Aproximación nacida

Teoría de la dispersión

Generalmente en la teoría de la dispersión y en particular en la mecánica cuántica , la aproximación de Born consiste en tomar el campo incidente en lugar del campo total como campo impulsor en cada punto del dispersor. La aproximación de Born lleva el nombre de Max Born , quien propuso esta aproximación en los primeros días del desarrollo de la teoría cuántica. ^[1]

Es el método de perturbación aplicado a la dispersión por un cuerpo extendido. Es exacto si el campo disperso es pequeño en comparación con el campo incidente en el dispersor.

Por ejemplo, la dispersión de ondas de radio por una columna ligera de poliestireno se puede aproximar suponiendo que cada parte del plástico está polarizada por el mismo campo eléctrico que estaría presente en ese punto sin la columna, y luego calculando la dispersión como una radiación. integral sobre esa distribución de polarización.

Aproximación nacida a la ecuación de Lippmann-Schwinger

La ecuación de Lippmann-Schwinger para el estado de dispersión con un momento p y condiciones de contorno salientes (+) o entrantes (-) es ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle ,}$

donde está la función de Green de la partícula libre , es una cantidad infinitesimal positiva y el potencial de interacción. es la solución de dispersión libre correspondiente, a veces denominada campo incidente. El factor del lado derecho a veces se denomina campo de conducción . ${\displaystyle G^{\circ }}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$ ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

Dentro de la aproximación de Born, la ecuación anterior se expresa como

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle ,}$

lo cual es mucho más fácil de resolver ya que el lado derecho ya no depende del estado desconocido . ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$

La solución obtenida es el punto de partida de la serie Born .

Aproximación nacida a la amplitud de dispersión.

Usando la función de Green libre saliente para una partícula con masa en el espacio de coordenadas, ${\displaystyle m}$

${\displaystyle G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$

se puede extraer la aproximación de Born a la amplitud de dispersión de la aproximación de Born a la ecuación de Lippmann-Schwinger anterior,

${\displaystyle f_{B}(\theta )=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;,}$

donde es el ángulo entre el vector de onda incidente y el vector de onda disperso , es el momento transferido. En el potencial centralmente simétrico , la amplitud de dispersión se vuelve ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} '}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} '-\mathbf {k} }$ ${\displaystyle V=V(r)}$

${\displaystyle f_{B}(\theta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{0}^{\infty }rV(r){\frac {\sin qr}{q}}dr}$

donde En la aproximación de Born para un campo centralmente simétrico, la amplitud de dispersión y, por tanto, la sección transversal depende del impulso y la amplitud de dispersión sólo a través de la combinación . ${\displaystyle q=|\mathbf {q} |=2k\sin(\theta /2).}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p=k/\hbar }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p\sin(\theta /2)}$

Aplicaciones

La aproximación de Born se utiliza en varios contextos físicos diferentes.

En la dispersión de neutrones , la aproximación de Born de primer orden es casi siempre adecuada, excepto para fenómenos ópticos de neutrones como la reflexión total interna en una guía de neutrones o la dispersión de ángulo pequeño con incidencia rasante . La aproximación de Born también se ha utilizado para calcular la conductividad en grafeno bicapa ^[3] y para aproximar la propagación de ondas de longitud de onda larga en medios elásticos . ^[4]

Las mismas ideas también se han aplicado al estudio de los movimientos de las ondas sísmicas a través de la Tierra. ^[5]

Aproximación de Born de onda distorsionada

La aproximación de Born es más sencilla cuando las ondas incidentes son ondas planas. Es decir, el dispersor se trata como una perturbación del espacio libre o de un medio homogéneo. ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$

En la aproximación de Born de ondas distorsionadas ( DWBA ), las ondas incidentes son soluciones a una parte del problema que se trata mediante algún otro método, ya sea analítico o numérico. La interacción de interés se trata como una perturbación de algún sistema que puede resolverse mediante algún otro método. Para reacciones nucleares, se utilizan ondas de modelos ópticos numéricos. Para la dispersión de partículas cargadas entre partículas cargadas se utilizan soluciones analíticas para dispersión de Coulomb. Esto da la ecuación preliminar de No Born. ${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$ ${\displaystyle V^{1}}$ ${\displaystyle V=V^{1}+V^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle V^{1}}$

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$

y la aproximación de Born

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle .}$

Otras aplicaciones incluyen la bremsstrahlung y el efecto fotoeléctrico . Para una reacción nuclear directa inducida por partículas cargadas, el procedimiento se utiliza dos veces. Existen métodos similares que no utilizan las aproximaciones de Born. En la investigación de materia condensada, DWBA se utiliza para analizar la dispersión de ángulo pequeño con incidencia de pastoreo .

Ver también

• serie nacida
• Ecuación de Lippmann-Schwinger
• Serie Dyson
• Modelado electromagnético
• Aproximación de Rayleigh-Gans

Referencias

1. Nacido, Max (1926). "Quantenmechanik der Stossvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Código Bib : 1926ZPhy...38..803B. doi :10.1007/BF01397184. S2CID  126244962.
2. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
3. Koshino, Mikito; Ando, ​​Tsuneya (2006). "Transporte en grafeno bicapa: cálculos dentro de una aproximación de Born autoconsistente". Revisión física B. 73 (24): 245403. arXiv : cond-mat/0606166 . Código Bib : 2006PhRvB..73x5403K. doi : 10.1103/physrevb.73.245403. S2CID  119415260.
4. Gubernatis, JE; Domany, E.; Krumhansl, JA; Huberman, M. (1977). "La aproximación de Born en la teoría de la dispersión de ondas elásticas por defectos". Revista de Física Aplicada . 48 (7): 2812–2819. Código bibliográfico : 1977JAP....48.2812G. doi : 10.1063/1.324142.
5. Hudson, JA; Patrimonio, JR (1980). "El uso de la aproximación de Born en problemas de dispersión sísmica". Revista Geofísica de la Real Sociedad Astronómica . 66 (1): 221–240. Código bibliográfico : 1981GeoJ...66..221H. doi : 10.1111/j.1365-246x.1981.tb05954.x .

• Sakurai, JJ (1994). Mecánica cuántica moderna . Addison Wesley. ISBN 0-201-53929-2.
• Newton, Roger G. (2002). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Publicaciones de Dover, inc. ISBN 0-486-42535-5.
• Wu y Ohmura, Teoría cuántica de la dispersión , Prentice Hall, 1962