En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio lineal , afín o proyectivo S. Las preguntas sobre una disposición de hiperplano A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas u otras propiedades del complemento , M ( A ), que es el conjunto que queda cuando los hiperplanos se eliminan de todo el espacio. Uno puede preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición y su semired de intersección. La semired de intersección de A , escrita L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios se encuentran el propio S , todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío). Estos subespacios de intersección de A también se denominan pisos de A. La semired de intersección L ( A ) está parcialmente ordenada por inclusión inversa .
Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; Esta disposición suele denominarse disposición de líneas . Históricamente, las disposiciones reales de líneas fueron las primeras disposiciones investigadas. Si S es tridimensional, se tiene una disposición de planos .
La semired de intersección L ( A ) es una semired de encuentro y más específicamente es una semired geométrica. Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no está vacía, la red de intersección es una red geométrica . (Esta es la razón por la que la semired debe ordenarse por inclusión inversa, en lugar de por inclusión, lo que podría parecer más natural pero no produciría una (semi)red geométrica).
Cuando L ( A ) es una red, la matroide de A , escrita M ( A ), tiene A como su conjunto básico y tiene una función de rango r ( S ) := codim ( I ), donde S es cualquier subconjunto de A e I es la intersección de los hiperplanos en S . En general, cuando L ( A ) es una semired, hay una estructura análoga similar a una matroide llamada semimatroide, que es una generalización de una matroide (y tiene la misma relación con la semired de intersección que la matroide con la red en el caso de red), pero no es una matroide si L ( A ) no es una red.
Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ): = la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B está vacío. El polinomio característico de A , escrito p A ( y ), puede definirse por
sumado sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección está vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como −1). Este polinomio ayuda a resolver algunas preguntas básicas; vea abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio del número de Whitney w A ( x , y ), definido por
sumado B ⊆ C ⊆ A tal que f ( B ) no está vacío.
Al ser una red geométrica o semired, L ( A ) tiene un polinomio característico, p L ( A ) ( y ), que tiene una teoría extensa (ver matroide ). Por lo tanto, es bueno saber que p A ( y ) = y i p L ( A ) ( y ), donde i es la dimensión más pequeña de cualquier plano, excepto que en el caso proyectivo es igual a y i + 1 p L ( A ) ( y ). El polinomio del número de Whitney de A está relacionado de manera similar con el de L ( A ). (El conjunto vacío se excluye de la semired en el caso afín específicamente para que estas relaciones sean válidas).
La semired de intersección determina otro invariante combinatorio del arreglo, el álgebra de Orlik-Solomon. Para definirlo, fije un subanillo conmutativo K del campo base y forme el álgebra exterior E del espacio vectorial
generado por los hiperplanos. Una estructura compleja de cadena se define en E con el operador de límite habitual . El álgebra de Orlik-Solomon es entonces el cociente de E por el ideal generado por elementos de la forma para los cuales tienen intersección vacía, y por límites de elementos de la misma forma para los cuales tiene codimensión menor que p .
En el espacio afín real , el complemento está desconectado: está formado por piezas separadas llamadas celdas o regiones o cámaras , cada una de las cuales es una región acotada que es un politopo convexo , o una región ilimitada que es una región poliédrica convexa que va hacia el infinito. Cada piso de A también está dividido en pedazos por los hiperplanos que no contienen el piso; estas piezas se llaman caras de A. Las regiones son caras porque todo el espacio es plano. Las caras de la codimensión 1 pueden denominarse facetas de A. La semired de caras de un arreglo es el conjunto de todas las caras, ordenadas por inclusión . Agregar un elemento superior adicional a la semired de la cara da como resultado la red de la cara .
En dos dimensiones (es decir, en el plano afín real ), cada región es un polígono convexo (si está acotado) o una región poligonal convexa que se extiende hasta el infinito.
Los problemas típicos sobre una disposición en un espacio real de n dimensiones son decir cuántas regiones hay, o cuántas caras de dimensión 4, o cuántas regiones acotadas. Estas preguntas pueden responderse simplemente desde la semired de intersección. Por ejemplo, dos teoremas básicos, de Zaslavsky (1975), son que el número de regiones de una disposición afín es igual a (−1) n p A (−1) y el número de regiones acotadas es igual a (−1) n p A ( 1). De manera similar, el número de k caras dimensionales o caras acotadas se puede leer como el coeficiente de x n − k en (−1) n w A (− x , −1) o (−1) n w A (− x , 1).
Meiser (1993) diseñó un algoritmo rápido para determinar la cara de una disposición de hiperplanos que contiene un punto de entrada.
Otra cuestión sobre una disposición en el espacio real es decidir cuántas regiones son simples (la generalización n -dimensional de triángulos y tetraedros ). Esto no se puede responder basándose únicamente en la semired de intersección. El problema de McMullen pide la disposición más pequeña de una dimensión dada en posición general en el espacio proyectivo real para la cual no existe una celda tocada por todos los hiperplanos.
Una disposición lineal real tiene, además de su semired de caras, un conjunto de regiones , uno diferente para cada región. Este poset se forma eligiendo una región base arbitraria, B 0 , y asociando con cada región R el conjunto S ( R ) que consta de los hiperplanos que separan R de B . Las regiones están parcialmente ordenadas de modo que R 1 ≥ R 2 si S ( R 1 , R ) contiene S ( R 2 , R ). En el caso especial en el que los hiperplanos surgen de un sistema de raíces , el poset resultante es el grupo Weyl correspondiente con el orden débil. En general, el conjunto de regiones se clasifica según el número de hiperplanos que las separan y se ha calculado su función de Möbius (Edelman 1984).
Vadim Schechtman y Alexander Varchenko introdujeron una matriz indexada por regiones. El elemento matricial de la región y viene dado por el producto de variables indeterminadas para cada hiperplano H que separa estas dos regiones. Si estas variables están especializadas para tener todos valores q, entonces esto se denomina matriz q (sobre el dominio euclidiano ) para la disposición y mucha información está contenida en su forma normal de Smith .
En el espacio afín complejo (que es difícil de visualizar porque incluso el plano afín complejo tiene cuatro dimensiones reales), el complemento está conectado (todo de una sola pieza) con agujeros de donde se eliminaron los hiperplanos.
Un problema típico acerca de una disposición en un espacio complejo es describir los agujeros.
El teorema básico sobre arreglos complejos es que la cohomología del complemento M ( A ) está completamente determinada por la semired de intersección. Para ser precisos, el anillo de cohomología de M ( A ) (con coeficientes enteros) es isomorfo al álgebra de Orlik-Solomon en Z.
El isomorfismo se puede describir explícitamente y ofrece una presentación de la cohomología en términos de generadores y relaciones, donde los generadores se representan (en la cohomología de De Rham ) como formas diferenciales logarítmicas.
con cualquier forma lineal que defina el hiperplano genérico de la disposición.
A veces es conveniente permitir que el hiperplano degenerado , que es todo el espacio S , pertenezca a un arreglo. Si A contiene el hiperplano degenerado, entonces no tiene regiones porque el complemento está vacío. Sin embargo, todavía tiene pisos, una semired de intersección y caras. La discusión anterior supone que el hiperplano degenerado no está en la disposición.
A veces uno quiere permitir hiperplanos repetidos en la disposición. No consideramos esta posibilidad en la discusión anterior, pero no supone ninguna diferencia material.
![{\displaystyle \mathbb {Q} [q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb8eacebeb38984c2dc0ddf1e0bf6c1fa1b8737)
