonces paralelo o .

Aunque el tipo de una expresión de disyunción lógica es booleano en la mayoría de los lenguajes (y por lo tanto solo puede tener el valor trueo false), en algunos lenguajes (como Python y JavaScript ), el operador de disyunción lógica devuelve uno de sus operandos: el primer operando si se evalúa como un valor verdadero, y el segundo operando en caso contrario. ^{[9] [10]} Esto le permite cumplir el rol del operador Elvis .

Disyunción constructiva

La correspondencia Curry-Howard relaciona una forma constructivista de disyunción con los tipos de unión etiquetados . ^{[ cita requerida ] [11]}

Teoría de conjuntos

La pertenencia de un elemento de un conjunto de unión en la teoría de conjuntos se define en términos de una disyunción lógica: . Debido a esto, la disyunción lógica satisface muchas de las mismas identidades que la unión en la teoría de conjuntos, como la asociatividad , la conmutatividad , la distributividad y las leyes de De Morgan , que identifican la conjunción lógica con la intersección de conjuntos y la negación lógica con el complemento de conjuntos . ^[12] ${\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A)\vee (x\in B)}$

Lenguaje natural

La disyunción en los lenguajes naturales no coincide exactamente con la interpretación de la lógica clásica. Cabe destacar que la disyunción clásica es inclusiva, mientras que la disyunción en lenguaje natural suele entenderse exclusivamente , como suele suceder en el siguiente ejemplo en inglés. ^[1] ${\displaystyle \lor }$

• María está comiendo una manzana o una pera.

Esta inferencia se ha entendido a veces como una implicación , por ejemplo por Alfred Tarski , quien sugirió que la disyunción del lenguaje natural es ambigua entre una interpretación clásica y una no clásica. Trabajos más recientes en pragmática han demostrado que esta inferencia se puede derivar como una implicatura conversacional sobre la base de una denotación semántica que se comporta de manera clásica. Sin embargo, se ha argumentado que las construcciones disyuntivas, incluidas la húngara vagy... vagy y la francesa soit... soit, son inherentemente excluyentes, lo que hace que no sean gramaticalmente correctas en contextos en los que, de lo contrario, se forzaría una lectura inclusiva. ^[1]

Se han observado desviaciones similares de la lógica clásica en casos como la disyunción de libre elección y la simplificación de antecedentes disyuntivos , donde ciertos operadores modales desencadenan una interpretación de la disyunción similar a la de una conjunción . Al igual que con la exclusividad, estas inferencias se han analizado tanto como implicaturas como como implicancias que surgen de una interpretación no clásica de la disyunción. ^[1]

• Puedes tener una manzana o una pera.

${\displaystyle \rightsquigarrow }$Puedes tener una manzana y puedes tener una pera (pero no puedes tener ambas)

En muchos idiomas, las expresiones disyuntivas juegan un papel en la formación de preguntas.

• ¿María es una filósofa o una lingüista?

Por ejemplo, si bien el ejemplo inglés anterior puede interpretarse como una pregunta polar que pregunta si es cierto que Mary es filósofa o lingüista, también puede interpretarse como una pregunta alternativa que pregunta cuál de las dos profesiones es la suya. El papel de la disyunción en estos casos se ha analizado utilizando lógicas no clásicas como la semántica alternativa y la semántica inquisitiva , que también se han adoptado para explicar las inferencias de libre elección y simplificación. ^[1]

En inglés, como en muchos otros idiomas, la disyunción se expresa mediante una conjunción coordinante . Otros idiomas expresan significados disyuntivos de diversas maneras, aunque se desconoce si la disyunción en sí misma es un universal lingüístico . En muchos idiomas, como Dyirbal y Maricopa , la disyunción se marca utilizando un sufijo verbal . Por ejemplo, en el ejemplo de Maricopa a continuación, la disyunción se marca con el sufijo šaa . ^[1]

Juan

Juan- NOM

Facturas

Proyecto de ley- NOM

vʔaawuumšaa

3 -ven- PL - FUT - INFER

Johnš Billš vʔaawuumšaa

John-NOM Bill-NOM 3-come-PL-FUT-INFER

"John o Bill vendrán."

Véase también

• Afirmando una disyuntiva
• Álgebra de Boole (lógica)
• Temas de álgebra de Boole
• Dominio booleano
• Función booleana
• Función con valor booleano
• Dualidad conjunción/disyunción
• Silogismo disyuntivo
• Desigualdades de Fréchet
• Inferencia de libre elección
• Disyunción de Hurford
• Gráfico lógico
• Simplificación de antecedentes disyuntivos

Notas

• George Boole , siguiendo de cerca la analogía con las matemáticas ordinarias, estableció como condición necesaria para la definición de "x + y" que x e y eran mutuamente excluyentes. Jevons , y prácticamente todos los lógicos matemáticos después de él, defendieron, sobre diversas bases, la definición de "adición lógica" en una forma que no necesitara la exclusividad mutua.

Referencias

1. Aloni, Maria (2016), "Disjunction", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2016), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 3 de septiembre de 2020
2. "Disyunción | lógica". Enciclopedia Británica . Consultado el 3 de septiembre de 2020 .
3. Beall, Jeffrey C. (2010). Lógica: los fundamentos . Fundamentos (1.ª edición). Londres: Routledge. p. 57. ISBN 978-0-203-85155-5.
4. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic , traducido por Otto Bird de las ediciones francesa y alemana, Dordrecht, Holanda Septentrional: D. Reidel, passim.
5. Weisstein, Eric W. "OR". MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 24 de septiembre de 2024 .
6. Para generalizar entre los sistemas clásicos, esta entrada suprime los parámetros de evaluación. El símbolo de " doble torniquete " aquí pretende significar "semánticamente implica". ${\displaystyle \models }$
7. Walicki, Michał (2016). Introducción a la Lógica Matemática. CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 150. doi : 10.1142/9783. ISBN 978-9814343879.
8. Howson, Colin (1997). Lógica con árboles: una introducción a la lógica simbólica . Londres; Nueva York: Routledge. p. 38. ISBN 978-0-415-13342-5.
9. "Documentación de Python 3.12.1 - Referencia del lenguaje Python - 6.11 Operaciones booleanas" . Consultado el 25 de diciembre de 2023 .
10. "Referencias de JavaScript - Expresiones y operadores - AND lógico (&&)". 25 de septiembre de 2023. Consultado el 25 de diciembre de 2023 .
11. Marco Vinícius Midena Ramos; de Queiroz, Ruy JGB (2015). "Formalización de la teoría del lenguaje libre de contexto". Universidade Federal de Pernambuco : 6. arXiv : 1505.00061 .
12. Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2021). Einführung in die Mengenlehre (en alemán) (5 ed.). Saltador. pag. 32.ISBN​ 978-3-662-63865-1.

Enlaces externos

• "Disyunción", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Aloni, Maria . "Disyunción". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Eric W. Weisstein. "Disyunción". De MathWorld, un recurso web de Wolfram