Isomorfismo de grupo

Homomorfismo de grupo biyectivo

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una biyección entre los elementos de los grupos de manera que respete las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos , los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos. ^[1]

Definición y notación

Dados dos grupos y un isomorfismo de grupo de a es un homomorfismo de grupo biyectivo de a Expresado en palabras, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva tal que para todos y en se cumple que ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

Los dos grupos y son isomorfos si existe un isomorfismo de uno al otro. ^{[1] [2]} Esto se escribe ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

A menudo se pueden utilizar notaciones más breves y sencillas. Cuando se entienden las operaciones de grupo relevantes, se omiten y se escriben $${\displaystyle G\cong H.}$$

A veces, incluso se puede escribir simplemente: "Si es posible utilizar esta notación sin confusión ni ambigüedad depende del contexto". Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Véanse también los ejemplos. ${\displaystyle G=H.}$

Por el contrario, dado un grupo , un conjunto y una biyección, podemos hacer un grupo definiendo ${\displaystyle (G,*),}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ $${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

Si y entonces la biyección es un automorfismo ( qv ). ${\displaystyle H=G}$ ${\displaystyle \odot =*}$

Intuitivamente, los teóricos de grupos ven dos grupos isomorfos de la siguiente manera: Para cada elemento de un grupo existe un elemento de tal que "se comporta de la misma manera" que (opera con otros elementos del grupo de la misma manera que ). Por ejemplo, si genera entonces también lo hace Esto implica, en particular, que y están en correspondencia biyectiva. Por lo tanto, la definición de un isomorfismo es bastante natural. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un homomorfismo de grupo invertible (la función inversa de un homomorfismo de grupo biyectivo es también un homomorfismo de grupo).

Ejemplos

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.

• El grupo de todos los números reales bajo la adición, , es isomorfo al grupo de números reales positivos bajo la multiplicación : ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$a través del isomorfismo . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• El grupo de los números enteros (con adición) es un subgrupo de y el grupo factorial es isomorfo al grupo de números complejos de valor absoluto 1 (bajo multiplicación): ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• El cuatro-grupo de Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de , y por lo tanto puede escribirse Otra notación es porque es un grupo diedro . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• Generalizando esto, para todo impar es isomorfo al producto directo de y ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• Si es un grupo cíclico infinito , entonces es isomorfo a los números enteros (con la operación de adición). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los números enteros (con la operación de adición) es el "único" grupo cíclico infinito. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Se puede demostrar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección , pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

• El grupo es isomorfo al grupo de todos los números complejos bajo adición. ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• El grupo de números complejos distintos de cero cuya operación es la multiplicación es isomorfo al grupo mencionado anteriormente. ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Propiedades

El núcleo de un isomorfismo de a es siempre {e _G }, donde e _G es la identidad del grupo ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$

Si y son isomorfos, entonces es abeliano si y sólo si es abeliano. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Si es un isomorfismo de a entonces para cualquier orden de es igual al orden de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot ),}$ ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a).}$

Si y son isomorfos, entonces es un grupo localmente finito si y sólo si es localmente finito. ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle (H,\odot )}$

El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) de orden viene dado por la secuencia A000001 en la OEIS . Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2, lo que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo. ${\displaystyle n}$

Grupos cíclicos

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a donde denota adición módulo ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$ ${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Sea un grupo cíclico y sea del orden de Sea un generador de , entonces es igual a Demostraremos que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$ $${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

Definir de tal manera que Claramente, es biyectiva. Entonces lo que demuestra que $${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$ ${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$ ${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

Consecuencias

De la definición se deduce que cualquier isomorfismo mapeará el elemento identidad de al elemento identidad de , que mapeará inversas a inversas y, más generalmente, potencias a potencias, y que el mapeo inverso es también un isomorfismo de grupo. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$ $${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ ${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

La relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia . Si es un isomorfismo entre dos grupos y entonces todo lo que es cierto acerca de eso solo está relacionado con la estructura del grupo puede traducirse a través de en una afirmación verdadera de lo mismo acerca de y viceversa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H,}$

Automorfismos

Un isomorfismo de un grupo a sí mismo se llama automorfismo del grupo. Por lo tanto, es una biyección tal que ${\displaystyle (G,*)}$ ${\displaystyle f:G\to G}$ $${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra).

La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo denotado por sí mismo forma un grupo, el grupo de automorfismos de ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$ ${\displaystyle G.}$

Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a sus inversos este es el automorfismo trivial , por ejemplo en el cuatrigrupo de Klein . Para ese grupo todas las permutaciones de los tres elementos no identidades son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismos es isomorfo a (que a su vez es isomorfo a ). ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

En para un número primo un elemento no identidad puede ser reemplazado por cualquier otro, con los cambios correspondientes en los otros elementos. El grupo de automorfismos es isomorfo a Por ejemplo, para multiplicar todos los elementos de por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismos, porque mientras que las potencias inferiores no dan 1. Por lo tanto, este automorfismo genera Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de por 5, módulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de en ese orden o viceversa. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$ ${\displaystyle n=7,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

El grupo de automorfismos de es isomorfo a porque solo cada uno de los dos elementos 1 y 5 se generan, por lo que aparte de la identidad solo podemos intercambiarlos. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

El grupo de automorfismos de tiene orden 168, como se puede encontrar de la siguiente manera. Los 7 elementos no identidad desempeñan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál desempeña el papel de Cualquiera de los 6 restantes puede elegirse para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina qué elemento corresponde a Pues podemos elegir entre 4, lo que determina el resto. Así pues, tenemos automorfismos. Corresponden a los del plano de Fano , de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 elementos no identidad . Las líneas que unen tres puntos corresponden a la operación de grupo: y en una línea significa y Véase también grupo lineal general sobre cuerpos finitos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle (1,0,0).}$ ${\displaystyle (1,1,0).}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$ ${\displaystyle b+c=a.}$

Para los grupos abelianos, todos los automorfismos no triviales son automorfismos externos .

Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no triviales y posiblemente también automorfismos externos.

Véase también

• Problema de isomorfismo de grupos
• Biyección  – Correspondencia uno a uno

Referencias

• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0471010901.

1. Barnard, Tony y Neil, Hugh (2017). Descubriendo la teoría de grupos: una transición a las matemáticas avanzadas . Boca Ratan: CRC Press. pág. 94. ISBN 9781138030169.
2. Budden, FJ (1972). La fascinación de los grupos (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 142. ISBN. 0521080169. Recuperado el 12 de octubre de 2022 – vía VDOC.PUB.
3. Ash (1973). "Una consecuencia del axioma de elección". Journal of the Australian Mathematical Society . 19 (3): 306–308. doi : 10.1017/S1446788700031505 . Consultado el 21 de septiembre de 2013 .