Prostaféresis

Approximate multiplication and division using formulas from trigonometry

La prosthaphaeresis (del griego προσθαφαίρεσις ) fue un algoritmo utilizado a finales del siglo XVI y principios del XVII para la multiplicación y división aproximada utilizando fórmulas de trigonometría . Durante los 25 años que precedieron a la invención del logaritmo en 1614, fue la única forma conocida de aplicación general para aproximar productos rápidamente. Su nombre proviene del griego prótesis (πρόσθεσις) y aféresis (ἀφαίρεσις), que significa suma y resta, dos pasos del proceso. ^{[1] [2]}

Historia y motivación

Un triángulo esférico

En la Europa del siglo XVI, la navegación celeste de barcos en viajes largos dependía en gran medida de efemérides para determinar su posición y rumbo. Estos voluminosos mapas preparados por astrónomos detallaban la posición de estrellas y planetas en varios momentos en el tiempo. Los modelos utilizados para calcularlos se basaron en trigonometría esférica , que relaciona los ángulos y las longitudes de arco de triángulos esféricos (ver diagrama a la derecha) usando fórmulas como

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha }$

y

${\displaystyle \sin b\sin \alpha =\sin a\sin \beta ,}$

donde a , byc son los ángulos subtendidos en el centro de la esfera por los arcos correspondientes.

Cuando se desconoce una cantidad en una fórmula de este tipo pero se conocen las demás, la cantidad desconocida se puede calcular mediante una serie de multiplicaciones, divisiones y búsquedas en tablas trigonométricas. Los astrónomos tuvieron que hacer miles de cálculos de este tipo y, como el mejor método de multiplicación disponible era la multiplicación larga , la mayor parte de este tiempo se dedicó a multiplicar productos.

Los matemáticos, particularmente aquellos que también eran astrónomos, buscaban una manera más fácil, y la trigonometría era uno de los campos más avanzados y familiares para estas personas. La prosthaphaeresis apareció en la década de 1580, pero no se conoce con certeza a su creador; ^[3] Entre sus colaboradores se encontraban los matemáticos Ibn Yunis , Johannes Werner , Paul Wittich , Joost Bürgi , Christopher Clavius ​​y François Viète . Wittich, Yunis y Clavius ​​eran todos astrónomos y diversas fuentes les atribuyen el descubrimiento del método. Su defensor más conocido fue Tycho Brahe , quien lo utilizó ampliamente para cálculos astronómicos como los descritos anteriormente. También fue utilizado por John Napier , a quien se le atribuye la invención de los logaritmos que lo suplantarían.

Nicolás Copérnico menciona la "prostaféresis" varias veces en su obra De Revolutionibus Orbium Coelestium de 1543 , es decir, el "gran paralaje" causado por el desplazamiento del observador debido al movimiento anual de la Tierra.

las identidades

Las identidades trigonométricas explotadas por la prostaféresis relacionan productos de funciones trigonométricas con sumas. Incluyen lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\sin b&={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\cos a\cos b&={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}\\[6pt]\sin a\cos b&={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}\\[6pt]\cos a\sin b&={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}\end{aligned}}}$

Se cree que los dos primeros fueron derivados de Jost Bürgi , ^{[ cita necesaria ]} quien los relacionó con [¿Tycho?] Brahe; ^{[ cita necesaria ]} los demás se siguen fácilmente de estos dos. Si ambos lados se multiplican por 2, estas fórmulas también se llaman fórmulas de Werner .

el algoritmo

Usando la segunda fórmula anterior, la técnica de multiplicación de dos números funciona de la siguiente manera:

1. Reducir escala : al desplazar el punto decimal hacia la izquierda o hacia la derecha, escale ambos números a valores entre y , a los que se hará referencia como y . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos \beta }$
2. Coseno inverso : Usando una tabla de cosenos inversos, encuentra dos ángulos y cuyos cosenos son nuestros dos valores. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
3. Suma y diferencia : Encuentra la suma y la diferencia de los dos ángulos.
4. Promedia los cosenos : encuentra los cosenos de los ángulos suma y diferencia usando una tabla de cosenos y promedialos, obteniendo (de acuerdo con la segunda fórmula anterior) el producto . ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$
5. Ampliar : cambie el lugar decimal en la respuesta el número combinado de lugares que hemos cambiado el decimal en el primer paso para cada entrada, pero en la dirección opuesta.

Por ejemplo, digamos que queremos multiplicar y . Siguiendo los pasos: ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$

1. Reducir escala : desplaza el punto decimal tres lugares hacia la izquierda en cada uno. Obtenemos y . ${\displaystyle \cos \alpha =0.105}$ ${\displaystyle \cos \beta =0.720}$
2. Coseno inverso : es aproximadamente 0,105 y es aproximadamente . ${\displaystyle \cos 84^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos 44^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.720}$
3. Suma y diferencia : , y . ${\displaystyle 84+44=128}$ ${\displaystyle 84-44=40}$
4. Promediar los cosenos : es aproximadamente . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 128^{\circ }+\cos 40^{\circ })}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-0.616+0.766)=0.075}$
5. Ampliar : para cada uno de y desplazamos el punto decimal tres lugares hacia la izquierda, por lo que en la respuesta desplazamos seis lugares hacia la derecha. El resultado es . Esto está muy cerca del producto real (un error porcentual de ≈0,8%). ${\displaystyle 105}$ ${\displaystyle 720}$ ${\displaystyle 75\,000}$ ${\displaystyle 75\,600}$

Si queremos el producto de los cosenos de los dos valores iniciales, que es útil en algunos de los cálculos astronómicos mencionados anteriormente, esto es sorprendentemente aún más fácil: sólo son necesarios los pasos 3 y 4 anteriores.

Para dividir, utilizamos la definición de secante como el recíproco del coseno. Para dividir por , escalamos los números a y . El coseno de es . Luego usa una tabla de secantes para saber cuál es la secante de . Esto significa que es el coseno de y, por lo tanto, podemos multiplicarlo utilizando el procedimiento anterior. Promediar el coseno de la suma de los ángulos, , con el coseno de su diferencia, , ${\displaystyle 3500}$ ${\displaystyle 70}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 7.0}$ ${\displaystyle 69.5^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }}$ ${\displaystyle 1/7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }}$ ${\displaystyle 0.35}$ ${\displaystyle 1/7.0}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }+69.5^{\circ }=151.3^{\circ }}$ ${\displaystyle 81.8^{\circ }-69.5^{\circ }=12.3^{\circ }}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\cos 151^{\circ }+\cos 12.3^{\circ })\approx {\tfrac {1}{2}}(-0.877+0.977)=0.050.}$

Ampliar para localizar el punto decimal da la respuesta aproximada, . ${\displaystyle 50}$

Los algoritmos que utilizan las otras fórmulas son similares, pero cada uno utiliza tablas diferentes (seno, seno inverso, coseno y coseno inverso) en diferentes lugares. Los dos primeros son los más fáciles porque cada uno sólo requiere dos tablas. Sin embargo, el uso de la segunda fórmula tiene la ventaja única de que si solo se dispone de una tabla de cosenos, se puede utilizar para estimar cosenos inversos buscando el ángulo con el valor de coseno más cercano.

Observe cuán similar es el algoritmo anterior al proceso para multiplicar usando logaritmos, que sigue estos pasos: reducir, tomar logaritmos, sumar, tomar logaritmo inverso, aumentar. No sorprende que los creadores de los logaritmos hubieran utilizado la prostaféresis. De hecho, los dos están estrechamente relacionados matemáticamente. En términos modernos, se puede considerar que la prostaféresis se basa en el logaritmo de números complejos, en particular en la fórmula de Euler.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Disminuyendo el error

Si todas las operaciones se realizan con alta precisión, el producto puede ser tan preciso como se desee. Aunque las sumas, diferencias y promedios son fáciles de calcular con alta precisión, incluso a mano, las funciones trigonométricas y especialmente las funciones trigonométricas inversas no lo son. Por esta razón, la precisión del método depende en gran medida de la exactitud y detalle de las tablas trigonométricas utilizadas.

Por ejemplo, una tabla de senos con una entrada para cada grado puede tener una desviación de hasta 0,0087 si simplemente redondeamos un ángulo al grado más cercano ; cada vez que duplicamos el tamaño de la tabla (por ejemplo, al dar entradas para cada medio grado en lugar de para cada grado), reducimos este error a la mitad. Se construyeron minuciosamente tablas para la prostaféresis con valores por cada segundo, o 3600 de grado.

Las funciones seno y coseno inversas son particularmente problemáticas porque se vuelven pronunciadas cerca de −1 y 1. Una solución es incluir más valores de tabla en esta área. Otra es escalar las entradas a números entre −0,9 y 0,9. Por ejemplo, 950 se convertiría en 0,095 en lugar de 0,950.

Otro enfoque eficaz para mejorar la precisión es la interpolación lineal , que elige un valor entre dos valores de la tabla adyacentes. Por ejemplo, si sabemos que el seno de 45° es aproximadamente 0,707 y el seno de 46° es aproximadamente 0,719, podemos estimar el seno de 45,7° como 0,707 × (1 − 0,7) + 0,719 × 0,7 = 0,7154. El seno real es 0,7157. Una tabla de cosenos con sólo 180 entradas combinada con interpolación lineal es tan precisa como una tabla con aproximadamente45.000 entradas sin él. Incluso una estimación rápida del valor interpolado suele ser mucho más cercana que el valor de la tabla más cercano. Consulte la tabla de búsqueda para obtener más detalles.

Identidades inversas

Las fórmulas de los productos también se pueden manipular para obtener fórmulas que expresen la suma en términos de multiplicación. Aunque son menos útiles para productos informáticos, siguen siendo útiles para derivar resultados trigonométricos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a+\sin b&=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\sin a-\sin b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a+\cos b&=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)\\[5pt]\cos a-\cos b&=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Ver también

• Regla de cálculo

Referencias

1. Pierce, RC, Jr. (enero de 1977). "Una breve historia de los logaritmos". Revista universitaria de matemáticas de dos años . Asociación Matemática de América. 8 (1): 22–26. doi :10.2307/3026878. JSTOR  3026878.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Prostaféresis, por Brian Borchers
3. Thoren, Víctor E. (1988). "Prostaféresis revisada". Historia Matemática . 15 (1): 32–39. doi : 10.1016/0315-0860(88)90047-X .

enlaces externos

• Fórmulas de prostaféresis
• Daniel E. Otero Henry Briggs Archivado el 22 de mayo de 2005 en Wayback Machine . Introducción: la necesidad de rapidez en el cálculo.
• Mathworld: fórmulas de prosthaféresis
• Adán Mosley. Tycho Brahe y las técnicas matemáticas. Universidad de Cambridge.
• Sociedad de Computación IEEE. Historia de la informática: John Napier y la invención de los logaritmos.
• Palabras matemáticas: prostaféresis
• Beatriz Lumpkin. Contribuciones africanas y afroamericanas a las matemáticas Archivado el 26 de octubre de 2020 en Wayback Machine . Analiza la contribución de Ibn Yunis a la prosthaféresis.
• Prostaféresis y fenómeno del latido en la teoría de las vibraciones, por Nicholas J. Rose