Hipotrocoide

Curva trazada por un punto fuera de un círculo que rueda dentro de otro círculo

La curva roja es una hipotrocoide dibujada a medida que el círculo negro más pequeño gira dentro del círculo azul más grande (los parámetros son R = 5, r = 3, d = 5 ).

En geometría , un hipotrocoide es una ruleta trazada por un punto unido a un círculo de radio r que rueda alrededor del interior de un círculo fijo de radio R , donde el punto está a una distancia d del centro del círculo interior.

Las ecuaciones paramétricas para un hipotrocoide son: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}}$

donde θ es el ángulo formado por la horizontal y el centro del círculo rodante (estas no son ecuaciones polares porque θ no es el ángulo polar). Cuando se mide en radianes, θ toma valores de 0 a (donde MCM es el mínimo común múltiplo ). ${\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {LCM} (r,R)}{R}}}$

Los casos especiales incluyen la hipocicloide con d = r y la elipse con R = 2 r y d ≠ r . ^[2] La excentricidad de la elipse es

${\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}$

convirtiéndose en 1 cuando (ver pareja Tusi ). ${\displaystyle d=r}$

La elipse (dibujada en rojo) puede expresarse como un caso especial del hipotrocoide, con R = 2 r ( par de Tusi ); aquí R = 10, r = 5, d = 1 .

El clásico juguete Spirograph traza curvas hipotrocoides y epitrocoides .

Los hipotrocoides describen el soporte de los valores propios de algunas matrices aleatorias con correlaciones cíclicas. ^[3]

Véase también

• Cicloide
• Ciclogón
• Epicicloide
• Rosetta (órbita)
• Precesión absidal
• Espirógrafo

Referencias

1. J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. págs. 165-168. ISBN. 0-486-60288-5.
2. Gray, Alfred (29 de diciembre de 1997). Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (segunda edición). CRC Press. pág. 906. ISBN 9780849371646.
3. Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 de julio de 2019). "Ley hipotrocoídica universal para matrices aleatorias con correlaciones cíclicas". Physical Review E . 100 (1): 010302. arXiv : 1812.07055 . Código Bibliográfico :2019PhRvE.100a0302A. doi :10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID  31499759. S2CID  119325369.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hipotrocoide". MundoMatemático .
• Animación Flash de Hipocicloide
• Hipotrocoide del Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
• Animación interactiva de hipotrocoide
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Hipotrocoide", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews