Equivalencia igualitaria

La equivalencia igualitaria (EE) es un criterio de división justa . En una división igualitaria-equivalente, existe un cierto "conjunto de referencia" tal que cada agente siente que su parte es equivalente a . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

El principio de equidad EE suele combinarse con el principio de eficiencia de Pareto . Un PEEEA es una asignación que es a la vez eficiente en el sentido de Pareto y equivalente a la igualdad.

Definición

Un conjunto de recursos se divide entre varios agentes de modo que cada agente recibe un conjunto de recursos . Cada agente tiene una relación de preferencia subjetiva que es un orden total sobre el conjunto de recursos. Estas relaciones de preferencia inducen una relación de equivalencia de la forma habitual: si y solo si . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \succeq _{i}}$ ${\displaystyle X\sim _{i}Y}$ ${\displaystyle X\succeq _{i}Y\succeq _{i}X}$

Una asignación se denomina igualitaria-equivalente si existe un conjunto tal que, para todos : ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle X_{i}\sim _{i}Z}$

Una asignación se denomina PEEEA si es a la vez Pareto-eficiente y equivalente igualitaria.

Motivación

El criterio EE fue introducido por Elisha Pazner y David Schmeidler en 1978. ^{[1] [2]}

Hasta ahora, el criterio principal de equidad en economía ha sido la ausencia de envidia (AE). La AAE tiene el mérito de ser un criterio ordinal : puede definirse basándose únicamente en las relaciones de preferencias individuales; no necesita comparar las utilidades de diferentes agentes ni suponer que las funciones de utilidad de los agentes están normalizadas. Sin embargo, la AAE puede ser incompatible con la eficiencia de Pareto (EP). En particular, en una economía estándar con producción, puede que no haya una asignación que sea a la vez EP y AAE. ^[3]

La EE, al igual que la FE, es un criterio ordinal, es decir, se puede definir basándose únicamente en las relaciones de preferencias individuales. Sin embargo, siempre es compatible con la EP, ya que siempre existe una PEEEA (asignación de EP y EE), incluso en economías de producción. Pazner y Schmeidler describen informalmente una PEEEA de la siguiente manera:

"Consideremos el caso en el que hay dos consumidores y dos bienes (pero tengamos en cuenta que cada paso del argumento se traslada a cualquier número de agentes y bienes...). Supongamos que a cada consumidor se le da exactamente la mitad de las dotaciones totales. Esta distribución igualitaria en general no será EP. Consideremos el rayo en el espacio de bienes que va desde el origen a través del vector de dotaciones agregadas. La distribución igualitaria está representada por cada hombre que recibe el mismo paquete a lo largo de este rayo.

Si la distribución igualitaria no es la PE, entonces (por monotonía y continuidad de preferencias) mover a cada hombre ligeramente hacia arriba a lo largo del rayo produce distribuciones de utilidades que aún son factibles, ya que la distribución de utilidad inicial está en el interior del conjunto de posibilidades de utilidad. En particular, si simultáneamente movemos a cada hombre hacia arriba a lo largo del rayo de bienes exactamente de la misma manera, eventualmente llegaremos a una distribución de utilidad que se encuentra en la frontera de posibilidades de utilidad. Esto significa que existe una asignación eficiente en términos de Pareto que es equivalente desde el punto de vista de cada consumidor a la distribución hipotética (no factible) a lo largo del rayo que daría a cada consumidor el mismo paquete (que, al ser estrictamente mayor que la distribución igualitaria de las dotaciones agregadas, en sí misma no es factible). Esta asignación de PE es, por lo tanto, equivalente a la distribución igualitaria en la economía hipotética (más grande que la original)...

El conjunto de asignaciones resultante es lo que llamamos el conjunto de asignaciones Pareto-eficientes y equitativas (PEEEA). Es una restricción del conjunto de Pareto de la economía a aquellas asignaciones que tienen la propiedad de equidad especificada de que su distribución de niveles de utilidad subyacente podría haber sido generada por alguna economía igualitaria.

Relación con el criterio maximin

Como caso especial, supongamos que existe un número finito de bienes homogéneos divisibles. Sea un determinado paquete. Para cada , sea el paquete en el que la cantidad de cada bien es multiplicada por su cantidad en . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle r\in [0,1]}$ ${\displaystyle rW}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle W}$

Supongamos que la relación de preferencia de cada agente está representada por una función de utilidad , que está calibrada de manera que: . Entonces, un caso especial de una asignación de EE es una asignación en la que, para todos los : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}(rW)=r}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})=r}$

En otras palabras, todos los agentes tienen la misma utilidad calibrada. En este caso, la asignación de eficiencia de Pareto (EEEEP) coincide con la asignación maximin , es decir, la asignación que maximiza la utilidad mínima.

Obsérvese que el principio maximin depende de la utilidad numérica. Por lo tanto, no se puede utilizar directamente con relaciones de preferencia ordinales. El principio EE es ordinal y sugiere una forma particular de calibrar las utilidades para que puedan utilizarse con el principio maximin.

En el caso especial en el que se trata del conjunto de todos los recursos (la dotación agregada), una división igualitaria-equivalente también se denomina división equitativa . ${\displaystyle W}$

Hervé Moulin describe este caso especial de la regla EE de la siguiente manera: ^{[4] : 242}

"La solución EE iguala entre los agentes las utilidades medidas a lo largo del "numerario" del conjunto de bienes que se va a dividir. En otras palabras, esta solución otorga a cada participante una asignación que él o ella considera equivalente (con sus propias preferencias) a la misma porción del pastel, donde el "pastel" representa los recursos que se van a dividir y una porción es una reducción homotética del pastel --- es decir, la misma fracción de la cantidad total disponible de cada bien".

Ejemplo

El siguiente ejemplo se basa en ^{[4] : ​​240–243}

• Hay tres ciudades, AB y C.
• Hay un camino de A a B y un camino de B a C.
• Cada carretera puede transportar un total de 100 unidades de tráfico.
• Hay 100 agentes: 40 necesitan pasar tráfico de A a B, 30 de B a C y 30 de A a C.
• La utilidad de cada agente es igual a la cantidad de tráfico que se le permite pasar. Por lo tanto, si un agente obtiene x unidades de AB e y unidades de BC, su utilidad es x (si está en el grupo AB), y (si está en el grupo BC) o min(x,y) (si está en el grupo AC).

La pregunta es ¿cómo dividir las 100 unidades de capacidad de cada vía entre los 100 agentes? A continuación se presentan algunas posibles soluciones.

• Supongamos que damos a cada agente el paquete , es decir, una unidad de cada carretera (por lo que su utilidad es 1). Esta división es igualitaria , pero obviamente no es EP, ya que los agentes AB y los agentes BC pueden mejorar su bienestar intercambiando sus participaciones en las carreteras que no necesitan. ${\displaystyle (x=1,y=1)}$
• Supongamos que queremos dar a cada agente una utilidad de r , para algún . Entonces, tenemos que asignar unidades de AB y unidades de BC. Podemos asignar como máximo 100 unidades de cada carretera; por lo tanto . La división donde los agentes AB obtienen 30/21 unidades de AB, los agentes BC obtienen 30/21 unidades de BC y los agentes AC obtienen 30/21 unidades de ambas carreteras, es equivalente igualitario , ya que cada agente es indiferente entre su parte y la cesta constante . También es una división equitativa , ya que la utilidad normalizada de cada agente es 30/21 Sin embargo, esta división sigue sin ser EP: asigna 100 unidades de AB pero solo 600/7 unidades de BC. ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle 40r+30r}$ ${\displaystyle 30r+30r}$ ${\displaystyle r\leq 100/70=30/21\approx 1.43}$ ${\displaystyle (x=30/21,y=30/21)}$
• Podemos hacer la división anterior PE dando las unidades restantes de BC a los agentes BC; esto mejora su utilidad sin perjudicar a los otros agentes. En la asignación resultante, cada agente es indiferente entre su parte y la cesta constante . Por lo tanto, esta división también es igualitaria-equivalente. Ahora todas las capacidades están asignadas y la división es PE; por lo tanto, este es el PEEEA. Nótese que la asignación resultante es leximin-óptima - maximiza la utilidad de los agentes más pobres, y sujeta a eso, maximiza la utilidad de los otros agentes. ${\displaystyle 40/21\approx 1.90}$ ${\displaystyle (x=30/21,y=40/21)}$

Variante

Consideremos ahora la siguiente variante del ejemplo anterior. Las utilidades de los agentes AB y BC son las mismas que las anteriores, pero la utilidad de los agentes AC al obtener x unidades de AB e y unidades de BC es ahora (x+y)/2 . Nótese que está normalizada de modo que su utilidad por tener una unidad de cada recurso es 1.

• Supongamos que queremos dar a cada agente una utilidad de r , para algún . Entonces tenemos que asignar unidades de AB y unidades de BC, donde . Como hay 100 unidades de cada bien, tenemos . La división donde los agentes AB obtienen 60/39 unidades de AB, los agentes BC obtienen 60/39 unidades de BC y los agentes AC obtienen 50/39 de AB más 70/39 de BC, es EE, ya que cada agente es indiferente entre su parte y la cesta constante . También es equitativa, ya que la utilidad de todos los agentes es 60/39. También es EP, por lo tanto es una PEEEA. Desafortunadamente, no es EF ya que los agentes BC envidian a los agentes AC. Además, la cesta de un agente AC domina la cesta de un agente BC: obtienen más de cada recurso, lo que parece bastante injusto. ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle 40r+30x}$ ${\displaystyle 30r+30y}$ ${\displaystyle x+y=2r}$ ${\displaystyle r\leq 200/130=60/39\approx 1.54}$ ${\displaystyle (x=60/39,y=60/39)}$
• En lugar de tomar una cesta de referencia con cantidades iguales de cada recurso (r, r), podemos tomar una cesta de referencia con cantidades diferentes (r, s). Entonces tenemos que asignar unidades de AB y unidades de BC, donde . Como hay 100 unidades de cada bien, tenemos . Combinando esto con una condición de ausencia de envidia obtenemos . La división donde los agentes AB obtienen 30/21 unidades de AB, los agentes BC obtienen 35/21 unidades de BC y los agentes AC obtienen 30/21 unidades de AB más 35/21 de BC, es EE, ya que cada agente es indiferente entre su parte y la cesta constante . También es PE, por lo que es PEEEA. También es EF, por lo que también es PEEEFA. Sin embargo, no es equitativa: la utilidad relativa de los agentes AB es , de los agentes BC - , y de los agentes AC - . ${\displaystyle 40r+30x}$ ${\displaystyle 30s+30y}$ ${\displaystyle x+y=r+s}$ ${\displaystyle 70r+60s\leq 200}$ ${\displaystyle r=100/70=30/21\approx 1.43,s=100/60=35/21\approx 1.67}$ ${\displaystyle (x=30/21,y=35/21)}$ ${\displaystyle 30/21\approx 1.43}$ ${\displaystyle 35/21\approx 1.67}$ ${\displaystyle 32.5/21\approx 1.54}$

Para resumir: en este ejemplo, un divisor que cree en la importancia de la equivalencia igualitaria debe elegir entre la equidad y la ausencia de envidia.

EE y EF

Cuando hay dos agentes, el conjunto de asignaciones PEEE contiene el conjunto de asignaciones PEEF. La ventaja de las PEEEA es que existen incluso cuando no hay PEEFA. ^[1]

Sin embargo, con tres o más agentes, el conjunto de asignaciones de PE que son tanto EE como EF puede estar vacío. Este es el caso tanto en economías de intercambio con recursos divisibles homogéneos ^[5] como en economías con indivisibilidades. ^[6]

Propiedades

En el caso especial en que el paquete de referencia contiene una fracción constante de cada bien, la regla PEEEA tiene algunas propiedades más deseables: ^{[4] : 248–251}

• Proporcionalidad : cada agente cree que su parte es al menos tan buena como el paquete que contiene cada recurso. ${\displaystyle 1/n}$
• Monotonía poblacional : cuando un agente abandona la escena y los recursos se vuelven a dividir según la misma regla, cada uno de los agentes restantes se encuentra ligeramente en mejor situación.

Sin embargo, carece de algunas otras propiedades deseables:

• ausencia de envidia : aunque todos los agentes creen que su paquete es equivalente al mismo paquete de referencia, aún podrían creer que otro paquete vale más que el suyo.
• monotonía de recursos : cuando hay más recursos disponibles para su asignación y estos se vuelven a dividir según la misma regla, algunos agentes pueden verse en peor situación.

En algunos contextos, la regla PEEEA es equivalente a la solución de negociación Kalai-Smorodinsky . ^{[4] : 275}

Véase también

• Regla igualitaria : una regla general de elección social.
• Reparto igualitario y reparto equitativo : criterios similares en el contexto de la división de un recurso heterogéneo.

Referencias

1. Pazner, Elisha A; Schmeidler, David (1978). "Asignaciones equivalentes igualitarias: un nuevo concepto de equidad económica" (PDF) . The Quarterly Journal of Economics . 92 (4): 671. doi :10.2307/1883182. JSTOR  1883182.
2. Pazner, Elisha A (1977). "Errores en la teoría de la justicia" (PDF) . Journal of Economic Theory . 14 (2): 458–466. doi :10.1016/0022-0531(77)90146-6.
3. Pazner, Elisha A.; Schmeidler, David (1974). "Una dificultad en el concepto de equidad". The Review of Economic Studies . 41 (3): 441–443. doi :10.2307/2296762. JSTOR  2296762.
4. Herve Moulin (2004). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.
5. Postlewaite, en Daniel, Terrence E (1978). "Errores en la teoría de la equidad: comentario". Journal of Economic Theory . 19 (2): 561–564. doi :10.1016/0022-0531(78)90112-6.
6. Thomson, William (1990). "Sobre la inexistencia de asignaciones libres de envidia y equivalentes a la igualdad en economías con indivisibilidades". Economics Letters . 34 (3): 227–229. doi :10.1016/0165-1765(90)90121-G.