Integral impropia

Concepto en el análisis matemático

Integral de Riemann impropia de primera especie, en la que la región en el plano implicada por la integral es infinita en extensión horizontal. El área de dicha región, que la integral representa, puede ser finita (como en este caso) o infinita.

Integral de Riemann impropia de segunda especie, donde la región implicada es infinita en sentido vertical. La región puede tener un área finita (como en este caso) o infinita.

En análisis matemático , una integral impropia es una extensión de la noción de una integral definida a los casos que violan los supuestos habituales para ese tipo de integral. ^[1] En el contexto de las integrales de Riemann (o, equivalentemente, las integrales de Darboux ), esto típicamente implica la ilimitación, ya sea del conjunto sobre el que se toma la integral o del integrando (la función que se integra), o ambos. También puede involucrar conjuntos acotados pero no cerrados o funciones acotadas pero no continuas . Si bien una integral impropia generalmente se escribe simbólicamente como una integral definida estándar, en realidad representa un límite de una integral definida o una suma de tales límites; por lo tanto, se dice que las integrales impropias convergen o divergen. ^{[2] [1]} Si una integral definida regular (que puede llamarse retronymicamente una integral propia ) se calcula como si fuera impropia, se obtendrá la misma respuesta.

En el caso más simple de una función de valor real de una sola variable integrada en el sentido de Riemann (o Darboux) sobre un solo intervalo, las integrales impropias pueden tener cualquiera de las siguientes formas:

1. ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$
2. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$
3. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$
4. ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$, donde no está definido o es discontinuo en algún lugar ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Las tres primeras formas son impropias porque las integrales se toman en un intervalo no acotado. (También pueden ser impropias por otras razones, como se explica a continuación). Una integral de este tipo a veces se describe como del "primer" tipo o clase si el integrando satisface los supuestos de integración. ^[2] Las integrales de la cuarta forma que son impropias porque tienen una asíntota vertical en algún lugar del intervalo pueden describirse como del "segundo" tipo o clase. ^[2] Las integrales que combinan aspectos de ambos tipos a veces se describen como del "tercer" tipo o clase. ^[2] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

En cada caso anterior, la integral impropia debe reescribirse utilizando uno o más límites, dependiendo de qué esté causando que la integral sea impropia. Por ejemplo, en el caso 1, si es continua en todo el intervalo , entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,\infty )}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

El límite de la derecha se toma como la definición de la notación integral de la izquierda.

Si solo es continua en sí misma y no en sí misma, entonces normalmente esto se reescribe como ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to a^{+}}\int _{t}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

para cualquier elección de . Aquí ambos límites deben converger a un valor finito para que se diga que la integral impropia converge. Este requisito evita el caso ambiguo de sumar infinitos positivos y negativos (es decir, la forma indeterminada " " ). Alternativamente, se podría utilizar un límite iterado o un único límite basado en el valor principal de Cauchy . ${\displaystyle c>a}$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Si es continua en y , con una discontinuidad de cualquier tipo en , entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,d)}$ ${\displaystyle (d,\infty )}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to d^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,dx+\lim _{u\to d^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

para cualquier elección de . Las observaciones anteriores sobre formas indeterminadas, límites iterados y el valor principal de Cauchy también se aplican aquí. ${\displaystyle c>d}$

La función puede tener más discontinuidades, en cuyo caso se requerirían aún más límites (o una expresión de valor principal más complicada). ${\displaystyle f(x)}$

Los casos 2 a 4 se manejan de manera similar. Vea los ejemplos a continuación.

Las integrales impropias también se pueden evaluar en el contexto de números complejos, en dimensiones superiores y en otros marcos teóricos como la integración de Lebesgue o la integración de Henstock-Kurzweil . Las integrales que se consideran impropias en un marco pueden no serlo en otros.

Ejemplos

La definición original de la integral de Riemann no se aplica a una función como la del intervalo [1, ∞) , porque en este caso el dominio de integración es ilimitado . Sin embargo, la integral de Riemann a menudo se puede extender por continuidad , definiendo la integral impropia como un límite ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\left(-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right)=1.}$

La definición estrecha de la integral de Riemann tampoco cubre la función en el intervalo [0, 1] . El problema aquí es que el integrando no está acotado en el dominio de integración. En otras palabras, la definición de la integral de Riemann requiere que tanto el dominio de integración como el integrando estén acotados . Sin embargo, la integral impropia existe si se entiende como el límite ${\textstyle 1/{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{a\to 0^{+}}\left(2-2{\sqrt {a}}\right)=2.}$

La integral impropia tiene intervalos ilimitados tanto para el dominio como para el rango.
${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

A veces las integrales pueden tener dos singularidades donde son impropias. Consideremos, por ejemplo, la función 1/(( x + 1) √ x ) integrada de 0 a ∞ (mostrada a la derecha). En el límite inferior del dominio de integración, cuando x tiende a 0 la función tiende a ∞ , y el límite superior es en sí mismo ∞ , aunque la función tiende a 0. Por lo tanto, esta es una integral doblemente impropia. Integrada, digamos, de 1 a 3, una suma de Riemann ordinaria es suficiente para producir un resultado de π /6. Para integrar de 1 a ∞ , una suma de Riemann no es posible. Sin embargo, cualquier límite superior finito, digamos t (con t > 1 ), da un resultado bien definido, 2 arctan( √ t ) − π/2 . Esto tiene un límite finito cuando t tiende a infinito, es decir π /2 . De manera similar, la integral de 1/3 a 1 también permite una suma de Riemann, que casualmente produce nuevamente π /6. Reemplazar 1/3 por un valor positivo arbitrario s (con s < 1 ) es igualmente seguro, lo que da π/2 − 2 arctan( √ s ) . Esto también tiene un límite finito cuando s tiende a cero, es decir π /2. Combinando los límites de los dos fragmentos, el resultado de esta integral impropia es

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\int _{s}^{1}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}+\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}{\frac {dx}{(1+x){\sqrt {x}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{+}}\left({\frac {\pi }{2}}-2\arctan {\sqrt {s}}\right)+\lim _{t\to \infty }\left(2\arctan {\sqrt {t}}-{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}+\left(\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\\&{}=\pi .\end{aligned}}}$

Este proceso no garantiza el éxito; puede que no exista un límite o que éste sea infinito. Por ejemplo, en el intervalo acotado de 0 a 1 la integral de 1/ x no converge; y en el intervalo no acotado de 1 a ∞ la integral de 1/ √ x no converge.

La integral impropia converge, ya que existen límites izquierdo y derecho, aunque el integrando no está acotado cerca de un punto interior.
${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=6}$

También puede ocurrir que un integrando no esté acotado cerca de un punto interior, en cuyo caso la integral debe descomponerse en ese punto. Para que la integral en su conjunto converja, las integrales límite en ambos lados deben existir y deben estar acotadas. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&{}=\lim _{s\to 0^{-}}\int _{-1}^{s}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t\to 0^{+}}\int _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&{}=\lim _{s\to 0^{-}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{s}}\right)+\lim _{t\to 0^{+}}3\left(1-{\sqrt[{3}]{t}}\right)\\&{}=3+3\\&{}=6.\end{aligned}}}$

Pero la integral similar

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}$

No se puede asignar un valor de esta manera, ya que las integrales por encima y por debajo de cero en el dominio integral no convergen independientemente. (Sin embargo, consulte el valor principal de Cauchy ).

Convergencia de la integral

Una integral impropia converge si existe el límite que la define. Así, por ejemplo, se dice que la integral impropia

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\ dx}$

existe y es igual a L si las integrales bajo el límite existen para todos los t suficientemente grandes , y el valor del límite es igual a L.

También es posible que una integral impropia diverja hasta el infinito. En ese caso, se puede asignar el valor de ∞ (o −∞) a la integral. Por ejemplo

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\infty .}$

Sin embargo, otras integrales impropias pueden simplemente divergir en ninguna dirección particular, como por ejemplo:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

que no existe, ni siquiera como número real extendido . Esto se llama divergencia por oscilación.

Una limitación de la técnica de integración impropia es que el límite debe tomarse con respecto a un punto final a la vez. Así, por ejemplo, una integral impropia de la forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

se puede definir tomando dos límites separados; a los cuales

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

siempre que el límite doble sea finito. También puede definirse como un par de integrales impropias distintas de primera especie:

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

donde c es cualquier punto conveniente en el que se inicia la integración. Esta definición también se aplica cuando una de estas integrales es infinita, o ambas si tienen el mismo signo.

Un ejemplo de una integral impropia donde ambos puntos finales son infinitos es la integral gaussiana . Un ejemplo que evalúa al infinito es . Pero ni siquiera se pueden definir otras integrales de este tipo de manera inequívoca, como , ya que el límite doble es infinito y el método de dos integrales ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{x}\,dx}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx}$

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}x\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}x\,dx}$

produce una forma indeterminada , . En este caso, sin embargo, se puede definir una integral impropia en el sentido del valor principal de Cauchy : ${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{-b}^{b}x\,dx=0.}$

Las preguntas que uno debe abordar para determinar una integral impropia son:

• ¿Existe el límite?
• ¿Se puede calcular el límite?

La primera cuestión es una cuestión de análisis matemático . La segunda puede abordarse mediante técnicas de cálculo, pero también en algunos casos mediante integración de contornos , transformadas de Fourier y otros métodos más avanzados.

Tipos de integrales

Existe más de una teoría de integración . Desde el punto de vista del cálculo, la teoría integral de Riemann suele asumirse como la teoría predeterminada. Al utilizar integrales impropias, puede ser importante qué teoría de integración se utiliza.

• Para la integral de Riemann (o la integral de Darboux , que es equivalente a ella), la integración impropia es necesaria tanto para intervalos no acotados (ya que no se puede dividir el intervalo en un número finito de subintervalos de longitud finita) como para funciones no acotadas con integral finita (ya que, suponiendo que es no acotada por encima, entonces la integral superior será infinita, pero la integral inferior será finita).
• La integral de Lebesgue trata de manera diferente con dominios no acotados y funciones no acotadas, de modo que a menudo una integral que solo existe como una integral de Riemann impropia existirá como una integral de Lebesgue (propia), como . Por otro lado, también hay integrales que tienen una integral de Riemann impropia pero no tienen una integral de Lebesgue (propia), como . La teoría de Lebesgue no ve esto como una deficiencia: desde el punto de vista de la teoría de la medida , y no se puede definir satisfactoriamente. En algunas situaciones, sin embargo, puede ser conveniente emplear integrales de Lebesgue impropias como es el caso, por ejemplo, al definir el valor principal de Cauchy . La integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier , con un uso generalizado de integrales sobre toda la línea real. ${\textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\infty -\infty }$
• Para la integral de Henstock-Kurzweil , no es necesaria la integración impropia , y esto se considera una fortaleza de la teoría: abarca todas las funciones integrables de Lebesgue e integrables de Riemann impropias.

Integrales de Riemann e integrales de Lebesgue impropias

Figura 1

Figura 2

En algunos casos, la integral

${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\ dx}$

puede definirse como una integral (una integral de Lebesgue , por ejemplo) sin referencia al límite

${\displaystyle \lim _{b\to c^{-}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

pero no se puede calcular de otra manera. Esto sucede a menudo cuando la función f que se integra de a a c tiene una asíntota vertical en c o si c  = ∞ (ver Figuras 1 y 2). En tales casos, la integral de Riemann impropia permite calcular la integral de Lebesgue de la función. En concreto, se cumple el siguiente teorema (Apostol 1974, Teorema 10.33):

• Si una función f es integrable en Riemann en [ a , b ] para cada b  ≥  a , y las integrales parciales

${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

están acotadas cuando b  → ∞, entonces las integrales de Riemann impropias

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx,\quad {\mbox{and }}\int _{a}^{\infty }|f(x)|\,dx}$

ambas existen. Además, f es integrable según Lebesgue en [ a , ∞), y su integral de Lebesgue es igual a su integral de Riemann impropia.

Por ejemplo, la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

puede interpretarse alternativamente como la integral impropia

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}},}$

o puede interpretarse en cambio como una integral de Lebesgue sobre el conjunto (0, ∞). Dado que ambos tipos de integrales coinciden, uno es libre de elegir el primer método para calcular el valor de la integral, incluso si en última instancia desea considerarla como una integral de Lebesgue. Por lo tanto, las integrales impropias son claramente herramientas útiles para obtener los valores reales de las integrales.

En otros casos, sin embargo, una integral de Lebesgue entre puntos finales finitos puede no estar definida, porque las integrales de las partes positiva y negativa de f son ambas infinitas, pero la integral de Riemann impropia puede existir igualmente. Tales casos son integrales "propiamente impropias", es decir, sus valores no pueden definirse excepto como tales límites. Por ejemplo,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

no puede interpretarse como una integral de Lebesgue, ya que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty .}$

Pero , sin embargo, es integrable entre dos puntos finales finitos cualesquiera, y su integral entre 0 y ∞ se entiende normalmente como el límite de la integral: ${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Singularidades

Se puede hablar de singularidades de una integral impropia, es decir, aquellos puntos de la recta de números reales extendida en los que se utilizan límites.

Valor principal de Cauchy

Consideremos la diferencia de valores de dos límites:

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0,}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2.}$

El primero es el valor principal de Cauchy de la expresión, que de otro modo estaría mal definida.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

De manera similar, tenemos

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0,}$

pero

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4.}$

El primero es el valor principal de la expresión, que de otro modo estaría mal definida.

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}{\ }\left({\mbox{which}}\ {\mbox{gives}}\ -\infty +\infty \right).}$

Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada . ${\displaystyle \infty -\infty }$

Estas patologías no afectan a las funciones "integrables-Lebesgue", es decir, funciones cuyas integrales de valores absolutos son finitos.

Sumabilidad

Una integral impropia puede divergir en el sentido de que el límite que la define puede no existir. En este caso, existen definiciones más sofisticadas del límite que pueden producir un valor convergente para la integral impropia. Estas se denominan métodos de sumabilidad .

Un método de sumabilidad, popular en el análisis de Fourier , es el de la suma de Cesáro . La integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

es Cesàro sumable (C, α) si

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\ dx}$

existe y es finito (Titchmarsh 1948, §1.15). El valor de este límite, si existiera, es la suma (C, α) de la integral.

Una integral es (C, 0) sumable precisamente cuando existe como una integral impropia. Sin embargo, hay integrales que son (C, α) sumables para α > 0 que no convergen como integrales impropias (en el sentido de Riemann o Lebesgue). Un ejemplo es la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin x\,dx}$

que no existe como integral impropia, pero es (C, α ) sumable para cada α  > 0. Esta es una versión integral de la serie de Grandi .

Integrales impropias multivariables

La integral impropia también se puede definir para funciones de varias variables. La definición es ligeramente diferente, dependiendo de si se requiere integrar sobre un dominio ilimitado, como , o se está integrando una función con singularidades, como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x,y)=\log \left(x^{2}+y^{2}\right)}$

Integrales impropias sobre dominios arbitrarios

Si es una función no negativa que es integrable según Riemann sobre cada cubo compacto de la forma , para , entonces la integral impropia de f sobre se define como el límite ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}f,}$

siempre que exista.

Una función en un dominio arbitrario A se extiende a una función en por cero fuera de A : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}}$

La integral de Riemann de una función sobre un dominio acotado A se define entonces como la integral de la función extendida sobre un cubo que contiene a A : ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle [-a,a]^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

De manera más general, si A no tiene límites, entonces la integral de Riemann impropia sobre un dominio arbitrario en se define como el límite: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{a\to \infty }\int _{A\cap [-a,a]^{n}}f=\lim _{a\to \infty }\int _{[-a,a]^{n}}{\tilde {f}}.}$

Integrales impropias con singularidades

Si f es una función no negativa que no está acotada en un dominio A , entonces la integral impropia de f se define truncando f en algún punto de corte M , integrando la función resultante y luego tomando el límite cuando M tiende a infinito. Esto es para , establezca . Luego defina ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle f_{M}=\min\{f,M\}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\lim _{M\to \infty }\int _{A}f_{M}}$

siempre que exista este límite.

Funciones con valores positivos y negativos

Estas definiciones se aplican a funciones que no son negativas. Una función más general f se puede descomponer como una diferencia de su parte positiva y su parte negativa , de modo que ${\displaystyle f_{+}=\max\{f,0\}}$ ${\displaystyle f_{-}=\max\{-f,0\}}$

${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$

con y ambas funciones no negativas. La función f tiene una integral de Riemann impropia si cada una de y tiene una, en cuyo caso el valor de esa integral impropia se define por ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

${\displaystyle \int _{A}f=\int _{A}f_{+}-\int _{A}f_{-}.}$

Para existir en este sentido, la integral impropia necesariamente converge de manera absoluta, ya que

${\displaystyle \int _{A}|f|=\int _{A}f_{+}+\int _{A}f_{-}.}$^{[3] [4]}

Notas

1. Buck, R. Creighton (1965). Cálculo avanzado (2.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 133–134.
2. Spiegel, Murray R. (1963). Esquema de teoría y problemas de cálculo avanzado de Schaum . McGraw-Hill. pág. 260. ISBN 0-07-060229-8.
3. Cooper 2005, p. 538: "Necesitamos hacer esta definición más fuerte de convergencia en términos de | f ( x )| porque la cancelación en las integrales puede ocurrir de muchas maneras diferentes en dimensiones superiores".
4. Ghorpade & Limaye 2010, p. 448: "La noción relevante aquí es la de convergencia incondicional"... "De hecho, para integrales impropias de tales funciones, la convergencia incondicional resulta ser equivalente a la convergencia absoluta".

Bibliografía

• Apostol, T (1974), Análisis matemático , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Cálculo, vol. 1 (2.ª ed.), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Métodos numéricos con aplicaciones (1.ª ed.), autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (2.ª ed.), Nueva York, NY: Chelsea Pub. Co. (publicado en 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Cooper, Jeffery (2005), Análisis de trabajo , Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Un curso de cálculo y análisis multivariable , Springer

Enlaces externos

• Métodos numéricos para resolver integrales impropias en el Instituto de Métodos Numéricos Holísticos