serie nacida

La serie de Born ^[1] es la expansión de diferentes cantidades de dispersión en la teoría de la dispersión cuántica en las potencias del potencial de interacción (más precisamente en potencias de donde está la partícula libre operador de Green ). Está estrechamente relacionado con la aproximación de Born , que es el término de primer orden de la serie de Born. La serie puede entenderse formalmente como una serie de potencias que introduce la constante de acoplamiento por sustitución . La velocidad de convergencia y el radio de convergencia de la serie de Born están relacionados con los valores propios del operador . En general, los primeros términos de la serie de Born son una buena aproximación a la cantidad expandida para interacciones "débiles" y energía de colisión grande. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G_{0}V,}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle V\to \lambda V}$ ${\displaystyle G_{0}V}$ ${\displaystyle V}$

Serie nacida para estados dispersos.

La serie Born para los estados dispersos dice

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{2}|\phi \rangle +[G_{0}(E)V]^{3}|\phi \rangle +\dots }$

Se puede derivar iterando la ecuación de Lippmann-Schwinger.

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}(E)V|\psi \rangle .}$

Tenga en cuenta que el operador de Green para una partícula libre puede ser retardado/avanzado o un operador de onda estacionaria para estados retardados avanzados o de dispersión de onda estacionaria . La primera iteración se obtiene reemplazando la solución de dispersión completa con la función de onda de partículas libres en el lado derecho de la ecuación de Lippmann-Schwinger y da la primera aproximación de Born . La segunda iteración sustituye la primera aproximación de Born en el lado derecho y el resultado se denomina segunda aproximación de Born. En general, la aproximación de Born n-ésima tiene en cuenta los n términos de la serie. La segunda aproximación de Born se utiliza a veces, cuando la primera aproximación de Born desaparece, pero los términos superiores rara vez se utilizan. La serie de Born se puede resumir formalmente como una serie geométrica con la razón común igual al operador , dando la solución formal a la ecuación de Lippmann-Schwinger en la forma ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi ^{(P)}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle G_{0}V}$

${\displaystyle |\psi \rangle =[I-G_{0}(E)V]^{-1}|\phi \rangle =[V-VG_{0}(E)V]^{-1}V|\phi \rangle .}$

Serie nacida para T-matrix.

La serie Born también se puede escribir para otras cantidades de dispersión como la matriz T, que está estrechamente relacionada con la amplitud de dispersión . Iterando la ecuación de Lippmann-Schwinger para la matriz T obtenemos

${\displaystyle T(E)=V+VG_{0}(E)V+V[G_{0}(E)V]^{2}+V[G_{0}(E)V]^{3}+\dots }$

La matriz T representa únicamente el operador de Green retrasado . La onda estacionaria que el operador de Green daría en su lugar la matriz K. ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}^{(+)}(E)}$

Serie nacida para el operador completo de Green.

La ecuación de Lippmann-Schwinger para el operador de Green se llama identidad resolutiva ,

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG(E).}$

Su solución por iteración conduce a la serie Born para el operador Green completo. ${\displaystyle G(E)=(E-H+i\epsilon )^{-1}}$

${\displaystyle G(E)=G_{0}(E)+G_{0}(E)VG_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{2}G_{0}(E)+[G_{0}(E)V]^{3}G_{0}(E)+\dots }$

Bibliografía

• Joachain, Charles J. (1983). Teoría de la colisión cuántica. Holanda del Norte. ISBN 978-0-7204-0294-0.
• Taylor, John R. (1972). Teoría de la dispersión: la teoría cuántica sobre colisiones no relativistas . Juan Wiley. ISBN 978-0-471-84900-1.
• Newton, Roger G. (2002). Teoría de la dispersión de ondas y partículas . Publicaciones de Dover, inc. ISBN 978-0-486-42535-1.

Referencias

1. Nacido, Max (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Código bibliográfico : 1926ZPhy...38..803B. doi :10.1007/bf01397184. S2CID  126244962.