Integral de volumen

Integral sobre un dominio 3-D

En matemáticas (particularmente cálculo multivariable ), una integral de volumen (∭) se refiere a una integral en un dominio tridimensional ; es decir, es un caso especial de integrales múltiples . Las integrales de volumen son especialmente importantes en física para muchas aplicaciones, por ejemplo, para calcular densidades de flujo o para calcular masa a partir de una función de densidad correspondiente.

En coordenadas

También puede significar una integral triple dentro de una región de una función y generalmente se escribe como: ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f(x,y,z),}$

$${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$$

Una integral de volumen en coordenadas cilíndricas es

$${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}$$

coordenadas esféricasconvenciones ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$$

Ejemplo

Integrar la ecuación sobre un cubo unitario produce el siguiente resultado: ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$$

Entonces el volumen del cubo unitario es 1 como se esperaba. Sin embargo, esto es bastante trivial y una integral de volumen es mucho más poderosa. Por ejemplo, si tenemos una función de densidad escalar en el cubo unitario, entonces la integral de volumen dará la masa total del cubo. Por ejemplo para la función de densidad:

$${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Teorema de divergencia
• Integral de superficie
• elemento de volumen

enlaces externos

• "Integral múltiple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Integral de volumen". MundoMatemático .