Isomorfismo de orden

Equivalencia de conjuntos parcialmente ordenados

En el campo matemático de la teoría del orden , un isomorfismo de orden es un tipo especial de función monótona que constituye una noción adecuada de isomorfismo para conjuntos parcialmente ordenados (posets). Siempre que dos posets sean isomorfos en orden, pueden considerarse "esencialmente iguales" en el sentido de que cualquiera de los órdenes puede obtenerse del otro simplemente renombrando los elementos. Dos nociones estrictamente más débiles que se relacionan con los isomorfismos de orden son las incrustaciones de orden y las conexiones de Galois . ^[1]

Definición

Formalmente, dados dos conjuntos parciales y , un isomorfismo de orden de a es una función biyectiva de a con la propiedad de que, para cada y en , si y solo si . Es decir, es una incrustación de orden biyectiva . ^[2] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\leq _{S}y}$ ${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$

También es posible definir un isomorfismo de orden como una incrustación de orden sobreyectiva . Las dos suposiciones de que cubre todos los elementos de y de que preserva los ordenamientos son suficientes para asegurar que también es biunívoco, pues si entonces (por la suposición de que preserva el orden) se seguiría que y , lo que implica por la definición de un orden parcial que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x=y}$

Otra caracterización de los isomorfismos de orden es que son exactamente las biyecciones monótonas que tienen una inversa monótona. ^[3]

Un isomorfismo de orden de un conjunto parcialmente ordenado a sí mismo se llama automorfismo de orden . ^[4]

Cuando se impone una estructura algebraica adicional a los conjuntos parciales y , una función de a debe satisfacer propiedades adicionales para ser considerada un isomorfismo. Por ejemplo, dados dos grupos parcialmente ordenados (po-grupos) y , un isomorfismo de po-grupos de a es un isomorfismo de orden que también es un isomorfismo de grupo , no simplemente una biyección que es una incrustación de orden . ^[5] ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$ ${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ ${\displaystyle (H,\leq _{H})}$

Ejemplos

• La función identidad en cualquier conjunto parcialmente ordenado es siempre un automorfismo de orden.
• La negación es un isomorfismo de orden de a (donde es el conjunto de números reales y denota la comparación numérica habitual), ya que − x ≥ − y si y solo si x ≤ y . ^[6] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \leq }$
• El intervalo abierto (de nuevo, ordenado numéricamente) no tiene un isomorfismo de orden hacia o desde el intervalo cerrado : el intervalo cerrado tiene un elemento mínimo, pero el intervalo abierto no, y los isomorfismos de orden deben preservar la existencia de elementos mínimos. ^[7] ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Según el teorema de isomorfismo de Cantor , todo orden lineal denso numerable no acotado es isomorfo al ordenamiento de los números racionales . ^[8] Los isomorfismos de orden explícitos entre los números algebraicos cuadráticos, los números racionales y los números racionales diádicos los proporciona la función de signo de interrogación de Minkowski . ^[9]

Tipos de orden

Si es un isomorfismo de orden, entonces también lo es su función inversa . Además, si es un isomorfismo de orden de a y es un isomorfismo de orden de a , entonces la composición de funciones de y es en sí misma un isomorfismo de orden, de a . ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ ${\displaystyle (U,\leq _{U})}$

Se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos en orden cuando existe un isomorfismo de orden de uno a otro. ^[11] Las funciones identidad, las inversas de funciones y las composiciones de funciones corresponden, respectivamente, a las tres características definitorias de una relación de equivalencia : reflexividad , simetría y transitividad . Por lo tanto, el isomorfismo de orden es una relación de equivalencia. La clase de conjuntos parcialmente ordenados puede ser particionada por ella en clases de equivalencia , familias de conjuntos parcialmente ordenados que son todos isomorfos entre sí. Estas clases de equivalencia se denominan tipos de orden .

Véase también

• Patrón de permutación , una permutación que es isomorfa en orden a una subsecuencia de otra permutación

Notas

1. Bloch (2011); Ciesielski (1997).
2. Esta es la definición utilizada por Ciesielski (1997). Para Bloch (2011) y Schröder (2003) es consecuencia de una definición diferente.
3. Esta es la definición utilizada por Bloch (2011) y Schröder (2003).
4. Schröder (2003), pág. 13.
5. Esta definición es equivalente a la definición establecida en Fuchs (1963).
6. Véase el ejemplo 4 de Ciesielski (1997), pág. 39, para un ejemplo similar con números enteros en lugar de números reales.
7. Ciesielski (1997), ejemplo 1, p. 39.
8. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1997), "Números racionales", Notas sobre grupos de permutación infinita , Textos y lecturas en matemáticas, vol. 12, Berlín: Springer-Verlag, págs. 77-86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, Sr.  1632579
9. Girgensohn, Roland (1996), "Construcción de funciones singulares mediante fracciones de Farey", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
10. Ciesielski (1997); Schröder (2003).
11. Ciesielski (1997).

Referencias

• Bloch, Ethan D. (2011), Pruebas y fundamentos: un primer curso de matemáticas abstractas, Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.), Springer, págs. 276-277, ISBN 9781441971265.
• Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático en activo, Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 39, Cambridge University Press, págs. 38-39, ISBN 9780521594653.
• Schröder, Bernd Siegfried Walter (2003), Conjuntos ordenados: una introducción, Springer, pág. 11, ISBN 9780817641283.
• Fuchs, Laszlo (1963), Partially Ordered Algebraic Systems, Dover Publications; edición reimpresa (5 de marzo de 2014), págs. 2–3, ISBN 0486483878.