Partículas indistinguibles

Concepto de partículas perfectamente sustituibles en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las partículas indistinguibles (también llamadas partículas idénticas o indiscernibles ) son partículas que no se pueden distinguir entre sí, ni siquiera en principio. Las especies de partículas idénticas incluyen, pero no se limitan a, partículas elementales (como electrones ), partículas subatómicas compuestas (como núcleos atómicos ), así como átomos y moléculas . Las cuasipartículas también se comportan de esta manera. Aunque todas las partículas indistinguibles conocidas solo existen a escala cuántica, no existe una lista exhaustiva de todos los tipos posibles de partículas ni un límite claro de aplicabilidad, como se explora en la estadística cuántica . Fueron discutidas por primera vez por Werner Heisenberg y Paul Dirac en 1926. ^[1]

Existen dos categorías principales de partículas idénticas: los bosones , que pueden compartir estados cuánticos , y los fermiones , que no pueden (como se describe en el principio de exclusión de Pauli ). Ejemplos de bosones son los fotones , los gluones , los fonones , los núcleos de helio-4 y todos los mesones . Ejemplos de fermiones son los electrones , los neutrinos , los quarks , los protones , los neutrones y los núcleos de helio-3 .

El hecho de que las partículas puedan ser idénticas tiene consecuencias importantes en la mecánica estadística , donde los cálculos se basan en argumentos probabilísticos , que son sensibles a si los objetos estudiados son o no idénticos. Como resultado, las partículas idénticas muestran un comportamiento estadístico marcadamente diferente al de las partículas distinguibles. Por ejemplo, la indistinguibilidad de las partículas se ha propuesto como una solución a la paradoja de mezcla de Gibbs .

Distinguir entre partículas

Existen dos métodos para distinguir entre partículas. El primer método se basa en las diferencias en las propiedades físicas intrínsecas de las partículas, como la masa , la carga eléctrica y el espín . Si existen diferencias, es posible distinguir entre las partículas midiendo las propiedades relevantes. Sin embargo, hasta donde se puede determinar, las partículas microscópicas de la misma especie tienen propiedades físicas completamente equivalentes. ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, cada electrón tiene la misma carga eléctrica .

Incluso si las partículas tienen propiedades físicas equivalentes, queda un segundo método para distinguirlas, que consiste en seguir la trayectoria de cada una de ellas. Mientras la posición de cada partícula pueda medirse con infinita precisión (incluso cuando colisionen), no habrá ninguna ambigüedad sobre cuál partícula es cuál.

El problema con el segundo enfoque es que contradice los principios de la mecánica cuántica . Según la teoría cuántica, las partículas no poseen posiciones definidas durante los períodos entre mediciones, sino que están regidas por funciones de onda que dan la probabilidad de encontrar una partícula en cada posición. A medida que pasa el tiempo, las funciones de onda tienden a dispersarse y superponerse. Una vez que esto sucede, se vuelve imposible determinar, en una medición posterior, cuál de las posiciones de las partículas corresponde a las medidas anteriormente. Se dice entonces que las partículas son indistinguibles.

Descripción mecánica cuántica

Estados simétricos y antisimétricos

Función de onda antisimétrica para un estado de 2 partículas (fermiónico) en un potencial de pozo cuadrado infinito

Función de onda simétrica para un estado de 2 partículas (bosónico) en un potencial de pozo cuadrado infinito

Lo que sigue es un ejemplo para concretar la discusión anterior, utilizando el formalismo desarrollado en el artículo sobre la formulación matemática de la mecánica cuántica .

Sea n un conjunto completo de números cuánticos (discretos) para especificar estados de partículas individuales (por ejemplo, para el problema de la partícula en una caja , tome n como el vector de onda cuantificado de la función de onda). Para simplificar, considere un sistema compuesto por dos partículas que no interactúan entre sí. Suponga que una partícula está en el estado n ₁ y la otra en el estado n _2. El estado cuántico del sistema se denota por la expresión

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

donde el orden del producto tensorial importa (si , entonces la partícula 1 ocupa el estado n ₂ mientras que la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ). Esta es la forma canónica de construir una base para un espacio de producto tensorial del sistema combinado a partir de los espacios individuales. Esta expresión es válida para partículas distinguibles, sin embargo, no es apropiada para partículas indistinguibles ya que y como resultado del intercambio las partículas son generalmente estados diferentes. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• "la partícula 1 ocupa el estado n ₁ y la partícula 2 ocupa el estado n ₂ " ≠ "la partícula 1 ocupa el estado n ₂ y la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ".

Dos estados son físicamente equivalentes sólo si difieren como máximo en un factor de fase complejo. Para dos partículas indistinguibles, un estado antes del intercambio de partículas debe ser físicamente equivalente al estado después del intercambio, por lo que estos dos estados difieren como máximo en un factor de fase complejo. Este hecho sugiere que un estado para dos partículas indistinguibles (y que no interactúan) viene dado por las dos posibilidades siguientes: ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Los estados en los que se da una suma se conocen como simétricos , mientras que los estados en los que se da la diferencia se denominan antisimétricos . De manera más completa, los estados simétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Mientras que los estados antisimétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Nótese que si n ₁ y n ₂ son iguales, la expresión antisimétrica da cero, que no puede ser un vector de estado ya que no puede normalizarse. En otras palabras, más de una partícula idéntica no puede ocupar un estado antisimétrico (un estado antisimétrico puede ser ocupado solo por una partícula). Esto se conoce como el principio de exclusión de Pauli , y es la razón fundamental detrás de las propiedades químicas de los átomos y la estabilidad de la materia .

Simetría de intercambio

La importancia de los estados simétricos y antisimétricos se basa, en última instancia, en evidencia empírica. Parece ser un hecho de la naturaleza que partículas idénticas no ocupan estados de simetría mixta, como

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

En realidad, hay una excepción a esta regla, que se analizará más adelante. Por otra parte, se puede demostrar que los estados simétricos y antisimétricos son, en cierto sentido, especiales, examinando una simetría particular de los estados de múltiples partículas conocida como simetría de intercambio .

Definamos un operador lineal P , llamado operador de intercambio. Cuando actúa sobre un producto tensorial de dos vectores de estado, intercambia los valores de los vectores de estado:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P es hermítico y unitario . Debido a que es unitario, puede considerarse un operador de simetría . Esta simetría puede describirse como la simetría bajo el intercambio de etiquetas asociadas a las partículas (es decir, a los espacios de Hilbert de una sola partícula).

Claramente, (el operador identidad), por lo que los valores propios de P son +1 y -1. Los vectores propios correspondientes son los estados simétrico y antisimétrico: ${\displaystyle P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

En otras palabras, los estados simétricos y antisimétricos permanecen esencialmente inalterados ante el intercambio de etiquetas de partículas: sólo se multiplican por un factor de +1 o -1, en lugar de ser "rotados" a algún otro lugar en el espacio de Hilbert. Esto indica que las etiquetas de partículas no tienen significado físico, de acuerdo con la discusión anterior sobre la indistinguibilidad.

Cabe recordar que P es hermítico. Por lo tanto, puede considerarse como un observable del sistema, lo que significa que, en principio, se puede realizar una medición para averiguar si un estado es simétrico o antisimétrico. Además, la equivalencia de las partículas indica que el hamiltoniano puede escribirse en forma simétrica, como

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Es posible demostrar que tales hamiltonianos satisfacen la relación de conmutación

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

Según la ecuación de Heisenberg , esto significa que el valor de P es una constante de movimiento. Si el estado cuántico es inicialmente simétrico (antisimétrico), seguirá siendo simétrico (antisimétrico) a medida que el sistema evolucione. Matemáticamente, esto dice que el vector de estado está confinado a uno de los dos espacios propios de P y no se le permite abarcar todo el espacio de Hilbert. Por lo tanto, ese espacio propio también podría tratarse como el espacio de Hilbert real del sistema. Esta es la idea detrás de la definición de espacio de Fock .

Fermiones y bosones

La elección de simetría o antisimetría está determinada por la especie de partícula. Por ejemplo, siempre se deben utilizar estados simétricos al describir fotones o átomos de helio-4 , y estados antisimétricos al describir electrones o protones .

Las partículas que presentan estados simétricos se denominan bosones . La naturaleza de los estados simétricos tiene consecuencias importantes para las propiedades estadísticas de los sistemas compuestos por muchos bosones idénticos. Estas propiedades estadísticas se describen como estadísticas de Bose-Einstein .

Las partículas que presentan estados antisimétricos se denominan fermiones . La antisimetría da lugar al principio de exclusión de Pauli , que prohíbe que fermiones idénticos compartan el mismo estado cuántico. Los sistemas de muchos fermiones idénticos se describen mediante las estadísticas de Fermi-Dirac .

Las paraestadísticas son matemáticamente posibles, pero no existen ejemplos en la naturaleza. ^[5]

En ciertos sistemas bidimensionales, puede darse una simetría mixta. Estas partículas exóticas se conocen como aniones y obedecen a la estadística fraccionaria . La evidencia experimental de la existencia de aniones existe en el efecto Hall cuántico fraccionario , un fenómeno observado en los gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión de los MOSFET . Existe otro tipo de estadística, conocida como estadística de trenzado , que se asocia a partículas conocidas como plektones .

El teorema de estadística de espín relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín . Afirma que los bosones tienen espín entero y los fermiones tienen espín semientero. Los anyones poseen espín fraccionario.

nortePartículas

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de N partículas. Supongamos que hay N partículas con números cuánticos n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Si las partículas son bosones, ocupan un estado totalmente simétrico , que es simétrico bajo el intercambio de dos etiquetas de partículas cualesquiera :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Aquí, la suma se toma sobre todos los estados diferentes bajo permutaciones p que actúan sobre N elementos. La raíz cuadrada que queda de la suma es una constante normalizadora . La cantidad m _n representa el número de veces que cada uno de los estados de partícula única n aparece en el estado de N partículas. Nótese que Σ _n m _n = N .

En la misma línea, los fermiones ocupan estados totalmente antisimétricos :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Aquí, sgn( p ) es el signo de cada permutación (es decir, si está compuesta por un número par de transposiciones y si es impar). Nótese que no hay término, porque cada estado de partícula individual puede aparecer solo una vez en un estado fermiónico. De lo contrario, la suma sería nuevamente cero debido a la antisimetría, lo que representaría un estado físicamente imposible. Este es el principio de exclusión de Pauli para muchas partículas. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

Estos estados se han normalizado de manera que

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Medición

Supongamos que hay un sistema de N bosones (fermiones) en el estado simétrico (antisimétrico).

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

y se realiza una medición en algún otro conjunto de observables discretos, m . En general, esto produce algún resultado m ₁ para una partícula, m ₂ para otra partícula, y así sucesivamente. Si las partículas son bosones (fermiones), el estado después de la medición debe permanecer simétrico (antisimétrico), es decir

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

La probabilidad de obtener un resultado particular para la medición m es

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

lo que verifica que la probabilidad total es 1. La suma debe restringirse a valores ordenados de m ₁ , ..., m _N para garantizar que cada estado multipartícula no se cuente más de una vez.

Representación de la función de onda

Hasta ahora, el análisis se ha centrado únicamente en observables discretos. Puede extenderse a observables continuos, como la posición  x .

Recordemos que un estado propio de un observable continuo representa un rango infinitesimal de valores del observable, no un valor único como sucede con los observables discretos. Por ejemplo, si una partícula está en un estado | ψ ⟩, la probabilidad de encontrarla en una región de volumen d ³ x que rodee alguna posición x es

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

Como resultado, los estados propios continuos | x ⟩ se normalizan a la función delta en lugar de a la unidad:

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Los estados multipartícula simétricos y antisimétricos se pueden construir a partir de estados propios continuos de la misma manera que antes. Sin embargo, se suele utilizar una constante de normalización diferente:

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Una función de onda de muchos cuerpos se puede escribir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

donde las funciones de onda de una sola partícula se definen, como es habitual, por

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

La propiedad más importante de estas funciones de onda es que al intercambiar dos de las variables de coordenadas, la función de onda cambia solo en un signo más o menos. Esta es la manifestación de la simetría y la antisimetría en la representación de la función de onda:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

La función de onda de muchos cuerpos tiene el siguiente significado: si el sistema está inicialmente en un estado con números cuánticos n ₁ , ..., n _N , y se realiza una medición de posición, la probabilidad de encontrar partículas en volúmenes infinitesimales cerca de x ₁ , x ₂ , ..., x _N es

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

El factor de N ! proviene de nuestra constante de normalización, que ha sido elegida de modo que, por analogía con las funciones de onda de una sola partícula,

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

Como cada integral se ejecuta sobre todos los valores posibles de x , cada estado de múltiples partículas aparece N ! veces en la integral. En otras palabras, la probabilidad asociada con cada evento se distribuye uniformemente a lo largo de N ! puntos equivalentes en el espacio integral. Como suele ser más conveniente trabajar con integrales sin restricciones que con integrales restringidas, se ha elegido la constante de normalización para reflejar esto.

Finalmente, la función de onda antisimétrica se puede escribir como el determinante de una matriz , conocido como determinante de Slater :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

Enfoque del operador y paraestadística

El espacio de Hilbert para partículas está dado por el producto tensorial . El grupo de permutación de actúa sobre este espacio permutando las entradas. Por definición, los valores esperados para un observable de partículas indistinguibles deberían ser invariantes bajo estas permutaciones. Esto significa que para todos y ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi \in H}$ ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

o equivalentemente para cada uno ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

Dos estados son equivalentes siempre que sus valores esperados coincidan para todos los observables. Si nos limitamos a los observables de partículas idénticas y, por lo tanto, a los observables que satisfacen la ecuación anterior, encontramos que los siguientes estados (después de la normalización) son equivalentes ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Las clases de equivalencia están en relación biyectiva con subespacios irreducibles de bajo . ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Dos subespacios irreducibles obvios son el subespacio simétrico/bosónico unidimensional y el subespacio antisimétrico/fermiónico. Sin embargo, existen más tipos de subespacios irreducibles. Los estados asociados con estos otros subespacios irreducibles se denominan estados paraestadísticos . ^[6] Las tablas de Young proporcionan una forma de clasificar todos estos subespacios irreducibles.

Propiedades estadísticas

Efectos estadísticos de la indistinguibilidad

La indistinguibilidad de las partículas tiene un profundo efecto en sus propiedades estadísticas. Para ilustrar esto, considere un sistema de N partículas distinguibles que no interactúan. Una vez más, sea n _j el estado (es decir, los números cuánticos) de la partícula j . Si las partículas tienen las mismas propiedades físicas, los n _j se encuentran en el mismo rango de valores. Sea ε ( n ) la energía de una partícula en el estado n . Como las partículas no interactúan, la energía total del sistema es la suma de las energías de cada partícula. La función de partición del sistema es

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Esta expresión se puede factorizar para obtener

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

dónde

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

Si las partículas son idénticas, esta ecuación es incorrecta. Consideremos un estado del sistema, descrito por los estados de partículas individuales [ n ₁ , ..., n _N ]. En la ecuación para Z , cada permutación posible de las n s ocurre una vez en la suma, aunque cada una de estas permutaciones describe el mismo estado de múltiples partículas. Por lo tanto, se ha contado en exceso el número de estados.

Si se desprecia la posibilidad de superposición de estados, lo cual es válido si la temperatura es alta, entonces el número de veces que se cuenta cada estado es aproximadamente N !. La función de partición correcta es

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Tenga en cuenta que esta aproximación de "alta temperatura" no distingue entre fermiones y bosones.

La discrepancia en las funciones de partición de partículas distinguibles e indistinguibles se conocía ya en el siglo XIX, antes de la llegada de la mecánica cuántica. Conduce a una dificultad conocida como la paradoja de Gibbs . Gibbs demostró que en la ecuación Z = ξ ^N , la entropía de un gas ideal clásico es

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

donde V es el volumen del gas y f es alguna función de T únicamente. El problema con este resultado es que S no es extensivo : si N y V se duplican, S no se duplica en consecuencia. Un sistema de este tipo no obedece los postulados de la termodinámica .

Gibbs también demostró que usar Z = ξ ^N / N ! altera el resultado a

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

lo cual es perfectamente extensivo. Sin embargo, la razón de esta corrección de la función de partición permaneció oscura hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica.

Propiedades estadísticas de los bosones y fermiones

Existen diferencias importantes entre el comportamiento estadístico de los bosones y los fermiones, que se describen mediante las estadísticas de Bose-Einstein y las estadísticas de Fermi-Dirac respectivamente. En términos generales, los bosones tienen una tendencia a agruparse en el mismo estado cuántico, que subyace a fenómenos como el láser , la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez . Los fermiones, por otro lado, tienen prohibido compartir estados cuánticos, lo que da lugar a sistemas como el gas de Fermi . Esto se conoce como el Principio de Exclusión de Pauli y es responsable de gran parte de la química, ya que los electrones de un átomo (fermiones) llenan sucesivamente los muchos estados dentro de las capas en lugar de estar todos en el mismo estado de energía más bajo.

Las diferencias entre el comportamiento estadístico de los fermiones, los bosones y las partículas distinguibles se pueden ilustrar utilizando un sistema de dos partículas. Las partículas se designan A y B. Cada partícula puede existir en dos estados posibles, etiquetados como y , que tienen la misma energía. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

El sistema compuesto puede evolucionar en el tiempo, interactuando con un entorno ruidoso. Debido a que los estados y son energéticamente equivalentes, ninguno de los estados es favorecido, por lo que este proceso tiene el efecto de aleatorizar los estados. (Esto se analiza en el artículo sobre entrelazamiento cuántico ). Después de un tiempo, el sistema compuesto tendrá la misma probabilidad de ocupar cada uno de los estados disponibles. Luego se miden los estados de las partículas. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son partículas distinguibles, entonces el sistema compuesto tiene cuatro estados distintos: , , y . La probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,25; la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,25; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y la otra en el estado es 0,5. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son bosones idénticos, entonces el sistema compuesto tiene solo tres estados distintos: , , y . Cuando se realiza el experimento, la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es ahora 0,33; la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,33; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y la otra en el estado es 0,33. Nótese que la probabilidad de encontrar partículas en el mismo estado es relativamente mayor que en el caso distinguible. Esto demuestra la tendencia de los bosones a "agruparse". ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son fermiones idénticos, solo hay un estado disponible para el sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico . Cuando se realiza el experimento, una partícula está siempre en el estado y la otra en el estado. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Los resultados se resumen en la Tabla 1:

Como se puede observar, incluso un sistema de dos partículas exhibe diferentes comportamientos estadísticos entre partículas distinguibles, bosones y fermiones. En los artículos sobre estadísticas de Fermi-Dirac y estadísticas de Bose-Einstein , estos principios se extienden a un gran número de partículas, con resultados cualitativamente similares.

Clase de homotopía

Para entender por qué las estadísticas de partículas funcionan de la manera en que lo hacen, note primero que las partículas son excitaciones localizadas en puntos y que las partículas que están separadas espacialmente no interactúan. En un espacio plano d -dimensional M , en cualquier momento dado, la configuración de dos partículas idénticas se puede especificar como un elemento de M × M . Si no hay superposición entre las partículas, de modo que no interactúan directamente, entonces sus ubicaciones deben pertenecer al espacio [ M × M ] \ {puntos coincidentes}, el subespacio con puntos coincidentes eliminados. El elemento ( x , y ) describe la configuración con la partícula I en x y la partícula II en y , mientras que ( y , x ) describe la configuración intercambiada. Con partículas idénticas, el estado descrito por ( x , y ) debería ser indistinguible del estado descrito por ( y , x ) . Ahora considere la clase de homotopía de caminos continuos desde ( x , y ) a ( y , x ) , dentro del espacio [ M × M ] \ {puntos coincidentes} . Si M es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ donde d ≥ 3 , entonces esta clase de homotopía solo tiene un elemento. Si M es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , entonces esta clase de homotopía tiene una cantidad contable de elementos (es decir, un intercambio en sentido antihorario de media vuelta, un intercambio en sentido antihorario de una vuelta y media, dos vueltas y media, etc., un intercambio en sentido horario de media vuelta, etc.). En particular, un intercambio en sentido antihorario de media vuelta no es homotópico a un intercambio en sentido horario de media vuelta. Por último, si M es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , entonces esta clase de homotopía está vacía.

Supongamos primero que d ≥ 3 . El espacio de recubrimiento universal de [ M × M ] ∖ {puntos coincidentes} , que no es otro que [ M × M ] ∖ {puntos coincidentes} en sí mismo, solo tiene dos puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) , a saber, ( x , y ) en sí mismo y ( y , x ) . Por lo tanto, el único intercambio permisible es intercambiar ambas partículas. Este intercambio es una involución , por lo que su único efecto es multiplicar la fase por una raíz cuadrada de 1. Si la raíz es +1, entonces los puntos tienen estadísticas de Bose, y si la raíz es –1, los puntos tienen estadísticas de Fermi.

En el caso de que el espacio de recubrimiento universal de [ M × M ] ∖ {puntos coincidentes} tenga infinitos puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) . Esto se describe mediante el grupo cíclico infinito generado al realizar un intercambio de media vuelta en sentido antihorario. A diferencia del caso anterior, realizar este intercambio dos veces seguidas no recupera el estado original; por lo que dicho intercambio puede dar como resultado genéricamente una multiplicación por exp( iθ ) para cualquier θ real (por unitaridad , el valor absoluto de la multiplicación debe ser 1). Esto se llama estadística anónica . De hecho, incluso con dos partículas distinguibles , aunque ( x , y ) ahora sea físicamente distinguible de ( y , x ) , el espacio de recubrimiento universal aún contiene infinitos puntos que son físicamente indistinguibles del punto original, ahora generado por una rotación en sentido antihorario de una vuelta completa. Este generador, entonces, da como resultado una multiplicación por exp( iφ ) . Este factor de fase se llama aquí estadística mutua. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2},}$

Finalmente, en el caso de que el espacio [ M × M ] ∖ {puntos coincidentes} no esté conectado, incluso si la partícula I y la partícula II son idénticas, aún pueden distinguirse mediante etiquetas como "la partícula de la izquierda" y "la partícula de la derecha". No hay simetría de intercambio aquí. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ,}$

Véase también

• Teoría de cuasi-conjuntos
• Hipótesis de DeBroglie

Notas al pie

1. Gottfried, Kurt (2011). "PAM Dirac y el descubrimiento de la mecánica cuántica". American Journal of Physics . 79 (3): 2, 10. arXiv : 1006.4610 . Código Bibliográfico :2011AmJPh..79..261G. doi :10.1119/1.3536639. S2CID  18229595.
2. Haynes, P. Métodos de escalamiento lineal en cálculos mecánico-cuánticos ab initio. Tesis doctoral de la Universidad de Cambridge, 1998. Sección 2.3 Partículas idénticas.
3. Tuckerman (2010, pág. 385)
4. Liboff, Richard (2003). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. pág. 597. ISBN 978-0805387148.
5. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (1 de diciembre de 2015). "La convencionalidad de la paraestadística". Revista británica de filosofía de la ciencia . 66 (4): 929–976. doi :10.1093/bjps/axu018. ISSN  0007-0882.
6. Bach, Alexaner (1993). "Clasificación de partículas indistinguibles". Europhysics Letters . 21 (5): 515–520. Bibcode :1993EL.....21..515B. doi :10.1209/0295-5075/21/5/002. S2CID  250835341.

Referencias

• Tuckerman, Mark (2010), Mecánica estadística , OUP Oxford, ISBN 978-0198525264

Enlaces externos

• Las conferencias de física de Feynman, vol. III, cap. 4: Partículas idénticas
• Intercambio de partículas idénticas y posiblemente indistinguibles por John S. Denker
• Identidad e individualidad en la teoría cuántica ( Enciclopedia de filosofía de Stanford )
• Estados de muchos electrones en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6