Función indicadora

Función matemática que caracteriza la pertenencia a un conjunto

Gráfico tridimensional de una función indicadora, mostrado sobre un dominio bidimensional cuadrado (conjunto X ): la parte "elevada" superpone aquellos puntos bidimensionales que son miembros del subconjunto "indicado" ( A ).

En matemáticas , una función indicadora o función característica de un subconjunto de un conjunto es una función que asigna los elementos del subconjunto a uno y todos los demás elementos a cero. Es decir, si A es un subconjunto de algún conjunto X , entonces si y en caso contrario, donde es una notación común para la función indicadora. Otras notaciones comunes son y ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle I_{A},}$ ${\displaystyle \chi _{A}.}$

La función indicadora de A es el corchete de Iverson de la propiedad de pertenencia a A ; es decir,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

Por ejemplo, la función de Dirichlet es la función indicadora de los números racionales como subconjunto de los números reales .

Definición

La función indicadora de un subconjunto A de un conjunto X es una función

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

definido como

1 A ( x ) := { 1 si x ∈ A , 0 si x ∉ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ si }}~x\en A~,\\0~&{\text{ si }}~x\notin A~.\end{cases}}}

El corchete de Iverson proporciona la notación equivalente, o ⟦ x ∈ A ⟧ , que se utilizará en lugar de ${\displaystyle [x\in A]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)\,.}$

La función a veces se denota I _A , χ _A , K _A o incluso simplemente A . ^{[a] [b]} ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

Notación y terminología

La notación también se utiliza para denotar la función característica en el análisis convexo , que se define como si se utilizara el recíproco de la definición estándar de la función indicadora. ${\displaystyle \chi _{A}}$

Un concepto relacionado en estadística es el de variable ficticia (no debe confundirse con "variables ficticias", como se suele usar ese término en matemáticas, también llamada variable ligada ).

El término " función característica " tiene un significado no relacionado con la teoría clásica de la probabilidad . Por esta razón, los probabilistas tradicionales utilizan el término función indicadora para la función definida aquí casi exclusivamente, mientras que los matemáticos de otros campos tienden más a utilizar el término función característica ^[a] para describir la función que indica la pertenencia a un conjunto.

En la lógica difusa y la lógica polivalente moderna , los predicados son las funciones características de una distribución de probabilidad . Es decir, la valoración estricta de verdadero o falso del predicado se reemplaza por una cantidad interpretada como el grado de verdad.

Propiedades básicas

La función indicadora o característica de un subconjunto A de algún conjunto X asigna elementos de X al rango . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Esta aplicación es sobreyectiva sólo cuando A es un subconjunto propio no vacío de X. Si entonces Por un argumento similar, si entonces ${\displaystyle A\equiv X,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Si y son dos subconjuntos de entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

y la función indicadora del complemento de ie es: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{C}}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

De manera más general, supongamos que es una colección de subconjuntos de X. Para cualquier ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

es claramente un producto de 0 s y 1 s. Este producto tiene el valor 1 precisamente en aquellos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos y es 0 en caso contrario. Es decir ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{k}}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Ampliando el producto en el lado izquierdo,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

donde es la cardinalidad de F . Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión . ${\displaystyle |F|}$

Como se sugiere en el ejemplo anterior, la función indicadora es un mecanismo de notación útil en combinatoria . La notación también se utiliza en otros ámbitos, por ejemplo, en la teoría de la probabilidad : si X es un espacio de probabilidad con una medida de probabilidad y A es un conjunto medible , entonces se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de A : ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

Esta identidad se utiliza en una prueba simple de la desigualdad de Markov .

En muchos casos, como en la teoría del orden , se puede definir la inversa de la función indicadora. Esto se denomina comúnmente función de Möbius generalizada , como una generalización de la inversa de la función indicadora en la teoría de números elemental , la función de Möbius . (Véase el párrafo siguiente sobre el uso de la inversa en la teoría de la recursión clásica).

Media, varianza y covarianza

Dado un espacio de probabilidad con el indicador variable aleatoria se define por if else ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ ${\displaystyle \omega \in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Significar

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ (también llamado "Puente Fundamental").

Diferencia

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Covarianza

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Función característica en la teoría de la recursión, función representativa de Gödel y Kleene

Kurt Gödel describió la función de representación en su artículo de 1934 "Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales" (el "¬" indica inversión lógica, es decir "NO"): ^{[1] : 42}

A cada clase o relación R le corresponderá una función representativa si y si ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$ ${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$ ${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

Kleene ofrece la misma definición en el contexto de las funciones recursivas primitivas como una función φ de un predicado P toma valores 0 si el predicado es verdadero y 1 si el predicado es falso. ^[2]

Por ejemplo, debido a que el producto de funciones características siempre que cualquiera de las funciones sea igual a 0 , desempeña el papel de OR lógico: IF OR ... OR THEN su producto es 0. Lo que aparece al lector moderno como la inversión lógica de la función que representa, es decir, la función que representa es 0 cuando la función R es "verdadera" o se satisface, desempeña un papel útil en la definición de Kleene de las funciones lógicas OR, AND e IMPLY, ^{[2] : 228} los operadores mu acotados- ^{[2] : 228} e ilimitados- ^{[2] : 279 ff} y la función CASE. ^{[2] : 229} ${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0}$ ${\displaystyle \phi _{n}=0}$

Función característica en la teoría de conjuntos difusos

En las matemáticas clásicas, las funciones características de los conjuntos solo toman valores 1 (miembros) o 0 (no miembros). En la teoría de conjuntos difusos , las funciones características se generalizan para tomar valor en el intervalo de unidad real [0, 1] , o más generalmente, en alguna álgebra o estructura (generalmente se requiere que sea al menos un conjunto parcial o reticular ). Tales funciones características generalizadas se denominan más comúnmente funciones de pertenencia , y los "conjuntos" correspondientes se denominan conjuntos difusos . Los conjuntos difusos modelan el cambio gradual en el grado de pertenencia observado en muchos predicados del mundo real como "alto", "cálido", etc.

Suavidad

En general, la función indicadora de un conjunto no es suave; es continua si y solo si su soporte es un componente conexo . Sin embargo, en la geometría algebraica de cuerpos finitos , toda variedad afín admite una función indicadora continua ( de Zariski ). ^[3] Dado un conjunto finito de funciones, sea su lugar geométrico nulo. Entonces, la función actúa como una función indicadora para . Si entonces , de lo contrario, para algún , tenemos , lo que implica que , por lo tanto . ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}}$ ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Aunque las funciones indicadoras no son suaves, admiten derivadas débiles . Por ejemplo, considere la función escalonada de Heaviside . La derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside es igual a la función delta de Dirac , es decir, y de manera similar, la derivada distribucional de es $${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$ $${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$ $${\displaystyle G(x):=\mathbf {1} _{x<0}}$$ $${\displaystyle {\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)}$$

Así, la derivada de la función escalón de Heaviside puede verse como la derivada normal hacia adentro en el límite del dominio dado por la semirrecta positiva. En dimensiones superiores, la derivada se generaliza naturalmente a la derivada normal hacia adentro, mientras que la función escalón de Heaviside se generaliza naturalmente a la función indicadora de algún dominio D . La superficie de D se denotará por S . Procediendo, se puede derivar que la derivada normal hacia adentro del indicador da lugar a una 'función delta de superficie', que puede indicarse por : donde n es la normal hacia afuera de la superficie S . Esta 'función delta de superficie' tiene la siguiente propiedad: ^[4] ${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$$ $${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

Al establecer la función f igual a uno, se deduce que la derivada normal interna del indicador se integra al valor numérico del área de superficie S.

Véase también

• Medida de Dirac
• Laplaciano del indicador
• Delta de Dirac
• Extensión (lógica de predicados)
• Variables libres y variables ligadas
• Función escalonada de Heaviside
• Función de identidad
• Soporte de Iverson
• Delta de Kronecker , una función que puede considerarse como un indicador de la relación de identidad
• Soportes de Macaulay
• Conjunto múltiple
• Función de membresía
• Función simple
• Variable ficticia (estadística)
• Clasificación estadística
• Función de pérdida cero-uno

Notas

1. La letra griega χ aparece porque es la letra inicial de la palabra griega χαρακτήρ , que es el origen último de la palabra característica .
2. El conjunto de todas las funciones indicadoras en X se puede identificar con el conjunto potencia de X . En consecuencia, ambos conjuntos a veces se denotan por Este es un caso especial ( ) de la notación para el conjunto de todas las funciones ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ ${\displaystyle Y=\{0,1\}=2}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Referencias

1. Davis, Martin , ed. (1965). Lo indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books. págs. 41–74.
2. Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company. pág. 227.
3. Serre. Curso de aritmética . pág. 5.
4. Lange, Rutger-Jan (2012). "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador". Journal of High Energy Physics . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Código Bibliográfico :2012JHEP...11..032L. doi :10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID  56188533.

Fuentes

• Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001). "Sección 5.2: Variables aleatorias indicadoras". Introducción a los algoritmos (segunda edición). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Davis, Martin , ed. (1965). Lo indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books.
• Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company.
• Boolos, George ; Burgess, John P.; Jeffrey , Richard C. (2002). Computabilidad y lógica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y control . 8 (3). San Diego: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
• Goguen, Joseph (1967). " Conjuntos L -difusos". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 18 (1): 145–174. doi :10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .