Se dice que un objeto en una categoría es inyectivo si para cada monomorfismo y cada morfismo existe un morfismo que se extiende a , es decir, tal que . [1]
Es decir, cada morfismo influye en cada monomorfismo .
No es necesario que el morfismo en la definición anterior esté determinado únicamente por y .
La noción de inyectividad se formuló por primera vez para las categorías abelianas y ésta sigue siendo una de sus principales áreas de aplicación. Cuando es una categoría abeliana, un objeto Q de es inyectivo si y sólo si su funtor hom Hom C (–, Q ) es exacto .
Se dice que la categoría tiene suficientes inyectivos si para cada objeto X de , existe un monomorfismo de X a un objeto inyectivo.
Un monomorfismo g in se llama monomorfismo esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg es un monomorfismo solo si f es un monomorfismo.
Si g es un monomorfismo esencial con dominio X y un codominio inyectivo G , entonces G se llama casco inyectivo de X. La carcasa inyectiva está entonces determinada de forma única por X hasta un isomorfismo no canónico. [1]
Si una categoría abeliana tiene suficientes inyectivos, podemos formar resoluciones inyectivas , es decir, para un objeto dado X podemos formar una secuencia larga y exacta.
^ abc Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). "Sec. 9. Objetos inyectivos e incrustaciones esenciales". Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías, No. 17 (2006) págs. 1-507. orig. Juan Wiley. págs. 147-155.
Referencias
Jiri Adamek, Horst Herrlich, George Strecker. Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos, Capítulo 9, Objetos inyectivos e incrustaciones esenciales, republicado en Reimpresiones y aplicaciones de categorías, No. 17 (2006) págs. 1-507, Wiley (1990).
J. Rosicky, Inyectividad y categorías accesibles.
F. Cagliari y S. Montovani, T 0 -cascos de reflexión e inyección de espacios de fibras