integrador geométrico

Campo matemático de las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas.

En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas , un integrador geométrico es un método numérico que preserva las propiedades geométricas del flujo exacto de una ecuación diferencial.

Ejemplo de péndulo

Podemos motivar el estudio de integradores geométricos considerando el movimiento de un péndulo .

Supongamos que tenemos un péndulo cuya pesa tiene masa y cuya varilla no tiene masa ni longitud . Considere que la aceleración debida a la gravedad es . Denotemos por el desplazamiento angular de la varilla respecto de la vertical y por el momento del péndulo. El hamiltoniano del sistema, la suma de sus energías cinética y potencial , es ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$

${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$

lo que da las ecuaciones de Hamilton

${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\,}$

Es natural tomar como configuración espacial de todo el círculo unitario , de manera que recaiga sobre el cilindro . Sin embargo, tomaremos , simplemente porque -space es más fácil de trazar. Definir y . Experimentemos usando algunos métodos numéricos simples para integrar este sistema. Como de costumbre, seleccionamos un tamaño de paso constante, y para un número entero arbitrario no negativo escribimos . Utilizamos los siguientes métodos. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$( Euler explícito ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$( Euler implícito ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$( Euler simpléctico ),

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$(regla implícita del punto medio).

(Tenga en cuenta que el método simpléctico de Euler trata q mediante el método explícito y el implícito de Euler). ${\displaystyle p}$

La observación de que es constante a lo largo de las curvas solución de las ecuaciones de Hamilton nos permite describir las trayectorias exactas del sistema: son las curvas de nivel de . Trazamos, en , las trayectorias exactas y las soluciones numéricas del sistema. Para los métodos explícitos e implícitos de Euler tomamos , y z ₀  = (0,5, 0) y (1,5, 0) respectivamente; para los otros dos métodos tomamos , y z ₀  = (0, 0,7), (0, 1,4) y (0, 2,1). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle h=0.2}$ ${\displaystyle h=0.3}$

Péndulo simple: trayectorias

El método de Euler explícito (o implícito) surge en espiral desde (o hacia) el origen. Los otros dos métodos muestran el comportamiento cualitativo correcto, con la regla implícita del punto medio concordando con la solución exacta en mayor grado que el método simpléctico de Euler.

Recuerde que el flujo exacto de un sistema hamiltoniano con un grado de libertad preserva el área, en el sentido de que ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1}$para todos . ${\displaystyle t}$

Esta fórmula se verifica fácilmente a mano. Para nuestro ejemplo del péndulo vemos que el flujo numérico del método explícito de Euler no preserva el área; verbigracia., ${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$

Se puede realizar un cálculo similar para el método implícito de Euler, donde el determinante es

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$

Sin embargo, el método simpléctico de Euler preserva el área:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$

de este modo . La regla implícita del punto medio tiene propiedades geométricas similares. ${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$

Para resumir: el ejemplo del péndulo muestra que, además de que los métodos explícitos e implícitos de Euler no son buenas opciones de método para resolver el problema, el método simpléctico de Euler y la regla implícita del punto medio concuerdan bien con el flujo exacto del sistema, concordando la regla del punto medio. más de cerca. Además, estos dos últimos métodos preservan el área, al igual que el flujo exacto; son dos ejemplos de integradores geométricos (de hecho, simplécticos ).

Método de marco móvil

El método del marco móvil se puede utilizar para construir métodos numéricos que preserven las simetrías de Lie de la EDO. Los métodos existentes, como Runge-Kutta, se pueden modificar utilizando el método de marco móvil para producir versiones invariantes. ^[1]

Ver también

• Deriva de energía
• Mímesis (matemáticas)

Referencias

1. Pilwon Kim (2006), "Invariantización de esquemas numéricos mediante marcos móviles"

Lectura adicional

• Hairer, Ernst; Lubich, cristiano; Wanner, Gerhard (2002). Integración numérica geométrica: algoritmos que preservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2.
• Leimkühler, Ben; Reich, Sebastián (2005). Simulando la dinámica hamiltoniana . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-77290-7.
• Budd, CJ; Piggott, Doctor en Medicina (2003). "Integración Geométrica y sus Aplicaciones". Manual de análisis numérico. vol. 11. Elsevier. págs. 35-139. doi :10.1016/S1570-8659(02)11002-7. ISBN 9780444512475.
• Kim, Pilwon (2007). "Invariantización de esquemas numéricos mediante marcos móviles". BIT Matemáticas Numéricas. vol. 47, núm. 3. Saltador. págs. 525–546. doi :10.1007/s10543-007-0138-8.