En matemáticas , la ecuación integral de Fredholm es una ecuación integral cuya solución da lugar a la teoría de Fredholm , el estudio de los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm . La ecuación integral fue estudiada por Ivar Fredholm . Un método útil para resolver este tipo de ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .
Una ecuación de Fredholm es una ecuación integral en la que el término que contiene la función nuclear (definida a continuación) tiene constantes como límites de integración. Una forma estrechamente relacionada es la ecuación integral de Volterra que tiene límites integrales variables.
Una ecuación de Fredholm no homogénea del primer tipo se escribe como
y el problema es, dada la función central continua y la función , encontrar la función .
Un caso importante de este tipo de ecuaciones es el caso en el que el núcleo es función únicamente de la diferencia de sus argumentos, es decir , y los límites de integración son ±∞, entonces el lado derecho de la ecuación se puede reescribir como una convolución. de las funciones y por lo tanto, formalmente, la solución está dada por
donde y son las transformadas de Fourier directa e inversa , respectivamente. Este caso normalmente no se incluiría bajo el paraguas de ecuaciones integrales de Fredholm, un nombre que generalmente se reserva para cuando el operador integral define un operador compacto (los operadores de convolución en grupos no compactos no son compactos, ya que, en general, el espectro del operador de convolución con contiene el rango de , que suele ser un conjunto no contable, mientras que los operadores compactos tienen espectros contables discretos).
Una ecuación de Fredholm no homogénea de segundo tipo viene dada por
Dado el núcleo y la función , el problema suele ser encontrar la función .
Un enfoque estándar para resolver esto es utilizar la iteración, lo que equivale al formalismo resolutivo ; escrita como una serie, la solución se conoce como serie de Liouville-Neumann .
La teoría general que subyace a las ecuaciones de Fredholm se conoce como teoría de Fredholm . Uno de los principales resultados es que el núcleo K produce un operador compacto . La compacidad puede demostrarse invocando la equicontinuidad . Como operador, tiene una teoría espectral que puede entenderse en términos de un espectro discreto de valores propios que tienden a 0.
Las ecuaciones de Fredholm surgen naturalmente en la teoría del procesamiento de señales , por ejemplo como el famoso problema de concentración espectral popularizado por David Slepian . Los operadores involucrados son los mismos que los filtros lineales . También suelen surgir en el modelado directo lineal y en problemas inversos . En física, la solución de tales ecuaciones integrales permite relacionar los espectros experimentales con varias distribuciones subyacentes, por ejemplo, la distribución de masa de polímeros en una masa fundida polimérica, [1] o la distribución de los tiempos de relajación en el sistema. [2] Además, las ecuaciones integrales de Fredholm también surgen en problemas de mecánica de fluidos que involucran interacciones hidrodinámicas cerca de interfaces elásticas de tamaño finito . [3] [4]
Una aplicación específica de la ecuación de Fredholm es la generación de imágenes fotorrealistas en gráficos por computadora, en las que la ecuación de Fredholm se utiliza para modelar el transporte de luz desde las fuentes de luz virtuales hasta el plano de la imagen. La ecuación de Fredholm a menudo se denomina ecuación de representación en este contexto.
 \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_ {t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1bbe95438f1b748a55546afcdb8d6d0999bc2f)
