Integral de Riemann-Liouville

En matemáticas , la integral de Riemann-Liouville asocia a una función real otra función I ^α f del mismo tipo para cada valor del parámetro α > 0. La integral es una forma de generalización de la antiderivada repetida de f en el sentido de que para valores enteros positivos de α , I ^α f es una antiderivada iterada de f de orden α . La integral de Riemann-Liouville recibe su nombre de Bernhard Riemann y Joseph Liouville , el último de los cuales fue el primero en considerar la posibilidad del cálculo fraccionario en 1832. ^{[1] [2] [3] [4]} El operador concuerda con la transformada de Euler , después de Leonhard Euler , cuando se aplica a funciones analíticas . ^[5] Fue generalizado a dimensiones arbitrarias por Marcel Riesz , quien introdujo el potencial de Riesz . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

Motivación

La integral de Riemann-Liouville se basa en la fórmula de Cauchy para la integración repetida. Para una función f continua en el intervalo [ a , x ], la fórmula de Cauchy para la integración repetida establece que

$${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Ahora, esta fórmula se puede generalizar a cualquier número real positivo reemplazando el entero positivo n por α , por lo tanto obtenemos la definición de integral fraccionaria de Riemann-Liouville mediante

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$

Definición

La integral de Riemann-Liouville se define por

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt}$

donde Γ es la función gamma y a es un punto base arbitrario pero fijo. La integral está bien definida siempre que f sea una función localmente integrable y α sea un número complejo en el semiplano Re( α ) > 0 . La dependencia del punto base a se suele suprimir y representa una libertad en constante de integración . Claramente I ¹ f es una antiderivada de f (de primer orden), y para valores enteros positivos de α , I ^α f es una antiderivada de orden α por la fórmula de Cauchy para integración repetida . Otra notación, que enfatiza el punto base, es ^[6]

${\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}f(t)(x-t)^{\alpha -1}\,dt.}$

Esto también tiene sentido si a = −∞ , con restricciones adecuadas en f .

Las relaciones fundamentales se mantienen

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

la última de las cuales es una propiedad de semigrupo . ^[1] Estas propiedades hacen posible no sólo la definición de integración fraccionaria, sino también de diferenciación fraccionaria, tomando suficientes derivadas de I ^α f .

Propiedades

Fijemos un intervalo acotado ( a , b ) . El operador I ^α asocia a cada función integrable f en ( a , b ) la función I ^α f en ( a , b ) que también es integrable por el teorema de Fubini . Así, I ^α define un operador lineal en L ¹ ( a , b ) :

${\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}$

El teorema de Fubini también muestra que este operador es continuo con respecto a la estructura del espacio de Banach en L ¹ , y que se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Aquí ‖ · ‖ ₁ denota la norma en L ¹ ( a , b ) .

De manera más general, por la desigualdad de Hölder , se sigue que si f ∈ L ^p ( a , b ) , entonces I ^α f ∈ L ^p ( a , b ) también, y se cumple la desigualdad análoga

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}$

donde ‖ · ‖ _p es la norma L p en el intervalo ( a , b ) . Por lo tanto, tenemos un operador lineal acotado I ^α  : L ^p ( a , b ) → L ^p ( a , b ) . Además, I ^α f → f en el sentido L ^p cuando α → 0 a lo largo del eje real. Es decir

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

para todo p ≥ 1 . Además, al estimar la función máxima de I , se puede demostrar que el límite I ^α f → f se cumple puntualmente en casi todas partes .

El operador I ^α está bien definido en el conjunto de funciones localmente integrables en toda la recta real . Define una transformación acotada en cualquiera de los espacios de Banach de funciones de tipo exponencial que consisten en funciones localmente integrables para las cuales la norma ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt),}$

${\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

es finito. Para f ∈ X _σ , la transformada de Laplace de I ^α f toma la forma particularmente simple

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}$

para Re( s ) > σ . Aquí F ( s ) denota la transformada de Laplace de f , y esta propiedad expresa que I ^α es un multiplicador de Fourier .

Derivadas fraccionarias

También se pueden definir derivadas de orden fraccionario de f mediante

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}$

donde ⌈ · ⌉ denota la función techo . También se obtiene una interpolación diferencial integral entre diferenciación e integración definiendo

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}$

Caputo introdujo una derivada fraccionaria alternativa en 1967, ^[7] y produce una derivada que tiene propiedades diferentes: produce cero a partir de funciones constantes y, más importante aún, los términos de valor inicial de la transformada de Laplace se expresan por medio de los valores de esa función y de su derivada de orden entero en lugar de las derivadas de orden fraccionario como en la derivada de Riemann-Liouville. ^[8] La derivada fraccionaria de Caputo con punto base x , es entonces:

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}f'(y-u)(u-x)^{-\alpha }du.}$

Otra representación es:

${\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}$

Derivada fraccionaria de una función de potencia básica

La semiderivada (curva violeta) de la función f ( x ) = x (curva azul) junto con la primera derivada (curva roja).

La animación muestra al operador derivada oscilando entre la antiderivada ( α = −1 : y = ⁠1/2⁠ x ² ) y la derivada ( α = +1 : y = 1 ) de la función potencia simple y = x continuamente.

Supongamos que f ( x ) es un monomio de la forma

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

La primera derivada es como siempre

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Repitiendo esto obtenemos el resultado más general de que

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}$

lo cual, después de reemplazar los factoriales por la función gamma , conduce a

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\quad \ k>0.}$

Para k = 1 y a = ⁠1/2⁠ , obtenemos la semiderivada de la funcióncomo ${\displaystyle x\mapsto x}$

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}$

Para demostrar que ésta es, de hecho, la "semiderivada" (donde H ² f ( x ) = Df ( x ) ), repetimos el proceso para obtener:

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}$

(porque y Γ(1) = 1 ) que es de hecho el resultado esperado de ${\textstyle \Gamma \!\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)\!x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}$

Para una potencia entera negativa k , 1/ es 0, por lo que es conveniente utilizar la siguiente relación: ^[9] ${\textstyle \Gamma }$

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}$

Esta extensión del operador diferencial anterior no necesita limitarse únicamente a potencias reales; también se aplica a potencias complejas. Por ejemplo, la derivada (1 + i ) -ésima de la derivada (1 − i ) -ésima produce la segunda derivada. Además, si se establecen valores negativos para a, se obtienen integrales.

Para una función general f ( x ) y 0 < α < 1 , la derivada fraccionaria completa es

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}$

Para un valor de α arbitrario , dado que la función gamma es infinita para los números enteros negativos (reales), es necesario aplicar la derivada fraccionaria después de que se haya realizado la derivada entera. Por ejemplo,

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Transformada de Laplace

También podemos llegar a la cuestión a través de la transformada de Laplace . Sabiendo que

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

y así sucesivamente, afirmamos

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$.

Por ejemplo,

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$

como se esperaba. De hecho, dada la regla de convolución

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$

y abreviando p ( x ) = x ^{α − 1} para mayor claridad, encontramos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$

que es lo que Cauchy nos dio arriba.

Las transformadas de Laplace "trabajan" en relativamente pocas funciones, pero a menudo son útiles para resolver ecuaciones diferenciales fraccionarias.

Véase también

• Derivada fraccionaria de Caputo

Notas

1. Lizorkin 2001
2. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genere de calcul pour résoudre ces questions", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 1–69.
3. Liouville, Joseph (1832), "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques", Journal de l'École Polytechnique , 13 , París: 71–162.
4. Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1896) [1847], "Versuch einer allgemeinen Auffassung der integración und diferenciación", en Weber, H. (ed.), Gesammelte Mathematische Werke , Leipzig{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
5. Brychkov y Prudnikov 2001
6. Miller y Ross 1993, pág. 21
7. Caputo 1967
8. Loverro 2004
9. Bologna, Mauro, Breve introducción al cálculo fraccionario (PDF) , Universidad de Tarapacá, Arica, Chile, archivado desde el original (PDF) el 2016-10-17 , consultado el 2014-04-06

Referencias

• Brychkov, Yu.A.; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Transformación de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Caputo, Michele (1967), "Modelo lineal de disipación cuyo Q es casi independiente de la frecuencia. II", Geophysical Journal International , 13 (5): 529–539, Bibcode :1967GeoJ...13..529C, doi : 10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Lizorkin, PI (2001) [1994], "Integración y diferenciación fraccionaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Loverro, Adam (8 de mayo de 2004), Cálculo fraccional: historia, definiciones y aplicaciones para el ingeniero (PDF) , Notre Dame, IN: University of Notre Dame, archivado desde el original (PDF) el 29 de octubre de 2005
• Miller, Kenneth S.; Ross, Bertram (1993), Introducción al cálculo fraccionario y ecuaciones diferenciales fraccionarias , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 (1): 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN  0001-5962, SEÑOR  0030102.

Enlaces externos

• Alan Beardon (2000). "Cálculo fraccional II". Universidad de Cambridge.
• Alan Beardon (2000). "Cálculo fraccional III". Universidad de Cambridge.