Siteswap , también llamado malabarismo cuántico o notación de Cambridge , es una notación numérica de malabarismo utilizada para describir o representar patrones de malabarismo . El término también puede usarse para describir patrones de siteswap , posibles patrones transcritos mediante siteswap. Los lanzamientos se representan mediante números enteros no negativos que especifican el número de golpes en el futuro cuando se lanza nuevamente el objeto: "La idea detrás de siteswap es realizar un seguimiento del orden en que se lanzan y atrapan las pelotas, y solo eso". [3] Es una herramienta invaluable para determinar qué combinaciones de lanzamientos producen patrones de malabarismo válidos para una cantidad dada de objetos, y ha llevado a patrones previamente desconocidos (como 441). Sin embargo, no describe movimientos corporales como detrás de la espalda y debajo de la pierna. Siteswap asume que "los lanzamientos ocurren en golpes que están igualmente espaciados en el tiempo". [4]
Por ejemplo, una cascada de tres bolas puede escribirse como "3", mientras que una lluvia puede escribirse como "5 1". [4]
La notación fue inventada por Paul Klimek en Santa Cruz, California en 1981, y luego desarrollada por los estudiantes Bruce "Boppo" Tiemann, Joel David Hamkins y el fallecido Bengt Magnusson en el Instituto de Tecnología de California en 1985, y por Mike Day, el matemático Colin Wright y el matemático Adam Chalcraft en Cambridge, Inglaterra en 1985 (de ahí proviene un nombre alternativo). [5] [a] Hamkins escribió un código de computadora en 1985 para generar sistemáticamente patrones de intercambio de sitios; las impresiones se llevaron inmediatamente al césped del Athenaeum en Caltech para que él, Tiemann y Magnusson las probaran. Los números derivan de la cantidad de pelotas utilizadas en los patrones de malabarismo más comunes. Siteswap ha sido descrito como "quizás el nombre más popular". [8]
El nombre siteswap proviene de la capacidad de generar patrones "intercambiando" los tiempos de aterrizaje de 2 "sitios" cualesquiera en un siteswap usando la propiedad swap. [9] Por ejemplo, intercambiar los tiempos de aterrizaje de los lanzamientos "5" y "1" en el siteswap "51" genera el siteswap "24".
Su forma más simple, a veces llamada vanilla siteswap, describe solo patrones cuyos lanzamientos se alternan de mano y en los que se lanza una pelota de cada mano a la vez. Si uno estuviera haciendo malabarismos mientras camina hacia adelante, se vería algo como el diagrama adyacente desde arriba, a veces llamado diagrama de espacio-tiempo o diagrama de escalera . En este diagrama, se están haciendo malabarismos con tres pelotas. El tiempo avanza de arriba a abajo.
Este patrón se puede describir indicando cuántos lanzamientos después se atrapa cada pelota. Por ejemplo, en el primer lanzamiento del diagrama, la pelota violeta se lanza al aire (hacia arriba fuera de la pantalla, hacia la parte inferior izquierda) con la mano derecha, luego la pelota azul, la pelota verde, la pelota verde nuevamente, y la pelota azul nuevamente y luego finalmente la pelota violeta es atrapada y lanzada por la mano izquierda en el quinto lanzamiento, esto da al primer lanzamiento un conteo de 5. Esto produce una secuencia de números que denotan la altura de cada lanzamiento que se debe realizar. Como las manos se alternan, los lanzamientos con números impares envían la pelota a la otra mano, mientras que los lanzamientos con números pares envían la pelota a la misma mano. Un 3 representa un lanzamiento a la mano opuesta a la altura de la cascada básica de tres ; un 4 representa un lanzamiento a la misma mano a la altura de la fuente de cuatro , y así sucesivamente.
Hay tres lanzamientos especiales: un 0 es una pausa con una mano vacía, un 1 es un pase rápido directo a la otra mano y un 2 es una retención momentánea de un objeto. Los lanzamientos de más de 9 pulsaciones reciben letras que comienzan con a . La cantidad de pulsaciones que una pelota está en el aire generalmente corresponde a qué tan alto fue lanzada, por lo que muchas personas se refieren a los números como alturas, pero esto no es técnicamente correcto; todo lo que importa es la cantidad de pulsaciones en el aire, no qué tan alto se lanza. Por ejemplo, rebotar una pelota lleva más tiempo que un lanzamiento en el aire a la misma altura, por lo que puede tener un valor de intercambio de sitios más alto y ser un lanzamiento más bajo.
Cada patrón se repite después de una cierta cantidad de lanzamientos, llamada período del patrón. El período es el número de dígitos en la representación no repetitiva más corta de un patrón. Por ejemplo, el patrón diagramado a la derecha es 53145305520 que tiene 11 dígitos y, por lo tanto, tiene un período de 11. Si el período es un número impar, como este, entonces cada vez que se repite la secuencia, la secuencia comienza con la otra mano y el patrón es simétrico porque cada mano está haciendo lo mismo (aunque en diferentes momentos). Si el período es un número par, entonces en cada repetición del patrón, cada mano hace lo mismo que hizo la última vez y el patrón es asimétrico .
La cantidad de bolas utilizadas para el patrón es el promedio de los números de lanzamientos en el patrón. [2] Por ejemplo, 441 es un patrón de tres objetos porque (4+4+1)/3 es 3 y 86 es un patrón de siete objetos. Por lo tanto, todos los patrones deben tener una secuencia de intercambio de sitios que promedie un entero . No todas estas secuencias describen patrones; por ejemplo, 543 tiene un promedio entero de 4 pero sus tres lanzamientos caen todos al mismo tiempo, chocando.
Algunos se aferran a una convención según la cual un intercambio de sitios se escribe con los números más altos primero. Una desventaja de hacerlo es evidente en el patrón 51414 , un patrón de 3 bolas que no se puede insertar en el medio de una serie de 3 lanzamientos, a diferencia de su rotación 45141 que sí se puede.
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La notación Siteswap se puede ampliar para denotar patrones que contienen lanzamientos sincrónicos de ambas manos. Los números para los dos lanzamientos se combinan entre paréntesis y se separan con una coma. Dado que los lanzamientos sincrónicos solo se lanzan en tiempos pares, solo se permiten números pares. [10] Los lanzamientos que se mueven a la otra mano se marcan con una x después del número. Por lo tanto, una lluvia sincrónica de tres apoyos se denota (4x,2x) , lo que significa que una mano lanza continuamente un lanzamiento bajo o 'zip' a la mano opuesta, mientras que la otra continuamente hace un lanzamiento más alto a la primera. Las secuencias de pares entre corchetes se escriben sin marcadores delimitadores. Los patrones que se repiten en imagen especular en el lado opuesto se pueden abreviar con un *. Por ejemplo, En lugar de (4,2x)(2x,4) (patrón de caja de 3 bolas ), se puede abreviar a (4,2x)* .
Otra extensión permite que el sistema de intercambio de sitios registre patrones que impliquen múltiples lanzamientos de una o ambas manos al mismo tiempo en un patrón multiplex . Los números correspondientes a múltiples lanzamientos de una sola mano se escriben juntos dentro de corchetes. Por ejemplo, [33]33 es una cascada normal de 3 bolas, en la que siempre se lanzan un par de bolas juntas.
Malabarismo simultáneo: la notación <xxx|yyy> significa que un malabarista hace 'xxx' mientras que otro hace 'yyy'. 'p' se usa para representar un lanzamiento de pase. Por ejemplo, <3p 3|3p 3> es un patrón de pase de 6 prop '2 count', donde todos los lanzamientos con la mano izquierda son pases y los lanzamientos con la mano derecha son auto-lanzamientos. Esto también se puede usar con patrones sincrónicos; una 'ducha' de dos personas es entonces <(4xp,2x)|(4xp,2x)>
Si el patrón contiene fracciones, por ejemplo <4.5 3 3 | 3 4 3.5>, se supone que el malabarista después del compás está medio conteo más tarde, y todas las fracciones son pases.
intercambio de sitios sociales
Si ambos hacen malabarismos con el mismo patrón (aunque desplazado en el tiempo), el patrón se llama intercambio social de sitios y solo es necesario escribir la mitad del patrón: <4p 3| 3 4p> se convierte en 4p 3 y <4.5 3 3| 3 4.5 3> se convierte en 4.5 3 3 . (nótese que en el último caso, 4.5 serán pases directos de un malabarista, pases cruzados (es decir, de izquierda a izquierda o de derecha a derecha) del otro malabarista. También se pueden crear intercambios sociales de sitios para más de 2 malabaristas (por ejemplo, 4p 3 3 o 3.7 3 para 3 malabaristas, donde 3.7 significa 3.66666.... o 3 2 ⁄ 3 . Entonces cada malabarista debería empezar con 1 ⁄ 3 de conteo después del anterior).
Tenga en cuenta que algunos malabaristas utilizan fracciones para marcar patrones con varias manos.
La notación multimano fue desarrollada por Ed Carstens en 1992 para su uso con su programa de malabarismo JugglePro. [7] La notación de intercambio de puntos en su forma más simple ("sitio de intercambio de puntos Vanilla") supone que solo se lanza una pelota a la vez. De ello se deduce que cualquier sitio de intercambio de puntos válido para dos manos también será válido para cualquier número de manos, con la condición de que las manos lancen una tras otra. Los sitios de intercambio de puntos de varias manos que se utilizan habitualmente son el sitio de intercambio de puntos de una mano (diábolo) y el sitio de intercambio de puntos de cuatro manos (pasando) .
De una mano (diábolo)
El intercambio de sitios se realiza con una sola mano o con un jugador de diábolo que lanza diábolos a diferentes alturas.
4 manos
Los intercambios de sitios válidos pueden ser realizados por un malabarista de 4 manos, o por 2 malabaristas coordinando 4 manos, con la condición de que las manos lancen alternativamente.
En la práctica, esto se consigue más fácilmente si los malabaristas lanzan por turnos, siendo una secuencia (mano derecha del malabarista A, mano derecha del malabarista B, mano izquierda de A, mano izquierda de B).
notación mezclada
Algunos malabaristas, al anotar un intercambio de sitios entre cuatro participantes, dividen los valores del intercambio de sitios por la cantidad de malabaristas. Esto genera una notación fraccionaria similar a la notación para los intercambios de sitios sociales, pero el orden de la notación puede ser diferente.
Justo después de lanzar una pelota (o un palo u otro objeto de malabarismo), todas las pelotas están en el aire y bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que las pelotas se atrapan a un nivel constante, entonces el momento en que aterrizan las pelotas ya está determinado. Podemos marcar cada punto en el tiempo cuando una pelota va a aterrizar con una x , y cada punto en el tiempo cuando todavía no hay una pelota programada para aterrizar con un - . Esto describe el estado actual y determina qué número de pelota se puede lanzar a continuación. Por ejemplo, podemos observar el estado justo después de nuestro primer lanzamiento en el diagrama, es xx--x. Podemos usar el estado para determinar qué se puede lanzar a continuación. Primero quitamos la x del lado izquierdo (esa es la pelota que aterrizará a continuación) y desplazamos todo lo demás a la izquierda llenando un - a la derecha. Esto nos deja con x--x-. Dado que atrapamos una pelota (la x que quitamos de la izquierda) no podemos "lanzar" un 0 a continuación. Tampoco podemos lanzar un 1 o un 4, porque ya hay bolas programadas para caer allí. Por lo tanto, suponiendo que lo más alto que podemos lanzar una bola con precisión es a una altura de 5, entonces solo podemos lanzar un 2, un 3 o un 5. En este diagrama, el malabarista lanzó un 3, por lo que una x va en el tercer lugar, reemplazando al -, y tenemos x-xx- como el nuevo estado.
El diagrama que se muestra ilustra todos los estados posibles para alguien que hace malabarismos con tres objetos y una altura máxima de 5. Desde cada estado, se pueden seguir las flechas y los números correspondientes producen el intercambio de sitios. Cualquier camino que produzca un ciclo genera un intercambio de sitios válido, y todos los intercambios de sitios se pueden generar de esta manera. El diagrama se hace más grande rápidamente cuando se introducen más pelotas o lanzamientos más altos, ya que hay más estados posibles y más lanzamientos posibles.
Otro método para representar estados de intercambio de sitios es representar una bola con un 1 en lugar de una x, y representar un punto donde no hay ninguna bola programada para caer con un 0 en lugar de un -. Entonces el estado se puede representar con un número binario, como el binario 10011. Este formato permite representar estados multiplex, es decir, el número 2 representa que 2 bolas caen en ese punto.
Un diagrama de estado de un intercambio de sitios también se puede representar como una tabla de transición de estados , como se muestra a la derecha. Para generar un intercambio de sitios, elija una fila de estado inicial. Indexe la fila a través de la columna de lanzamiento correspondiente. La entrada de estado en la intersección es el estado al que se hace la transición cuando se realiza ese lanzamiento. Desde el nuevo estado, se puede indexar nuevamente en la tabla. Este proceso se puede repetir para que cuando se alcance el estado original, se cree un intercambio de sitios válido.
No todas las secuencias de intercambio de sitios son válidas. [10] Todas las secuencias de intercambio de sitios sincrónicos, de vainilla y multiplex son válidas si sus transiciones de estado crean un ciclo en el gráfico de su diagrama de estado. [10] Las secuencias que no crean un ciclo no son válidas. Por ejemplo, el patrón 531 se puede asignar a un diagrama de estado como se muestra a la derecha. Dado que las transiciones en esta secuencia crean un ciclo en el gráfico, este patrón es válido.
Existen otros métodos para determinar la validez de una secuencia en función del tipo de intercambio de sitios.
Una secuencia de intercambio de sitios de vainilla donde es el período del intercambio de sitios, es válida cuando la cardinalidad del conjunto (escrita en notación de generador de conjuntos ) es igual al período donde Para encontrar si un patrón es válido, primero cree una nueva secuencia formada sumando al primer número, al segundo número, al tercer número y así sucesivamente. En segundo lugar, calcule el módulo (resto) de cada número con el período. Si ninguno de los números está duplicado en esta secuencia final, entonces el patrón es válido. [11]
Por ejemplo, el patrón 531 produciría o . Dado que el patrón 531 tiene un período de 3, los resultados del ejemplo anterior producirían o . En este caso, 531 es válido ya que los números son todos únicos. Otro ejemplo, 513 es un patrón no válido porque el primer paso produce o , el segundo paso produce o , y la secuencia final contiene al menos un duplicado de un número, en este caso un 2.
Un intercambio de sitios sincrónico es válido si
de lo contrario no es válido [ cita requerida ] .
Se pueden generar nuevas secuencias válidas de vanilla intercambiando elementos adyacentes de otra secuencia válida de vanilla siteswap, sumando 1 al número que se intercambia hacia la derecha y restando 1 al número que se intercambia hacia la izquierda. [11] La propiedad swap convertirá la secuencia válida con un valor arbitrario para generar la nueva secuencia válida .
Por ejemplo, la propiedad de intercambio realizada en los dos lanzamientos internos de la secuencia 4413 movería el 4 hacia la derecha restándole 1 para convertirse en 3 y movería el 1 hacia la izquierda sumándole 1 para convertirse en 2. Esto produce el nuevo patrón de intercambio de sitios válido 4233.
Una secuencia sincrónica válida se puede convertir en una secuencia asincrónica válida y viceversa utilizando la propiedad slide. Dada la secuencia sincrónica , se pueden formar dos nuevas secuencias vanilla: y , donde y La propiedad slide obtiene su nombre al deslizar los tiempos de lanzamiento de una de las manos por una unidad de tiempo para que los lanzamientos se alineen de forma asincrónica. [10] Por ejemplo, el siteswap (8x,4x)(4,4) crearía dos siteswaps asincrónicos (vanilla) utilizando la propiedad slide: 9344 y 5744.
Los sitios de intercambio pueden considerarse primarios o compuestos. [10] Un sitio de intercambio es primario si la ruta creada en su diagrama de estados no atraviesa ningún estado más de una vez. Los sitios de intercambio que no son primarios se denominan compuestos.
Un método no riguroso pero más simple para determinar si un intercambio de sitios es primo es tratar de dividirlo en cualquier patrón válido más corto que use el mismo número de propiedades. [10] Por ejemplo, 44404413 se puede dividir en 4440, 441 y 3; por lo tanto, 44404413 es un compuesto. Otro ejemplo, 441, que usa tres propiedades, es primo, ya que 1, 4, 41 y 44 no son patrones válidos de tres propiedades (ya que 1/1 ≠ 3, 4/1 ≠ 3, (4 + 1) / 2 ≠ 3 y (4 + 4) / 2 ≠ 3). A veces, este proceso no funciona; por ejemplo, 153 (mejor conocido por su rotación 531) parece que se puede dividir en 15 y 3, pero verificar que el ciclo no tiene nodos repetidos en el recorrido del gráfico indica que es primo según la definición más rigurosa.
Se ha demostrado empíricamente que los sitios de intercambio de primos más largos limitados por la altura contienen principalmente los lanzamientos y . [12] Los patrones de primos más largos con altura 22 (con un máximo de 3 bolas), para 9 bolas (con una altura máxima de 13) y para alturas y conteos de bolas intermedios, fueron enumerados por Jack Boyce en febrero de 1999 utilizando un programa llamado jdeep. [13] La lista completa de los sitios de intercambio de primos más largos generados por jdeep (con lanzamientos '0' representados por un '-' y lanzamientos de altura máxima representados por un '+') se puede encontrar aquí.
Los patrones de intercambio de sitios de vainilla pueden verse como ciertos elementos del grupo simétrico afín (el grupo de Weyl afín de tipo ). [14] Una presentación de este grupo es como el conjunto de funciones biyectivas f sobre los enteros tales que, para un n fijo : f ( i + n ) = f ( i ) + n para todos los enteros i . Si el elemento f satisface la condición adicional de que f ( i ) ≥ i para todos los i , entonces f corresponde al patrón de intercambio de sitios (repetido infinitamente) cuyo i ésimo número es f ( i ) − i : es decir, la pelota lanzada en el momento i caerá en el momento f ( i ).
Un subconjunto de estos patrones de intercambio de sitios etiquetan naturalmente los estratos en la estratificación positoide del Grassmaniano . [15]
Hay muchos programas de computadora gratuitos disponibles que simulan patrones de malabarismo.
También hay algunos juegos para jugar con Siteswap:
