Método de Euler inverso

Método numérico para ecuaciones diferenciales ordinarias

En el análisis numérico y la computación científica , el método de Euler inverso (o método de Euler implícito ) es uno de los métodos numéricos más básicos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias . Es similar al método de Euler (estándar) , pero se diferencia en que es un método implícito . El método de Euler inverso tiene un error de orden uno en el tiempo.

Descripción

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$

con valor inicial Aquí se conocen la función y los datos iniciales y ; la función depende de la variable real y es desconocida. Un método numérico produce una secuencia tal que se aproxima a , donde se denomina tamaño del paso. ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$ ${\displaystyle y_{k}}$ ${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$ ${\displaystyle h}$

El método de Euler hacia atrás calcula las aproximaciones utilizando

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$ ^[1]

Esto se diferencia del método de Euler (hacia adelante) en que el método hacia adelante utiliza en lugar de . ${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$ ${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$

El método de Euler inverso es un método implícito: la nueva aproximación aparece en ambos lados de la ecuación y, por lo tanto, el método debe resolver una ecuación algebraica para la incógnita . Para problemas no rígidos , esto se puede hacer con iteración de punto fijo : ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$

Si esta secuencia converge (dentro de una tolerancia dada), entonces el método toma su límite como la nueva aproximación . ^[2] ${\displaystyle y_{k+1}}$

Alternativamente, se puede utilizar (alguna modificación de) el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación algebraica.

Derivación

Integrando la ecuación diferencial de a obtenemos ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$

Ahora aproxima la integral de la derecha mediante el método del rectángulo de la derecha (con un rectángulo):

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$

Finalmente, se utiliza lo que se supone que sirve de aproximación y se obtiene la fórmula para el método de Euler hacia atrás. ^[3] ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n})}$

El mismo razonamiento conduce al método de Euler (estándar) si se utiliza la regla del rectángulo de la izquierda en lugar de la de la derecha.

Análisis

La región rosada fuera del disco muestra la región de estabilidad del método de Euler hacia atrás.

El error de truncamiento local (definido como el error cometido en un paso) del método de Euler inverso es , utilizando la notación O mayúscula . El error en un momento específico es . Significa que este método tiene orden uno . En general, se dice que un método con LTE (error de truncamiento local) es de k- ésimo orden. ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle O(h^{k+1})}$

La región de estabilidad absoluta para el método de Euler hacia atrás es el complemento en el plano complejo del disco con radio 1 centrado en 1, representado en la figura. ^[4] Esto incluye toda la mitad izquierda del plano complejo, lo que lo hace adecuado para la solución de ecuaciones rígidas . ^[5] De hecho, el método de Euler hacia atrás es incluso L-estable .

La región para un sistema estable discreto por el método de Euler hacia atrás es un círculo con radio 0,5 que se encuentra en (0,5, 0) en el plano z. ^[6]

Ampliaciones y modificaciones

El método de Euler inverso es una variante del método de Euler (directo) . Otras variantes son el método de Euler semiimplícito y el método de Euler exponencial .

El método de Euler hacia atrás puede verse como un método de Runge-Kutta con una etapa, descrito por la tabla de Butcher:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

El método también puede considerarse como un método lineal de varios pasos con un solo paso. Es el primer método de la familia de métodos de Adams-Moulton y también de la familia de fórmulas de diferenciación hacia atrás .

Véase también

• Método de Crank-Nicolson

Notas

1. Carnicero 2003, pág. 57
2. Carnicero 2003, pág. 57
3. Carnicero 2003, pág. 57
4. Carnicero 2003, pág. 70
5. Carnicero 2003, pág. 71
6. Wai-Kai Chen, Ed., Circuitos analógicos y VLSI The Circuits and Filters Handbook, 3.ª ed. Chicago, EE. UU.: CRC Press, 2009.

Referencias

• Butcher, John C. (2003), Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3.