En matemáticas , una función de identidad , también llamada relación de identidad , mapa de identidad o transformación de identidad , es una función que siempre devuelve el valor que se utilizó como argumento , sin cambios. Es decir, cuando f es la función identidad, la igualdad f ( x ) = x es verdadera para todos los valores de x a los que se puede aplicar f .
Formalmente, si X es un conjunto , la función identidad f en X se define como una función con X como dominio y codominio , satisfaciendo
En otras palabras, el valor de la función f ( x ) en el codominio X es siempre el mismo que el elemento de entrada x en el dominio X. La función de identidad en X es claramente una función inyectiva así como una función sobreyectiva (su codominio es también su rango ), por lo que es biyectiva . [2]
La función de identidad f en X a menudo se denota por id X.
En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función de identidad viene dada por la relación de identidad , o diagonal de X. [3]
Si f : X → Y es cualquier función, entonces f ∘ id X = f = id Y ∘ f , donde "∘" denota la composición de la función . [4] En particular, id X es el elemento de identidad del monoide de todas las funciones de X a X (bajo composición de funciones).
Dado que el elemento de identidad de un monoide es único , [5] alternativamente se puede definir la función de identidad en M como este elemento de identidad. Tal definición se generaliza al concepto de morfismo de identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de M no necesitan ser funciones.
...entonces el conjunto diagonal determinado por M es la relación de identidad...
El elemento 0 generalmente se denomina elemento de identidad y, si existe, es único.
vemos que un elemento de identidad de un semigrupo es idempotente.