Isomorfismo de categorías

Relación de categorías en la teoría de categorías.

En teoría de categorías , dos categorías C y D son isomorfas si existen functores F  : C → D y G  : D → C que son mutuamente inversos entre sí, es decir, FG = 1 _D (el functor identidad en D ) y GF = 1 _C . ^[1] Esto significa que tanto los objetos como los morfismos de C y D se corresponden uno a uno entre sí. Dos categorías isomórficas comparten todas las propiedades que se definen únicamente en términos de teoría de categorías; a todos los efectos prácticos, son idénticos y sólo difieren en la notación de sus objetos y morfismos.

El isomorfismo de categorías es una condición muy fuerte y rara vez se cumple en la práctica. Mucho más importante es la noción de equivalencia de categorías ; En términos generales, para una equivalencia de categorías no requerimos que sean iguales a , sino solo naturalmente isomorfas a , y de la misma manera que sean naturalmente isomorfas a . ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle 1_{D}}$ ${\displaystyle GF}$ ${\displaystyle 1_{C}}$

Propiedades

Como ocurre con cualquier noción de isomorfismo , tenemos las siguientes propiedades generales formalmente similares a una relación de equivalencia :

• cualquier categoría C es isomorfa consigo misma
• si C es isomorfo a D , entonces D es isomorfo a C
• si C es isomorfo a D y D es isomorfo a E , entonces C es isomorfo a E .

Un funtor F  : C → D produce un isomorfismo de categorías si y sólo si es biyectivo en objetos y en conjuntos de morfismos . ^[1] Este criterio puede ser conveniente ya que evita la necesidad de construir el funtor inverso G.

Ejemplos

• Considere un grupo finito G , un campo k y el álgebra de grupos kG . La categoría de k -representaciones de grupos lineales de G es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre kG . El isomorfismo se puede describir de la siguiente manera: dada una representación de grupo ρ : G → GL( V ), donde V es un espacio vectorial sobre k , GL( V ) es el grupo de sus k -automorfismos lineales , y ρ es un homomorfismo de grupo , convertimos V en un módulo de kG izquierdo definiendo
  $${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$$
  para cada v en V y cada elemento Σ a _g g en kG .
  Por el contrario, dado un módulo kG izquierdo M , entonces M es un espacio vectorial k , y la multiplicación con un elemento g de G produce un automorfismo k -lineal de M (ya que g es invertible en kG ), que describe un homomorfismo de grupo G → GL ( METRO ). (Aún quedan varias cosas por comprobar: ambas asignaciones son functores, es decir, se pueden aplicar a mapas entre representaciones de grupos o módulos kG , y son inversas entre sí, tanto en objetos como en morfismos). Ver también Teoría de la representación de grupos finitos § Representaciones, módulos y álgebra de convolución .
• Cada anillo puede verse como una categoría preaditiva con un solo objeto. La categoría de functor de todos los funtores aditivos de esta categoría a la categoría de grupos abelianos es isomorfa a la categoría de módulos izquierdos sobre el anillo.
• Otro isomorfismo de categorías surge en la teoría de las álgebras de Boole : la categoría de álgebras de Boole es isomorfa a la categoría de anillos de Boole . Dada un álgebra booleana B , convertimos B en un anillo booleano usando la diferencia simétrica como suma y la operación de encuentro como multiplicación. Por el contrario, dado un anillo booleano R , definimos la operación de unión como a b = a + b + ab , y la operación de encuentro como multiplicación. Nuevamente, ambas asignaciones se pueden extender a morfismos para producir functores, y estos functores son inversos entre sí. ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \lor }$
• Si C es una categoría con un objeto inicial s, entonces la categoría de sector ( s ↓ C ) es isomorfa a C . Dualmente , si t es un objeto terminal en C , la categoría de functor ( C ↓ t ) es isomorfa a C. De manera similar, si 1 es la categoría con un objeto y solo su morfismo de identidad (de hecho, 1 es la categoría terminal ), y C es cualquier categoría, entonces la categoría de funtores C ¹ , con objetos functores c : 1 → C , seleccionando un objeto c ∈Ob( C ), y flechas transformaciones naturales f : c → d entre estos functores, seleccionando un morfismo f : c → d en C , es nuevamente isomorfo a C .

Ver también

• Equivalencia de categorías

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 14.ISBN​ 0-387-98403-8. SEÑOR  1712872.