Cambio relativo

Comparaciones en las ciencias cuantitativas

En cualquier ciencia cuantitativa , los términos cambio relativo y diferencia relativa se utilizan para comparar dos cantidades teniendo en cuenta los "tamaños" de las cosas que se comparan, es decir, dividiendo por un estándar o valor de referencia o de partida . ^[1] La comparación se expresa como una razón y es un número sin unidades . Al multiplicar estas razones por 100 se pueden expresar como porcentajes , por lo que los términos cambio porcentual , diferencia porcentual o diferencia porcentual relativa también se utilizan comúnmente. Los términos "cambio" y "diferencia" se utilizan indistintamente. ^[2]

El cambio relativo se utiliza a menudo como indicador cuantitativo de garantía y control de calidad para mediciones repetidas en las que se espera que los resultados sean los mismos. Un caso especial de cambio porcentual (cambio relativo expresado como porcentaje) llamado error porcentual se produce en situaciones de medición en las que el valor de referencia es el valor aceptado o real (quizás determinado teóricamente) y el valor que se compara con él se determina experimentalmente (mediante medición).

La fórmula de cambio relativo no se comporta bien en muchas condiciones. En la literatura se han propuesto varias fórmulas alternativas, llamadas indicadores de cambio relativo . Varios autores han encontrado que el logaritmo del cambio y los puntos logarítmicos son indicadores satisfactorios, pero su uso no se ha generalizado. ^[3]

Definición

Dadas dos cantidades numéricas, v _ref y v con v _ref algún valor de referencia, su cambio real , diferencia real o cambio absoluto es

Δ v = v − v _ref .

El término diferencia absoluta también se utiliza a veces aunque no se tome el valor absoluto; el signo de Δ normalmente es uniforme, por ejemplo, en una serie de datos creciente. Si la relación del valor con respecto al valor de referencia (es decir, mayor o menor) no importa en una aplicación particular, se puede utilizar el valor absoluto en lugar del cambio real en la fórmula anterior para producir un valor para el cambio relativo que siempre sea no negativo. La diferencia real no suele ser una buena forma de comparar los números, en particular porque depende de la unidad de medida. Por ejemplo,1  m es lo mismo que100  cm , pero la diferencia absoluta entre2 y 1 m es 1 mientras que la diferencia absoluta entre200 y 100 cm son 100, lo que da la impresión de una diferencia mayor. ^[4] Pero incluso con unidades constantes, el cambio relativo ayuda a juzgar la importancia del cambio respectivo. Por ejemplo, un aumento en el precio de100 dólares de un objeto valioso se considera grande si se cambia deEntre 50 y 150 dólares , pero bastante poco cuando se cambia de$10,000 a 10,100 .

Podemos ajustar la comparación para tener en cuenta el "tamaño" de las cantidades involucradas, definiendo, para valores positivos de v _ref :

$${\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v}{v_{\text{ref}}}}-1.}$$

El cambio relativo es independiente de la unidad de medida empleada; por ejemplo, el cambio relativo de2 a 1  m es−50% , lo mismo que para200 a 100 cm . El cambio relativo no está definido si el valor de referencia ( v _ref ) es cero, y da valores negativos para aumentos positivos si v _ref es negativo, por lo tanto, tampoco suele estar definido para valores de referencia negativos. Por ejemplo, podríamos querer calcular el cambio relativo de −10 a −6. La fórmula anterior da ⁠(−6) − (−10)/-10⁠ = ⁠4/-10⁠ = −0,4 , lo que indica una disminución, aunque en realidad la lectura aumentó.

Las medidas de cambio relativo son números sin unidades expresados ​​como fracción . Los valores correspondientes de cambio porcentual se obtendrían multiplicando estos valores por 100 (y agregando el signo % para indicar que el valor es un porcentaje).

Dominio

La restricción del dominio del cambio relativo a números positivos suele plantear una restricción. Para evitar este problema, es habitual tomar el valor absoluto, de modo que la fórmula del cambio relativo funcione correctamente para todos los valores distintos de cero de v _ref :

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}$$

Esto no resuelve el problema cuando la referencia es cero. Es común utilizar en su lugar un indicador de cambio relativo y tomar los valores absolutos tanto de v como de . En ese caso, el único caso problemático es , que normalmente se puede solucionar ampliando adecuadamente el indicador. Por ejemplo, para la media aritmética se puede utilizar esta fórmula: ^[5] ${\displaystyle v_{\text{reference}}}$ ${\displaystyle v=v_{\text{reference}}=0}$ $${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}$$

Porcentaje de error

El error porcentual es un caso especial de la forma porcentual del cambio relativo calculado a partir del cambio absoluto entre los valores experimentales (medidos) y teóricos (aceptados), y dividiendo por el valor teórico (aceptado).

$${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Los términos "experimental" y "teórico" utilizados en la ecuación anterior se suelen sustituir por términos similares. Otros términos utilizados para " experimental " podrían ser "medido", "calculado" o "real", y otro término utilizado para "teórico " podría ser "aceptado". El valor experimental es lo que se ha obtenido mediante el uso de cálculos y/o mediciones y cuya precisión se ha probado en comparación con el valor teórico, un valor que es aceptado por la comunidad científica o un valor que podría considerarse como una meta para un resultado exitoso.

Aunque es una práctica común utilizar la versión de valor absoluto del cambio relativo cuando se habla de error porcentual, en algunas situaciones puede ser beneficioso eliminar los valores absolutos para proporcionar más información sobre el resultado. Por lo tanto, si un valor experimental es menor que el valor teórico, el error porcentual será negativo. Este resultado negativo proporciona información adicional sobre el resultado experimental. Por ejemplo, calcular experimentalmente la velocidad de la luz y obtener un error porcentual negativo indica que el valor experimental es una velocidad menor que la velocidad de la luz. Esta es una gran diferencia con obtener un error porcentual positivo, lo que significa que el valor experimental es una velocidad mayor que la velocidad de la luz (violando la teoría de la relatividad ) y es un resultado de interés periodístico.

La ecuación de error porcentual, cuando se reescribe eliminando los valores absolutos, se convierte en: $${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Es importante tener en cuenta que los dos valores del numerador no se conmutan . Por lo tanto, es fundamental conservar el orden indicado anteriormente: restar el valor teórico del valor experimental y no al revés.

Cambio porcentual

Un cambio porcentual es una forma de expresar un cambio en una variable. Representa el cambio relativo entre el valor anterior y el nuevo. ^[6]

Por ejemplo, si una casa vale hoy 100.000 dólares y al año siguiente su valor sube a 110.000 dólares, el cambio porcentual de su valor se puede expresar como $${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$$

Se puede decir entonces que el valor de la casa aumentó un 10%.

De manera más general, si V ₁ representa el valor antiguo y V ₂ el nuevo, $${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

Algunas calculadoras admiten esto directamente a través de una función %CHo .Δ%

Cuando la variable en cuestión es en sí misma un porcentaje, es mejor hablar de su cambio utilizando puntos porcentuales , para evitar confusiones entre diferencia relativa y diferencia absoluta .

Ejemplo de porcentajes de porcentajes

Si un banco aumentara el tipo de interés de una cuenta de ahorros del 3% al 4%, la afirmación de que "el tipo de interés se incrementó en un 1%" sería incorrecta y engañosa. El cambio absoluto en esta situación es de 1 punto porcentual (4% - 3%), pero el cambio relativo en el tipo de interés es: $${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$$

En general, el término "punto(s) porcentual(es)" indica un cambio absoluto o diferencia de porcentajes, mientras que el signo de porcentaje o la palabra "porcentaje" se refieren al cambio o diferencia relativa. ^[7]

Ejemplos

Comparaciones

El coche M cuesta $50.000 y el coche L cuesta $40.000. Queremos comparar estos costos. ^[8] Con respecto al coche L , la diferencia absoluta es $10.000 = $50.000 − $40.000 . Es decir, el coche M cuesta $10.000 más que el coche L . La diferencia relativa es, y decimos que el coche M cuesta un 25% más que el coche L . También es común expresar la comparación como una razón, que en este ejemplo es, y decimos que el coche M cuesta el 125% del coste del coche L . $${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$$ $${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$$

En este ejemplo, el costo del automóvil L se consideró el valor de referencia, pero podríamos haber hecho la elección al revés y haber considerado el costo del automóvil M como valor de referencia. La diferencia absoluta es ahora -$10,000 = $40,000 - $50,000 ya que el automóvil L cuesta $10,000 menos que el automóvil M. La diferencia relativa también es negativa ya que el automóvil L cuesta 20% menos que el automóvil M. La forma de proporción de la comparación dice que el automóvil L cuesta 80% de lo que cuesta el automóvil M. $${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$$ $${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$$

Es el uso de las palabras "de" y "menos/más que" lo que distingue entre proporciones y diferencias relativas. ^[9]

Indicadores de cambio relativo

El cambio relativo (clásico) mencionado anteriormente es sólo una de las posibles medidas/indicadores de cambio relativo. Un indicador de cambio relativo de x (valor inicial o de referencia) a y (valor nuevo) es una función binaria de valor real definida para el dominio de interés que satisface las siguientes propiedades: ^[10] ${\displaystyle R(x,y)}$

• Señal apropiada: ${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• R es una función creciente de y cuando x es fijo.
• R es continua.
• Independiente de la unidad de medida: para todos , . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$
• Normalizado: ${\displaystyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

La condición de normalización está motivada por la observación de que R escalado por una constante aún satisface las otras condiciones además de la normalización. Además, debido a la condición de independencia, cada R puede escribirse como una función de argumento único H de la relación . ^[11] La condición de normalización es entonces que . Esto implica que todos los indicadores se comportan como el clásico cuando está cerca de ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle H'(1)=1}$ ${\displaystyle y/x}$1 .

Generalmente, el indicador de cambio relativo se presenta como el cambio real Δ escalado por alguna función de los valores x e y , digamos f ( x , y ) . ^[2]

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

Al igual que con el cambio relativo clásico, el cambio relativo general no está definido si f ( x , y ) es cero. Se han propuesto varias opciones para la función f ( x , y ) : ^[12]

Como se puede ver en la tabla, todos los indicadores, excepto los dos primeros, tienen como denominador una media . Una de las propiedades de una función media es: ^[12] , lo que significa que todos esos indicadores tienen una propiedad de "simetría" de la que carece el cambio relativo clásico: . Esto concuerda con la intuición de que un cambio relativo de x a y debería tener la misma magnitud que un cambio relativo en la dirección opuesta, y a x , tal como sugiere la relación. ${\displaystyle m(x,y)}$ ${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$ ${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}$

Se ha recomendado el cambio máximo de media al comparar valores de punto flotante en lenguajes de programación para la igualdad con una cierta tolerancia. ^[13] Otra aplicación es en el cálculo de errores de aproximación cuando se requiere el error relativo de una medición. ^{[ cita requerida ]} Se ha recomendado el cambio mínimo de media para su uso en econometría. ^{[14] [15]} Se ha recomendado el cambio logarítmico como un reemplazo de propósito general para el cambio relativo y se analiza más adelante.

Tenhunen define una función de diferencia relativa general de L (valor de referencia) a K : ^[16] $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

Lo que conduce a

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

En particular para los casos especiales , ${\displaystyle c=\pm 1}$

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

Cambio logarítmico

De estos indicadores de cambio relativo, el más natural es, sin duda, el logaritmo natural (ln) del cociente de los dos números (final e inicial), llamado logaritmo del cambio . ^[2] De hecho, cuando , se cumple la siguiente aproximación: ${\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$ $${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}$$

De la misma manera que el cambio relativo se escala por 100 para obtener porcentajes, se puede escalar por 100 para obtener lo que comúnmente se llama puntos logarítmicos . ^[17] Los puntos logarítmicos son equivalentes a la unidad centineper (cNp) cuando se miden para cantidades de potencia raíz. ^{[18] [19]} Esta cantidad también se ha denominado porcentaje logarítmico y se ha denotado L% . ^[2] Dado que la derivada del logaritmo natural en 1 es 1, los puntos logarítmicos son aproximadamente iguales al cambio porcentual para pequeñas diferencias; por ejemplo, un aumento del 1% equivale a un aumento de 0,995 cNp, y un aumento del 5% da un aumento de 4,88 cNp. Esta propiedad de aproximación no se cumple para otras opciones de base logarítmica, que introducen un factor de escala debido a que la derivada no es 1. Por lo tanto, los puntos logarítmicos se pueden utilizar como reemplazo del cambio porcentual. ^{[20] [18]} ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$

Aditividad

El uso del cambio logarítmico tiene las ventajas de la aditividad en comparación con el cambio relativo. ^{[2] [18]} En concreto, cuando se utiliza el cambio logarítmico, el cambio total después de una serie de cambios es igual a la suma de los cambios. Con el porcentaje, la suma de los cambios es solo una aproximación, con un error mayor para cambios mayores. ^[18] Por ejemplo:

Obsérvese que en la tabla anterior, dado que el cambio relativo 0 (respectivamente, el cambio relativo 1 ) tiene el mismo valor numérico que el cambio logarítmico 0 (respectivamente, el cambio logarítmico 1 ), no corresponde a la misma variación. La conversión entre cambios relativos y logarítmicos se puede calcular como . ${\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}$

Por aditividad, , y por lo tanto la aditividad implica una especie de propiedad de simetría, es decir y por lo tanto la magnitud de un cambio expresado en cambio logarítmico es la misma ya sea que se elija V ₀ o V ₁ como referencia. ^[18] En contraste, para el cambio relativo, , con la diferencia haciéndose más grande a medida que V ₁ o V ₀ se acerca a 0 mientras que el otro permanece fijo. Por ejemplo: ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}$ ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}$

Aquí 0+ ^significa tomar el límite desde arriba hacia 0.

Unicidad y extensiones

El cambio logarítmico es la única función de dos variables que es aditiva y cuya linealización coincide con el cambio relativo. Existe una familia de funciones de diferencia aditivas para cualquier , tales que el cambio absoluto es y el cambio logarítmico es . ^[21] ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Véase también

• Error de aproximación
• Errores y residuos en estadística
• Desviación estándar relativa
• Escala logarítmica

Notas

1. «IEC 60050 — Detalles del número IEV 112-03-07: "relativo"». Vocabulario electrotécnico internacional (en japonés) . Consultado el 24 de septiembre de 2023 .
2. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985.
3. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985, p. 11: "Sugerimos que este indicador se utilice más ampliamente".
4. Vartia 1976, pág. 9.
5. Miller, H. Ronald (29 de marzo de 2011). Optimización: fundamentos y aplicaciones. Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03118-6.
6. Kazmi, Kumail (26 de marzo de 2021). "Calculadora de aumento porcentual". Smadent: el mejor sitio web educativo de Pakistán . Smadent Publishing . Consultado el 26 de marzo de 2021 .
7. Bennett y Briggs 2005, pág. 141
8. Bennett y Briggs 2005, págs. 137-139
9. Bennett y Briggs 2005, pág. 140
10. Vartia 1976, pág. 10.
11. Vartia 1976, pág. 14.
12. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985, p. 5.
13. ¿Cuál es una buena forma de comprobar si hay una igualdad de punto flotante lo suficientemente cercana?
14. Rao, Potluri; Miller, Roger LeRoy (1971). Econometría aplicada. Belmont, California, Wadsworth Pub. Co. pág. 17. ISBN 978-0-534-00031-8.
15. Vartia 1976, págs. 17-18.
16. Tenhunen 1990, pág. 20.
17. Békés, Gábor; Kézdi, Gábor (6 de mayo de 2021). Análisis de datos para empresas, economía y políticas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 203.ISBN​ 978-1-108-48301-8.
18. Karjus, Andres; Blythe, Richard A.; Kirby, Simon; Smith, Kenny (10 de febrero de 2020). "Cuantificación de la dinámica de las fluctuaciones temáticas en el lenguaje". Dinámica y cambio del lenguaje . 10 (1). Sección A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID  46928080.
19. Roe, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (26 de abril de 2018). Matemáticas para la sostenibilidad. Springer. pág. 190. doi :10.1007/978-3-319-76660-7_4. ISBN 978-3-319-76660-7.
20. Doyle, Patrick (24 de agosto de 2016). "El caso de una métrica de rendimiento logarítmica". Vena Solutions .
21. Brauen, Silvan; Erpf, Philipp; Wasem, Micha (2020). "Sobre el cambio absoluto y relativo". Revista Electrónica SSRN . arXiv : 2011.14807 . doi :10.2139/ssrn.3739890. S2CID  227228720.

Referencias

• Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas: un enfoque de razonamiento cuantitativo (3.ª ed.), Boston: Pearson, ISBN 0-321-22773-5
• "Comprensión de la medición y la representación gráfica" (PDF) . Universidad Estatal de Carolina del Norte . 2008-08-20. Archivado desde el original (PDF) el 2010-06-15 . Consultado el 2010-05-05 .
• "Diferencia porcentual – Error porcentual" (PDF) . Universidad Estatal de Illinois, Departamento de Física. 2004-07-20. Archivado desde el original (PDF) el 2019-07-13 . Consultado el 2010-05-05 .
• Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985), "¿Cómo deberían medirse los cambios relativos?" (PDF) , The American Statistician , 39 (1): 43–46, doi :10.2307/2683905, JSTOR  2683905
• Tenhunen, Lauri (1990). Las técnicas de producción CES y par, la distribución del ingreso y la teoría neoclásica de la producción (PhD). A. Vol. 290. Universidad de Tampere.
• Vartia, Yrjö O. (1976). Cambios relativos y números índice (PDF) . ETLA A 4. Helsinki: Instituto de Investigación de la Economía Finlandesa. ISBN 951-9205-24-1. Recuperado el 20 de noviembre de 2022 .