En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de curvatura media inversa (IMCF) es un flujo geométrico de subvariedades de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Se ha utilizado para probar cierto caso de desigualdad de Riemann de Penrose , que es de interés en la relatividad general .
Formalmente, dada una variedad pseudo-riemanniana ( M , g ) y una variedad suave S , un flujo de curvatura media inversa consiste en un intervalo abierto I y un mapa suave F de I × S en M tal que
donde H es el vector de curvatura media de la inmersión F ( t , ⋅) .
Si g es riemanniano, si S está cerrado con dim( M ) = dim( S ) + 1 , y si una inmersión suave dada f de S en M tiene una curvatura media que no es cero en ninguna parte, entonces existe un flujo de curvatura media inversa único. cuyos "datos iniciales" son f . [1]
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media inversa lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en el espacio euclidiano . Si la dimensión de dicha esfera es n y su radio es r , entonces su curvatura media esnorte/r. Como tal, dicha familia de esferas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa si y sólo si
Entonces, una familia de hiperesferas redondas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa cuando los radios crecen exponencialmente.
En 1990, Claus Gerhardt demostró que esta situación es característica del caso más general de hipersuperficies lisas en forma de estrella convexas medias del espacio euclidiano. En particular, para cualquiera de estos datos iniciales, el flujo de curvatura media inversa existe durante todo el tiempo positivo y consta únicamente de hipersuperficies suaves convexas y en forma de estrella. Además, el área de la superficie crece exponencialmente y, después de un cambio de escala que fija el área de la superficie, las superficies convergen suavemente en una esfera redonda. Las estimaciones geométricas en la obra de Gerhardt se derivan del principio de máximo ; la redondez asintótica se convierte entonces en una consecuencia del teorema de Krylov-Safonov. Además, los métodos de Gerhardt se aplican simultáneamente a flujos de hipersuperficie basados en curvaturas más generales.
Como es típico de los flujos geométricos, las soluciones IMCF en situaciones más generales a menudo tienen singularidades de tiempo finito, lo que significa que a menudo no se puede considerar que I tenga la forma ( a , ∞) . [2]
Siguiendo los trabajos fundamentales de Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga y Shun'ichi Goto, y de Lawrence Evans y Joel Spruck sobre el flujo de curvatura media , Gerhard Huisken y Tom Ilmanen reemplazaron la ecuación IMCF para hipersuperficies en una variedad de Riemann ( M , g ) , por la ecuación diferencial parcial elíptica
para una función de valor real u en M . Las soluciones débiles de esta ecuación se pueden especificar mediante un principio variacional . Huisken e Ilmanen demostraron que para cualquier variedad de Riemann lisa completa y conectada ( M , g ) que sea asintóticamente plana o asintóticamente cónica, y para cualquier subconjunto precompacto y abierto U de M cuyo límite sea una subvariedad incrustada suave , existe una variedad adecuada y localmente Función de Lipschitz u en M que es una solución débil positiva en el complemento de U y que no es positiva en U ; además , dicha función está determinada de forma única en el complemento de U.
La idea es que, a medida que t aumenta, el límite de { x : u ( x ) < t } se mueve a través de las hipersuperficies que surgen en un flujo de curvatura media inversa, con la condición inicial dada por el límite de U. Sin embargo, la configuración elíptica y débil brinda un contexto más amplio, ya que dichos límites pueden tener irregularidades y saltar de manera discontinua, lo cual es imposible en el flujo de curvatura media inversa habitual.
En el caso especial de que M sea tridimensional y g tenga curvatura escalar no negativa , Huisken e Ilmanen demostraron que una cierta cantidad geométrica conocida como masa de Hawking se puede definir para el límite de { x : u ( x ) < t }, y es monótonamente no decreciente a medida que t aumenta. En el caso más simple de un flujo suave de curvatura media inversa, esto equivale a un cálculo local y fue demostrado en la década de 1970 por el físico Robert Geroch . En el contexto de Huisken e Ilmanen, no es tan trivial debido a las posibles irregularidades y discontinuidades de las superficies involucradas.
Como consecuencia de la extensión de la monotonicidad de Geroch por parte de Huisken e Ilmanen, pudieron utilizar la masa de Hawking para interpolar entre el área de superficie de una superficie mínima "más externa" y la masa ADM de una variedad de Riemann tridimensional asintóticamente plana de curvatura escalar no negativa. . Esto resolvió cierto caso de la desigualdad de Riemann de Penrose .
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media inversa lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en . La curvatura media de una esfera de radio de dos dimensiones es .
Debido a la simetría rotacional de la esfera (o en general, debido a la invariancia de la curvatura media bajo isometrías ), la ecuación de flujo de curvatura media inversa se reduce a la ecuación diferencial ordinaria , para una esfera inicial de radio ,
La solución de esta EDO (obtenida, por ejemplo, por separación de variables ) es
