Derivada fraccionaria de Caputo

Generalización en cálculo fraccionario

En matemáticas , la derivada fraccionaria de Caputo , también llamada derivada fraccionaria de tipo Caputo, es una generalización de las derivadas para órdenes no enteros que lleva el nombre de Michele Caputo. Caputo definió por primera vez esta forma de derivada fraccionaria en 1967. ^[1]

Motivación

La derivada fraccionaria de Caputo se motiva a partir de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville . Sea continua en , entonces la integral fraccionaria de Riemann-Liouville establece que ${\textstyle f}$ ${\displaystyle \left(0,\,\infty \right)}$ ${\textstyle {^{\text{RL}}\operatorname {I} }}$

$${\displaystyle {_{0}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(-\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{1-\alpha }}}\,\operatorname {d} t}$$

¿Dónde está la función Gamma ? ${\textstyle \Gamma \left(\cdot \right)}$

Definamos , digamos que y que se aplica. Si entonces podríamos decir . Por lo tanto, si también es , entonces ${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }:={\frac {\operatorname {d} ^{\alpha }}{\operatorname {d} x^{\alpha }}}}$ ${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }\operatorname {D} _{x}^{\beta }=\operatorname {D} _{x}^{\alpha +\beta }}$ ${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }={^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{-\alpha }}}$ ${\textstyle \alpha =m+z\in \mathbb {R} \wedge m\in \mathbb {N} _{0}\wedge 0<z<1}$ ${\textstyle \operatorname {D} _{x}^{\alpha }=\operatorname {D} _{x}^{m+z}=\operatorname {D} _{x}^{z+m}=\operatorname {D} _{x}^{z-1+1+m}=\operatorname {D} _{x}^{z-1}\operatorname {D} _{x}^{1+m}={^{\text{RL}}\operatorname {I} }_{x}^{1-z}\operatorname {D} _{x}^{1+m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{m}\left(0,\,\infty \right)}$

$${\displaystyle {\operatorname {D} _{x}^{m+z}}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(1-z\right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(1+m\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{z}}}\,\operatorname {d} t.}$$

Esto se conoce como la derivada fraccionaria de tipo Caputo, a menudo escrita como . ${\textstyle {^{\text{C}}\operatorname {D} }_{x}^{\alpha }}$

Definición

La primera definición de la derivada fraccionaria de tipo Caputo fue dada por Caputo como:

$${\displaystyle {^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{m+z}}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(1-z\right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(m+1\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{z}}}\,\operatorname {d} t}$$

donde y . ^[2] ${\displaystyle C^{m}\left(0,\,\infty \right)}$ ${\textstyle m\in \mathbb {N} _{0}\wedge 0<z<1}$

Una definición equivalente popular es:

$${\displaystyle {^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(\left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t}$$

donde y es la función techo . Esto se puede derivar sustituyendo de modo que se aplicaría y sigue. ^[3] ${\textstyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}\setminus \mathbb {N} }$ ${\textstyle \left\lceil \cdot \right\rceil }$ ${\textstyle \alpha =m+z}$ ${\textstyle \left\lceil \alpha \right\rceil =m+1}$ ${\textstyle \left\lceil \alpha \right\rceil +z=\alpha +1}$

Otra definición equivalente popular viene dada por:

$${\displaystyle {^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(n-\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{0}^{x}{\frac {f^{\left(n\right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-n}}}\,\operatorname {d} t}$$

dónde . ${\textstyle n-1<\alpha <n\in \mathbb {N} .}$

El problema con estas definiciones es que solo permiten argumentos en . Esto se puede solucionar reemplazando el límite integral inferior con : . El nuevo dominio es . ^[4] ${\textstyle \left(0,\,\infty \right)}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {f^{\left(\left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left(t\right)}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t}$ ${\textstyle \left(a,\,\infty \right)}$

Propiedades y teoremas

Propiedades básicas y teoremas

Algunas propiedades básicas son: ^[5]

No conmutación

La ley del índice no siempre cumple la propiedad de conmutación:

$${\displaystyle \operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\beta }=\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha +\beta }\neq \operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\beta }\operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }}$$

dónde . ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}\setminus \mathbb {N} \wedge \beta \in \mathbb {N} }$

Regla de Leibniz fraccionaria

La regla de Leibniz para la derivada fraccionaria de Caputo está dada por:

$${\displaystyle \operatorname {_{a}^{\text{C}}D} _{x}^{\alpha }\left[g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left[{\binom {a}{k}}\cdot g^{\left(k\right)}\left(x\right)\cdot \operatorname {_{a}^{\text{RL}}D} _{x}^{\alpha -k}\left[h\left(x\right)\right]\right]-{\frac {\left(x-a\right)^{-\alpha }}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}}\cdot g\left(a\right)\cdot h\left(a\right)}$$

donde es el coeficiente binomial. ^{[6] [7]} ${\textstyle {\binom {a}{b}}={\frac {\Gamma \left(a+1\right)}{\Gamma \left(b+1\right)\cdot \Gamma \left(a-b+1\right)}}}$

Relación con otros operadores diferenciales fraccionarios

La derivada fraccionaria de tipo Caputo está estrechamente relacionada con la integral fraccionaria de Riemann-Liouville a través de su definición:

$${\displaystyle {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[f\left(x\right)\right]\right]}$$

Además, se aplica la siguiente relación:

$${\displaystyle {_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]-\sum \limits _{k=0}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[{\frac {x^{k-\alpha }}{\Gamma \left(k-\alpha +1\right)}}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)\right]}$$

donde es la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville. ${\displaystyle {_{a}^{\text{RL}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}}$

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de la derivada fraccionaria de tipo Caputo viene dada por:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{x}\left\{{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[f\left(x\right)\right]\right\}\left(s\right)=s^{\alpha }\cdot F\left(s\right)-\sum \limits _{k=0}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[s^{\alpha -k-1}\cdot f^{\left(k\right)}\left(0\right)\right]}$$

donde . ^[8] ${\textstyle {\mathcal {L}}_{x}\left\{f\left(x\right)\right\}\left(s\right)=F\left(s\right)}$

Derivada fraccionaria de Caputo de algunas funciones

La derivada fraccionaria de Caputo de una constante viene dada por: ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[c\right]&={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {\operatorname {D} _{t}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[c\right]}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t={\frac {1}{\Gamma \left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha \right)}}\cdot \int \limits _{a}^{x}{\frac {0}{\left(x-t\right)^{\alpha +1-\left\lceil \alpha \right\rceil }}}\,\operatorname {d} t\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[c\right]&=0\end{aligned}}}$$

La derivada fraccionaria de Caputo de una función potencia está dada por: ^[9] ${\displaystyle x^{b}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[x^{b}\right]&={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[x^{b}\right]\right]={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-\left\lceil \alpha \right\rceil +1\right)}}\cdot {_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[x^{b-\left\lceil \alpha \right\rceil }\right]\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[x^{b}\right]&={\begin{cases}{\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-\alpha +1\right)}}\left(x^{b-\alpha }-a^{b-\alpha }\right),\,&{\text{for }}\left\lceil \alpha \right\rceil -1<b\wedge b\in \mathbb {R} \\0,\,&{\text{for }}\left\lceil \alpha \right\rceil -1\geq b\wedge b\in \mathbb {N} \\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

La derivada fraccionaria de Caputo de una función exponencial viene dada por: ${\displaystyle e^{a\cdot x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]&={_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[\operatorname {D} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\left[e^{b\cdot x}\right]\right]=b^{\left\lceil \alpha \right\rceil }\cdot {_{a}^{\text{RL}}\operatorname {I} _{x}^{\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]\\{_{a}^{\text{C}}\operatorname {D} _{x}^{\alpha }}\left[e^{b\cdot x}\right]&=b^{\alpha }\cdot \left(E_{x}\left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha ,\,b\right)-E_{a}\left(\left\lceil \alpha \right\rceil -\alpha ,\,b\right)\right)\\\end{aligned}}}$$

donde es la función y es la función gamma incompleta inferior . ^[10] ${\textstyle E_{x}\left(\nu ,\,a\right)={\frac {a^{-\nu }\cdot e^{a\cdot x}\cdot \gamma \left(\nu ,\,a\cdot x\right)}{\Gamma \left(\nu \right)}}}$ ${\textstyle \operatorname {E} _{t}}$ ${\textstyle \gamma \left(a,\,b\right)}$

Referencias

1. Diethelm, Kai (2019). "Teoría general de ecuaciones diferenciales fraccionarias de tipo Caputo". Ecuaciones diferenciales fraccionarias . págs. 1–20. doi :10.1515/9783110571660-001. ISBN 978-3-11-057166-0. Consultado el 10 de agosto de 2023 .
2. Caputo, Michele (1967). "Modelos lineales de disipación cuyo Q es casi independiente de la frecuencia-II". ResearchGate . 13 (5): 530. Bibcode :1967GeoJ...13..529C. doi : 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x .
3. Lazarević, Mihailo; Rapaić, Milan Rade; Šekara, Tomislav (2014). "Introducción al cálculo fraccionario con breve contexto histórico". Puerta de investigación : 8.
4. Dimitrov, Yuri; Georgiev, Slavi; Todorov, Venelin (2023). "Aproximación de la derivada fraccionaria de Caputo y soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales fraccionarias". Fractal y fraccionario . 7 (10): 750. doi : 10.3390/fractalfract7100750 .
5. Sikora, Beata (2023). "Observaciones sobre la derivada fraccionaria de Caputo" (PDF) . Matematyka I Informatyka Na Uczelniach Technicznych (5): 78–79.
6. Huseynov, Ismail; Ahmadova, Arzu; Mahmudov, Nazim (2020). "Reglas integrales fraccionarias de Leibniz para derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville y Caputo y sus aplicaciones". ResearchGate : 1. arXiv : 2012.11360 .
7. Weisstein, Eric W. (2024). "Coeficiente binomial". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de mayo de 2024 .
8. Sontakke, Bhausaheb Rajba; Shaikh, Amjad (2015). "Propiedades del operador de Caputo y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales fraccionarias lineales" (PDF) . Revista de investigación y aplicaciones en ingeniería . 5 (5): 23–24. ISSN  2248-9622.
9. Weisstein, Eric W. "Derivada fraccionaria". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de mayo de 2024 .
10. Weisstein, Eric W. (2024). "E_t-Function". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de mayo de 2024 .

Lectura adicional

• Ricardo Almeida, A Caputo derivada fraccionaria de una función con respecto a otra función