La identidad de Parseval

La energía de una función periódica es la misma en el dominio del tiempo y de la frecuencia.

En análisis matemático , la identidad de Parseval , llamada así por Marc-Antoine Parseval , es un resultado fundamental sobre la sumabilidad de la serie de Fourier de una función. La identidad afirma la igualdad de la energía de una señal periódica (dada como la integral de la amplitud al cuadrado de la señal) y la energía de su representación en el dominio de frecuencia (dada como la suma de los cuadrados de las amplitudes). Geométricamente, es un teorema de Pitágoras generalizado para espacios de producto interno (que pueden tener una infinidad incontable de vectores base).

La identidad afirma que la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función, donde los coeficientes de Fourier de están dados por $${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.}$$

El resultado se cumple como se indica siempre que sea una función integrable al cuadrado o, más generalmente, en el espacio L p Un resultado similar es el teorema de Plancherel , que afirma que la integral del cuadrado de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función misma. En una dimensión, para ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}$$

Generalización del teorema de Pitágoras

La identidad está relacionada con el teorema de Pitágoras en el contexto más general de un espacio de Hilbert separable de la siguiente manera. Supongamos que es un espacio de Hilbert con producto interno Sea una base ortonormal de ; es decir, el espacio lineal de es denso en y son mutuamente ortonormales: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle .}$ ${\displaystyle \left(e_{n}\right)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}~m=n\\0&{\mbox{if}}~m\neq n.\end{cases}}}$

Entonces la identidad de Parseval afirma que para cada ${\displaystyle x\in H,}$ $${\displaystyle \sum _{n}\left|\left\langle x,e_{n}\right\rangle \right|^{2}=\|x\|^{2}.}$$

Esto es directamente análogo al teorema de Pitágoras , que afirma que la suma de los cuadrados de los componentes de un vector en una base ortonormal es igual a la longitud al cuadrado del vector. Se puede recuperar la versión de la serie de Fourier de la identidad de Parseval dejando que sea el espacio de Hilbert y estableciendo para ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ],}$ ${\displaystyle e_{n}={\frac {e^{-inx}}{\sqrt {2\pi }}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

En términos más generales, la identidad de Parseval se cumple en cualquier espacio de producto interno , no solo en espacios de Hilbert separables. Por lo tanto, supongamos que es un espacio de producto interno. Sea una base ortonormal de ; es decir, un conjunto ortonormal que es total en el sentido de que el espacio lineal de es denso en Entonces ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H.}$ $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.}$$

El supuesto de que es total es necesario para la validez de la identidad. Si no es total, entonces la igualdad en la identidad de Parseval debe reemplazarse por la desigualdad de Bessel . Esta forma general de la identidad de Parseval puede demostrarse utilizando el teorema de Riesz-Fischer . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \,\geq ,}$

Véase también

• Teorema de Parseval  – Teorema en matemáticas

Referencias

• "Igualdad de Parseval", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Análisis numérico (2.ª ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3.
• Titchmarsh, E (1939), La teoría de funciones (2.ª ed.), Oxford University Press.
• Zygmund, Antoni (1968), Series trigonométricas (2.ª ed.), Cambridge University Press (publicado en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.