En el campo matemático de la teoría de nudos , un nudo quiral es un nudo que no es equivalente a su imagen especular (cuando es idéntico al estar invertido). Un nudo orientado que equivale a su imagen especular es un nudo anficheiral , también llamado nudo aquiral . La quiralidad de un nudo es una invariante del nudo . La quiralidad de un nudo se puede clasificar aún más dependiendo de si es invertible o no .
Solo hay cinco tipos de simetría de nudos, indicados por quiralidad e invertibilidad: completamente quiral, invertible, positivamente anfiquiral no invertible, negativamente anfiquiral no invertible y completamente anfiquiral invertible. [1]
La posible quiralidad de ciertos nudos se sospechaba desde 1847 cuando Johann Listing afirmó que el trébol era quiral, [2] y esto fue demostrado por Max Dehn en 1914. PG Tait encontró todos los nudos anficheros hasta 10 cruces y conjeturó que todos los nudos anficheros tenían número de cruce par . Mary Gertrude Haseman encontró los nudos anficheirales de 12 cruces y muchos de 14 cruces a finales de la década de 1910. [3] [4] Pero Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite y Jeff Weeks encontraron un contraejemplo a la conjetura de Tait, un nudo anfiquero de 15 cruces, en 1998. [5] Sin embargo, se demostró que la conjetura de Tait era cierta para nudos alternos primos . . [6]
El nudo quiral más simple es el nudo trébol , que Max Dehn demostró que era quiral . Todos los nudos toroidales no triviales son quirales. El polinomio de Alexander no puede distinguir un nudo de su imagen especular, pero el polinomio de Jones sí puede hacerlo en algunos casos; si V k ( q ) ≠ V k ( q −1 ), entonces el nudo es quiral; sin embargo, lo contrario no es cierto. El polinomio HOMFLY es aún mejor para detectar la quiralidad, pero no existe ningún invariante de nudo polinomial conocido que pueda detectar completamente la quiralidad. [7]
Un nudo quiral que puede deformarse suavemente sobre sí mismo con la orientación opuesta se clasifica como nudo invertible . [8] Los ejemplos incluyen el nudo trébol.
Si un nudo no es equivalente a su inverso o a su imagen especular, es un nudo totalmente quiral, por ejemplo el nudo 9 32. [8]
Un nudo anficheiral es aquel que tiene una orientación que invierte el autohomeomorfismo de las 3 esferas , α, que fija el nudo en forma de conjunto. Todos los nudos alternos anficheirales tienen un número de cruce par . El primer nudo anficheiral con número de cruce impar es un nudo de 15 cruces descubierto por Hoste et al. [6]
Si un nudo es isotópico tanto en su reverso como en su imagen especular, es completamente anfiquero. El nudo más simple con esta propiedad es el nudo en forma de ocho .
Si el autohomeomorfismo, α, preserva la orientación del nudo, se dice que es anfiquero positivo. Esto equivale a que el nudo sea isotópico de su espejo. Ningún nudo con un número de cruce menor que doce es anfiquero positivo y no invertible. [8]
Si el autohomeomorfismo, α, invierte la orientación del nudo, se dice que es anfiquero negativo. Esto equivale a que el nudo sea isotópico al reverso de su imagen especular. El nudo no invertible con esta propiedad que tiene menos cruces es el nudo 8 17 . [8]