Independencia (lógica matemática)

Término en lógica matemática

El axioma de las paralelas ( P ) es independiente de los restantes axiomas geométricos ( R ): hay modelos (1) que satisfacen R y P , pero también modelos (2,3) que satisfacen R , pero no P .

En lógica matemática , la independencia es la imposibilidad de demostrar una oración específica a partir de un conjunto específico de otras oraciones. Las oraciones de este conjunto se denominan "axiomas".

Una oración σ es independiente de una teoría de primer orden dada T si T no prueba ni refuta σ; es decir, es imposible probar σ a partir de T , y también es imposible probar a partir de T que σ es falsa. A veces, se dice (sinónimamente) que σ es indecidible a partir de T . (Este concepto no está relacionado con la idea de " decidibilidad " como en un problema de decisión ).

Una teoría T es independiente si ningún axioma en T es demostrable a partir de los axiomas restantes en T. Una teoría para la que existe un conjunto independiente de axiomas es axiomatizable independientemente .

Nota de uso

Algunos autores dicen que σ es independiente de T cuando T simplemente no puede probar σ, y no necesariamente afirman con esto que T no puede refutar σ. Estos autores a veces dirán "σ es independiente de y consistente con T " para indicar que T no puede ni probar ni refutar σ.

Los resultados de la independencia en la teoría de conjuntos

Muchas afirmaciones interesantes de la teoría de conjuntos son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Se sabe que las siguientes afirmaciones de la teoría de conjuntos son independientes de la ZF, siempre que se suponga que esta es consistente:

• El axioma de la elección
• La hipótesis del continuo y la hipótesis del continuo generalizada
• La conjetura de Suslin

No se puede demostrar en ZFC (la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) que las siguientes afirmaciones (ninguna de las cuales ha sido probada como falsa) sean independientes de ZFC, bajo la hipótesis adicional de que ZFC es consistente.

• La existencia de cardenales fuertemente inaccesibles
• La existencia de grandes cardenales
• La inexistencia de los árboles Kurepa

Las siguientes afirmaciones son incompatibles con el axioma de elección y, por lo tanto, con ZFC. Sin embargo, probablemente sean independientes de ZF, en un sentido correspondiente al anterior: no pueden demostrarse en ZF, y pocos teóricos de conjuntos de trabajo esperan encontrar una refutación en ZF. Sin embargo, ZF no puede demostrar que sean independientes de ZF, incluso con la hipótesis añadida de que ZF es consistente.

• El axioma de la determinación
• El axioma de la determinación real
• Anuncio+

Aplicaciones a la teoría física

Desde el año 2000, se ha llegado a entender que la independencia lógica tiene una importancia crucial en los fundamentos de la física. ^{[1] [2]}

Véase también

• Lista de declaraciones independientes de ZFC
• Postulado paralelo para un ejemplo en geometría

Notas

1. Paterek, T.; Kofler, J.; Prevedel, R.; Klimek, P.; Aspelmeyer, M.; Zeilinger, A.; Brukner, Č. (2010), "Independencia lógica y aleatoriedad cuántica", New Journal of Physics , 12 : 013019, arXiv : 0811.4542 , Bibcode :2010NJPh...12a3019P, doi :10.1088/1367-2630/12/1/013019
2. Székely, Gergely (2013), "La existencia de partículas superlumínicas es consistente con la cinemática de la teoría especial de la relatividad de Einstein", Reports on Mathematical Physics , 72 (2): 133–152, arXiv : 1202.5790 , Bibcode :2013RpMP...72..133S, doi :10.1016/S0034-4877(13)00021-9

Referencias

• Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4.ª ed.), Londres: Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-80830-2
• Monk, J. Donald (1976), Lógica matemática , Textos de posgrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90170-1
• Stabler, Edward Russell (1948), Una introducción al pensamiento matemático , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley