Gobierno igualitario

Regla de decisión rawlsiana para la elección social

En la elección social y la investigación de operaciones , la regla igualitaria (también llamada regla de máximo-mínimo o regla rawlsiana ) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, la sociedad debe elegir la alternativa que maximice la utilidad mínima de todos los individuos de la sociedad. Es una representación matemática formal de la filosofía igualitaria . También corresponde al principio de John Rawls de maximizar el bienestar del individuo más desfavorecido. ^[1]

Definición

Sea un conjunto de posibles "estados del mundo" o "alternativas". La sociedad desea elegir un único estado entre . Por ejemplo, en una elección con un solo ganador , puede representar el conjunto de candidatos; en un contexto de asignación de recursos , puede representar todas las asignaciones posibles. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea un conjunto finito que representa una colección de individuos. Para cada , sea una función de utilidad que describe la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos para seleccionar uno o más elementos que sean "mejores" para la sociedad. La cuestión de qué significa "mejor" es la cuestión básica de la teoría de la elección social . La regla igualitaria selecciona un elemento que maximiza la utilidad mínima , es decir, resuelve el siguiente problema de optimización: ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \max _{x\in X}\min _{i\in I}u_{i}(x).}$

Regla de Leximin

A menudo, hay muchos estados diferentes con la misma utilidad mínima. Por ejemplo, un estado con perfil de utilidad (0,100,100) tiene el mismo valor mínimo que un estado con perfil de utilidad (0,0,0). En este caso, la regla igualitaria a menudo utiliza el orden leximin , es decir: sujeto a maximizar la utilidad más pequeña, apunta a maximizar la siguiente utilidad más pequeña; sujeto a eso, maximizar la siguiente utilidad más pequeña, y así sucesivamente.

Por ejemplo, supongamos que hay dos individuos - Alice y George - y tres estados posibles: el estado x le da una utilidad de 2 a Alice y de 4 a George; el estado y le da una utilidad de 9 a Alice y de 1 a George; y el estado z le da una utilidad de 1 a Alice y de 8 a George. Entonces el estado x es leximin-óptimo, ya que su perfil de utilidad es (2,4) que es leximin-mayor que el de y (9,1) y z (1,8).

La regla igualitaria reforzada con el orden leximin a menudo se denomina regla leximin , para distinguirla de la regla máximo-mínimo más simple.

La regla leximin para la elección social fue introducida por Amartya Sen en 1970, ^[1] y analizada en profundidad en muchos libros posteriores. ^{[2] [3] [4] [5] : sub.2.5  [6]}

Propiedades

Ineficiencia de Pareto

La regla leximin es eficiente en el sentido de Pareto si los resultados de cada decisión se conocen con absoluta certeza. Sin embargo, según el teorema utilitarista de Harsanyi, cualquier función leximin es ineficiente en el sentido de Pareto para una sociedad que debe hacer concesiones en condiciones de incertidumbre: existen situaciones en las que todas las personas de una sociedad estarían en mejor situación (ex ante) si aceptaran una determinada apuesta, pero la regla leximin la rechazaría (porque alguna persona podría verse en peor situación ex post).

Propiedad de Pigou-Dalton

La regla leximin satisface el principio de Pigou-Dalton , es decir: si la utilidad se "mueve" de un agente con más utilidad a un agente con menos utilidad, y como resultado, la diferencia de utilidad entre ellos se vuelve más pequeña, entonces se prefiere la alternativa resultante.

Además, la regla leximin es la única regla de ordenamiento del bienestar social que satisface simultáneamente las tres propiedades siguientes: ^{[5] : 266}

1. Eficiencia de Pareto;
2. Principio de Pigou-Dalton;
3. Independencia del ritmo de utilidad común: si todas las utilidades se transforman mediante una función común monótonamente creciente, entonces el orden de las alternativas permanece igual.

Asignación igualitaria de recursos

La regla igualitaria es particularmente útil como regla para la división justa . En este contexto, el conjunto representa todas las asignaciones posibles y el objetivo es encontrar una asignación que maximice la utilidad mínima, o el vector leximin. Esta regla se ha estudiado en varios contextos: ${\displaystyle X}$

• División de un único recurso homogéneo ;
• Problema de suma de subconjuntos justos ; ^[7]
• Corte de pastel igualitario ;
• Asignación igualitaria de artículos.
• Negociación igualitaria (leximin). ^[8]

Véase también

• Regla utilitarista : una regla diferente que enfatiza la suma de utilidades en lugar de la utilidad más pequeña.
• Regla proporcional-justa
• Programación justa de máximos y mínimos : equidad de máximos y mínimos en la programación de procesos.
• Arrepentimiento (teoría de la decisión)
• Modelo maximin de Wald

Referencias

1. Sen, Amartya (20 de febrero de 2017). Elección colectiva y bienestar social. Harvard University Press. doi :10.4159/9780674974616. ISBN 978-0-674-97461-6.
2. D'Aspremont, Claude; Gevers, Louis (1977). "Equidad y la base informativa de la elección colectiva". The Review of Economic Studies . 44 (2): 199–209. doi :10.2307/2297061. ISSN  0034-6527. JSTOR  2297061.
3. Kolm, Serge-Christophe (2002). Justicia y equidad. MIT Press. ISBN 978-0-262-61179-4.
4. Moulin, Herve (26 de julio de 1991). Axiomas de la toma de decisiones cooperativa. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42458-5.
5. Herve Moulin (2004). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.
6. Bouveret, Sylvain; Lemaître, Michel (1 de febrero de 2009). "Cálculo de soluciones óptimas de leximin en redes con restricciones". Inteligencia artificial . 173 (2): 343–364. doi : 10.1016/j.artint.2008.10.010 . ISSN  0004-3702.
7. Nicosia, Gaia; Pacifici, Andrea; Pferschy, Ulrich (16 de marzo de 2017). "Precio de equidad para asignar un recurso limitado". Revista Europea de Investigación Operativa . 257 (3): 933–943. arXiv : 1508.05253 . doi :10.1016/j.ejor.2016.08.013. ISSN  0377-2217. S2CID  14229329.
8. Imai, Haruo (1983). "Monotonicidad individual y solución lexicográfica de Maxmin". Econometrica . 51 (2): 389–401. doi :10.2307/1911997. ISSN  0012-9682. JSTOR  1911997.