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Los axiomas de Hilbert

Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 suposiciones propuestas por David Hilbert en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie [1] [2] [3] [4] (tr. Los fundamentos de la geometría ) como base para un tratamiento moderno de la geometría euclidiana . Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclidiana son las de Alfred Tarski y de George Birkhoff .

Los axiomas

El sistema de axiomas de Hilbert está construido con seis nociones primitivas : tres términos primitivos: [5]

y tres relaciones primitivas : [6]

Los segmentos de línea, los ángulos y los triángulos pueden definirse en términos de puntos y líneas rectas, utilizando las relaciones de intermediación y contención. Todos los puntos, líneas rectas y planos en los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia

  1. Por cada dos puntos A y B existe una recta a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a . En lugar de "contiene", también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir " A se encuentra sobre a ", " A es un punto de a ", " a pasa por A y por B ", " a une A con B ", etc. Si A se encuentra sobre a y al mismo tiempo sobre otra recta b , utilizamos también la expresión: "Las rectas a y b tienen en común el punto A ", etc.
  2. Por cada dos puntos no existe más que una recta que los contenga a ambos; en consecuencia, si AB = a y AC = a , donde B ≠ C , entonces también BC = a .
  3. Existen al menos dos puntos en una recta. Existen al menos tres puntos que no están en la misma recta.
  4. Por cada tres puntos A , B , C que no están situados sobre la misma recta existe un plano α que los contiene a todos. Por cada plano existe un punto que se encuentra sobre él. Escribimos ABC = α . Empleamos también las expresiones: " A , B , C están en α "; " A , B , C son puntos de α ", etc.
  5. Por cada tres puntos A , B , C que no estén en la misma recta, no existe más que un plano que los contenga a todos.
  6. Si dos puntos A , B de una recta a están en un plano α , entonces cada punto de a está en α . En este caso decimos: "La recta a está en el plano α ", etc.
  7. Si dos planos α , β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
  8. Existen al menos cuatro puntos que no están en un plano.

II. Orden

  1. Si un punto B está entre los puntos A y C , B también está entre C y A , y existe una línea que contiene los puntos distintos A , B , C.
  2. Si A y C son dos puntos, entonces existe al menos un punto B en la línea AC tal que C se encuentra entre A y B. [7 ]
  3. De tres puntos cualesquiera situados sobre una línea, no hay más que uno que esté entre los otros dos. [8]
  4. Axioma de Pasch : Sean A , B , C tres puntos que no están en la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y que no pasa por ninguno de los puntos A , B , C. Entonces, si la recta a pasa por un punto del segmento AB , también pasará por un punto del segmento BC o por un punto del segmento AC .

III. Congruencia

  1. Si A , B son dos puntos de una recta a , y si A ′ es un punto de la misma recta a ′ o de otra, entonces, sobre un lado dado de A ′ de la recta a ′, siempre podemos hallar un punto B ′ de modo que el segmento AB sea congruente con el segmento A ′ B ′. Indicamos esta relación escribiendo AB ≅ A ′ B ′ . Todo segmento es congruente consigo mismo; es decir, siempre tenemos AB ≅ AB .
    Podemos enunciar brevemente el axioma anterior diciendo que todo segmento puede extenderse sobre un lado dado de un punto dado de una recta dada de al menos una manera.
  2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A ′ B ′ y también con el segmento A ″ B ″, entonces el segmento A ′ B ′ es congruente con el segmento A ″ B ″; es decir, si AB ≅ A ′ B ′ y AB ≅ A ″ B ″ , entonces A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común aparte del punto B , y, además, sean A ′ B ′ y B ′ C ′ dos segmentos de la misma o de otra recta a ′ que, asimismo, no tienen ningún punto en común excepto B ′ . Entonces, si AB ≅ A ′ B ′ y BC ≅ B ′ C ′ , tenemos AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Sea dado un ángulo ∠ ( h , k ) en el plano α y sea dada una recta a ′ en un plano α ′. Supongamos también que, en el plano α ′, se asigna un lado definido de la recta a ′. Denotemos por h ′ un rayo de la recta a ′ que emana de un punto O ′ de esta recta. Entonces en el plano α ′ hay un y sólo un rayo k ′ tal que el ángulo ∠ ( h , k ) , o ∠ ( k , h ) , es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′) y al mismo tiempo todos los puntos interiores del ángulo ∠ ( h ′, k ′) se encuentran sobre el lado dado de a ′. Expresamos esta relación mediante la notación ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Si el ángulo ∠ ( h , k ) es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′) y con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) , entonces el ángulo ∠ ( h ′, k ′) es congruente con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) ; es decir, si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) y ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , entonces ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .
  6. Si en los dos triángulos ABC y A ′ B ′ C ′ se cumplen las congruencias AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , entonces se cumple la congruencia ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ (y, por un cambio de notación, se sigue que ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ también se cumple).

IV. Paralelismos

  1. Axioma de Playfair : [9] Sea a una línea cualquiera y A un punto que no está sobre ella. Entonces hay como máximo una línea en el plano, determinada por a y A , que pasa por A y no interseca a a .

V. Continuidad

  1. Axioma de Arquímedes : Si AB y CD son segmentos cualesquiera, entonces existe un número n tal que n segmentos CD construidos contiguamente desde A , a lo largo del rayo de A a B , pasarán más allá del punto B.
  2. Axioma de completitud de línea : Una extensión (una línea extendida a partir de una línea que ya existe, usualmente usada en geometría) de un conjunto de puntos en una línea con sus relaciones de orden y congruencia que preservarían las relaciones existentes entre los elementos originales así como las propiedades fundamentales de orden de línea y congruencia que se siguen de los Axiomas I-III y de V-1 es imposible.

El axioma descartado de Hilbert

Hilbert (1899) incluyó un axioma número 21 que decía lo siguiente:

II.4. Cualesquiera cuatro puntos A , B , C , D de una línea siempre pueden etiquetarse de modo que B esté entre A y C y también entre A y D , y, además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Esta afirmación también se conoce como teorema de Pasch .

EH Moore y RL Moore demostraron independientemente que este axioma es redundante, y el primero publicó este resultado en un artículo que apareció en Transactions of the American Mathematical Society en 1902. [10]

Antes de esto, el axioma de Pasch , ahora catalogado como II.4, estaba numerado como II.5.

Ediciones y traducciones deFundamentos de la geometría

La monografía original, basada en sus propias conferencias, fue organizada y escrita por Hilbert para un discurso conmemorativo pronunciado en 1899. A esto le siguió rápidamente una traducción al francés, en la que Hilbert añadió V.2, el axioma de completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue realizada por EJ Townsend y registrada en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó realizando cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última que apareció en vida de Hilbert. En el prefacio de esta edición, Hilbert escribió:

"La séptima edición de mi libro Fundamentos de geometría aporta mejoras y añadidos considerables a la edición anterior, en parte gracias a mis conferencias posteriores sobre este tema y en parte a las mejoras realizadas entretanto por otros autores. El texto principal del libro ha sido revisado en consecuencia."

Después de la séptima edición se publicaron nuevas ediciones, pero el texto principal no fue revisado en lo esencial. Las modificaciones de estas ediciones aparecen en los apéndices y suplementos. Los cambios en el texto fueron importantes en comparación con el original y se encargó una nueva traducción al inglés a Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend. De esta forma, la segunda edición en inglés fue traducida por Leo Unger a partir de la décima edición alemana en 1971. Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las ediciones alemanas posteriores de Paul Bernays.

La traducción de Unger difiere de la traducción de Townsend con respecto a los axiomas en los siguientes aspectos:

Axioma de completitud . A un sistema de puntos, rectas y planos no es posible añadir otros elementos de manera que el sistema así generalizado forme una nueva geometría que obedezca a los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos válidos los cinco grupos de axiomas.

Las dos últimas modificaciones se deben a P. Bernays.

Otros cambios dignos de mención son:

Solicitud

Estos axiomas axiomatizan la geometría sólida euclidiana . Al eliminar cinco axiomas que mencionan el "plano" de manera esencial, a saber, I.4–8, y modificar III.4 y IV.1 para omitir la mención de los planos, se obtiene una axiomatización de la geometría del plano euclidiano .

Los axiomas de Hilbert, a diferencia de los axiomas de Tarski , no constituyen una teoría de primer orden porque los axiomas V.1–2 no pueden expresarse en lógica de primer orden .

El valor de los Grundlagen de Hilbert fue más metodológico que sustantivo o pedagógico. Otras contribuciones importantes a la axiomática de la geometría fueron las de Moritz Pasch , Mario Pieri , Oswald Veblen , Edward Vermilye Huntington , Gilbert Robinson y Henry George Forder . El valor de los Grundlagen es su enfoque pionero de las cuestiones metamatemáticas , incluido el uso de modelos para demostrar que los axiomas son independientes y la necesidad de demostrar la consistencia y completitud de un sistema de axiomas.

Las matemáticas del siglo XX evolucionaron hasta convertirse en una red de sistemas formales axiomáticos . Esto se debió, en gran medida, al ejemplo que Hilbert estableció en los Grundlagen . Sin embargo, un esfuerzo de 2003 (Meikle y Fleuriot) para formalizar los Grundlagen con una computadora descubrió que algunas de las pruebas de Hilbert parecen basarse en diagramas e intuición geométrica, y como tal reveló algunas posibles ambigüedades y omisiones en sus definiciones. [11]

Véase también

Notas

  1. ^ Sommer, Julio (1900). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 6 (7): 287–299. doi : 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1 .
  2. ^ Poincaré, Henri (1903). "Reseña de Poincaré de los "Fundamentos de la geometría" de Hilbert, traducida por EV Huntington" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 10 : 1–23. doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1 .
  3. ^ Schweitzer, Arthur Richard (1909). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, tercera edición, Teubner, 1909" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 15 (10): 510–511. doi : 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2 .
  4. ^ Gronwall, TH (1919). "Reseña: Grundlagen der Geometrie, cuarta edición, Teubner, 1913" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc . 20 (6): 325–326. doi : 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9 .
  5. ^ Estos axiomas y su numeración están tomados de la traducción de Unger (al inglés) de la décima edición de Grundlagen der Geometrie .
  6. ^ Se podría contar esto como seis relaciones como se especifica a continuación, pero Hilbert no lo hizo.
  7. ^ En la edición de Townsend esta afirmación difiere en que también incluye la existencia de al menos un punto D con C entre A y D , que se convirtió en un teorema en una edición posterior.
  8. ^ La parte de existencia ("hay al menos uno") es un teorema.
  9. ^ Esta es la terminología de Hilbert. Esta afirmación se conoce más comúnmente como el axioma de Playfair .
  10. ^ Moore, EH (1902), "Sobre los axiomas proyectivos de la geometría" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR  1986321
  11. ^ En la página 334: "Al formalizar los fundamentos en Isabelle/Isar demostramos que el trabajo de Hilbert pasaba por alto puntos sutiles de razonamiento y se apoyaba en gran medida, en algunos casos, en diagramas que permitían hacer suposiciones implícitas. Por esta razón, se puede argumentar que Hilbert intercaló sus axiomas con la intuición geométrica para demostrar muchos de sus teoremas".

Referencias

Enlaces externos