paraboloide

Superficie cuádrica con un eje de simetría y sin centro de simetría

Paraboloide de revolución

En geometría , un paraboloide es una superficie cuádrica que tiene exactamente un eje de simetría y ningún centro de simetría . El término "paraboloide" se deriva de parábola , que se refiere a una sección cónica que tiene una propiedad similar de simetría.

Cada sección plana de un paraboloide por un plano paralelo al eje de simetría es una parábola. El paraboloide es hiperbólico si cada dos secciones del plano es una hipérbola o dos líneas que se cruzan (en el caso de una sección por un plano tangente). El paraboloide es elíptico si cada dos secciones del plano no vacío es una elipse o un solo punto (en el caso de una sección por un plano tangente). Un paraboloide es elíptico o hiperbólico.

De manera equivalente, un paraboloide puede definirse como una superficie cuádrica que no es un cilindro y tiene una ecuación implícita cuya parte de grado dos puede factorizarse sobre los números complejos en dos factores lineales diferentes. El paraboloide es hiperbólico si los factores son reales; elíptica si los factores son conjugados complejos .

Un paraboloide elíptico tiene forma de copa ovalada y tiene un punto máximo o mínimo cuando su eje es vertical. En un sistema de coordenadas adecuado con tres ejes x , y y z , se puede representar mediante la ecuación ^[1] donde a y b son constantes que dictan el nivel de curvatura en los planos xz e yz respectivamente. En esta posición, el paraboloide elíptico se abre hacia arriba. $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico (no confundir con hiperboloide ) es una superficie doblemente reglada con forma de silla de montar . En un sistema de coordenadas adecuado, un paraboloide hiperbólico se puede representar mediante la ecuación ^{[2] [3].} En esta posición, el paraboloide hiperbólico se abre hacia abajo a lo largo del eje x y hacia arriba a lo largo del eje y (es decir, la parábola en el el plano x = 0 abre hacia arriba y la parábola en el plano y = 0 abre hacia abajo). $${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

Cualquier paraboloide (elíptico o hiperbólico) es una superficie de traslación , pues puede ser generada por una parábola en movimiento dirigida por una segunda parábola.

Propiedades y aplicaciones

paraboloide elíptico

Malla poligonal de un paraboloide circular.

paraboloide circular

En un sistema de coordenadas cartesiano adecuado , un paraboloide elíptico tiene la ecuación $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

Si a = b , un paraboloide elíptico es un paraboloide circular o paraboloide de revolución . Es una superficie de revolución que se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje.

Un paraboloide circular contiene círculos. Esto también es cierto en el caso general (ver sección Circular ).

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva , un paraboloide elíptico es un elipsoide tangente al plano en el infinito .

Secciones planas

Las secciones planas de un paraboloide elíptico pueden ser:

• una parábola , si el plano es paralelo al eje,
• un punto , si el plano es tangente .
• una elipse o vacía , en caso contrario.

reflector parabólico

En el eje de un paraboloide circular, hay un punto llamado foco ( o punto focal ), de modo que, si el paraboloide es un espejo, la luz (u otras ondas) de una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo. , paralelo al eje del paraboloide. Esto también funciona al revés: un haz de luz paralelo al eje del paraboloide se concentra en el punto focal. Para obtener una prueba, consulte Parábola § Prueba de la propiedad reflectante .

Por tanto, la forma de un paraboloide circular se utiliza ampliamente en astronomía para reflectores parabólicos y antenas parabólicas.

La superficie de un líquido en rotación también es un paraboloide circular. Se utiliza en telescopios de espejo líquido y en la fabricación de espejos telescópicos sólidos (ver horno giratorio ).

• 
  Los rayos paralelos que llegan a un espejo parabólico circular se reflejan hacia el punto focal, F , o viceversa.
• 
  reflector parabólico
• Girando agua en un vaso.

paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico con líneas contenidas en él.

Los snacks fritos Pringles tienen forma de paraboloide hiperbólico.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada : contiene dos familias de líneas mutuamente oblicuas . Las rectas de cada familia son paralelas a un plano común, pero no entre sí. Por tanto, el paraboloide hiperbólico es un conoide .

Estas propiedades caracterizan a los paraboloides hiperbólicos y se utilizan en una de las definiciones más antiguas de paraboloides hiperbólicos: un paraboloide hiperbólico es una superficie que puede generarse por una línea en movimiento que es paralela a un plano fijo y cruza dos líneas oblicuas fijas .

Esta propiedad simplifica la fabricación de un paraboloide hiperbólico a partir de una variedad de materiales y para diversos propósitos, desde techos de concreto hasta bocadillos. En particular, los snacks fritos Pringles se parecen a un paraboloide hiperbólico truncado. ^[4]

Un paraboloide hiperbólico es una superficie de silla de montar , ya que su curvatura de Gauss es negativa en todos los puntos. Por tanto, aunque se trata de una superficie reglada, no es urbanizable .

Desde el punto de vista de la geometría proyectiva , un paraboloide hiperbólico es un hiperboloide de una hoja que es tangente al plano en el infinito .

Un paraboloide hiperbólico de ecuación o (esto es lo mismo hasta una rotación de ejes ) puede denominarse paraboloide hiperbólico rectangular , por analogía con las hipérbolas rectangulares . ${\displaystyle z=axy}$ ${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

Secciones planas

Un paraboloide hiperbólico con hipérbolas y parábolas.

Una sección plana de un paraboloide hiperbólico con ecuación puede ser $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• una recta , si el plano es paralelo al eje z y tiene una ecuación de la forma , ${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• una parábola , si el plano es paralelo al eje z y la sección no es una línea,
• un par de rectas que se cruzan , si el plano es tangente ,
• una hipérbola , en caso contrario.

Modelo de paraboloide hiperbólico STL

Ejemplos en arquitectura

Los techos a dos aguas son a menudo paraboloides hiperbólicos, ya que se construyen fácilmente a partir de secciones rectas de material. Algunos ejemplos:

• Pabellón Philips Expo '58, Bruselas (1958)
• IIT Delhi - Techo de la sala Dogra
• Catedral de Santa María, Tokio , Japón (1964)
• Iglesia de San Ricardo, Ham , en Ham, Londres, Inglaterra (1966)
• Catedral de Santa María de la Asunción , San Francisco, California, Estados Unidos (1971)
• Saddledome en Calgary, Alberta, Canadá (1983)
• Scandinavium en Gotemburgo, Suecia (1971)
• L'Oceanogràfic en Valencia, España (2003)
• Velopark de Londres , Inglaterra (2011)
• Centro de actividades y ocio Waterworld , Wrexham , Gales (1970)
• Techo de la estación de servicio Markham Moor , A1 (en dirección sur), Nottinghamshire, Inglaterra
• Café "Kometa", distrito de Sokol, Moscú, Rusia (1960). Arquitecto V.Volodin, ingeniero N.Drozdov. Demolido.

• 
  Estación de tren Warszawa Ochota , un ejemplo de estructura paraboloide hiperbólica
• 
  Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico.
• 
  Restaurante Los Manantiales, Xochimilco, México
• 
  Cubiertas de paraboloide hiperbólico de capa delgada en L'Oceanogràfic , Valencia, España (tomada en 2019)
• 
  Techo de la estación de servicio Markham Moor, Nottinghamshire (foto de 2009)

Cilindro entre lápices de paraboloides elípticos e hiperbólicos.

paraboloide elíptico, cilindro parabólico, paraboloide hiperbólico

El lápiz de los paraboloides elípticos y el lápiz de los paraboloides hiperbólicos se acercan a la misma superficie para , que es un cilindro parabólico (ver imagen). $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$ $${\displaystyle z=x^{2}}$$ ${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

Curvatura

El paraboloide elíptico, parametrizado simplemente porque tiene curvatura gaussiana y curvatura media , que son siempre positivas, tiene su máximo en el origen, se vuelve más pequeño a medida que un punto de la superficie se aleja del origen y tiende asintóticamente a cero como dicho punto. se aleja infinitamente del origen. $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

El paraboloide hiperbólico, ^[2] cuando está parametrizado tiene curvatura gaussiana y curvatura media $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

Representación geométrica de la tabla de multiplicar.

Si el paraboloide hiperbólico se gira un ángulo de ⁠ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$π/4⁠ en la dirección + z (según la regla de la mano derecha ), el resultado es la superficie y si a = b entonces esto se simplifica a Finalmente, dejando a = √ 2 , vemos que el paraboloide hiperbólico es congruente con la superficie que puede Se puede considerar como la representación geométrica (un nomograma tridimensional, por así decirlo) de una tabla de multiplicar . $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$ $${\displaystyle z=xy}$$

Las dos funciones parabólicas R ² → R y son conjugadas armónicas , y juntas forman la función analítica que es la continuación analítica de la función parabólica R → R f ( x ) = ⁠ $${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$ $${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$x2^​/2⁠ .

Dimensiones de un plato parabólico.

Las dimensiones de un plato parabólico simétrico están relacionadas mediante la ecuación donde F es la distancia focal, D es la profundidad del plato (medida a lo largo del eje de simetría desde el vértice hasta el plano del borde) y R es el radio de la llanta. Todos deben estar en la misma unidad de longitud . Si se conocen dos de estas tres longitudes, esta ecuación se puede utilizar para calcular la tercera. $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

Se necesita un cálculo más complejo para encontrar el diámetro del plato medido a lo largo de su superficie . A esto a veces se le llama "diámetro lineal" y equivale al diámetro de una lámina de material plana y circular, generalmente metal, que tiene el tamaño adecuado para cortarla y doblarla para hacer el plato. Dos resultados intermedios son útiles en el cálculo: P = 2 F (o el equivalente: P = ⁠R ²/2D​⁠ ) ​​y Q = √ P ² + R ² , donde F , D y R se definen como anteriormente. El diámetro del plato, medido a lo largo de la superficie, viene dado entonces por donde ln x significa el logaritmo natural de x , es decir, su logaritmo en base e . $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

El volumen del plato, la cantidad de líquido que podría contener si el borde fuera horizontal y el vértice en la parte inferior (por ejemplo, la capacidad de un wok paraboloidal ), viene dado por donde los símbolos se definen como arriba. Esto se puede comparar con las fórmulas para los volúmenes de un cilindro ( π R ² D ), un hemisferio ( ⁠ $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$2π/3⁠ R ² D , donde D = R ), y un cono ( ⁠π/3⁠ R ² D ). π R ² es el área de apertura del plato, el área encerrada por el borde, que es proporcional a la cantidad de luz solar que un plato reflector puede interceptar. El área de superficie de un plato parabólico se puede encontrar usando la fórmula del área para una superficie de revolución que da $${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Elipsoide  : superficie cuádrica que parece una esfera deformada.
• Hiperboloide  : superficie cuádrica ilimitada
• Altavoz parabólico  : altavoz con forma parabólica que produce ondas planas coherentes.
• Reflector parabólico  : reflector que tiene forma de paraboloide.

Referencias

1. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass ; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 892.ISBN​ 0-321-18558-7.
2. Weisstein, Eric W. "Paraboloide hiperbólico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicParaboloid.html
3. Thomas, George B.; Maurice D. Weir; Joel Hass; Frank R. Giordiano (2005). Cálculo de Thomas 11ª ed . Pearson Education, Inc. pág. 896.ISBN​ 0-321-18558-7.
4. Zill, Dennis G.; Wright, Warren S. (2011), Cálculo: primeros trascendentales, Jones & Bartlett Publishers, p. 649, ISBN 9781449644482.

enlaces externos

• Medios relacionados con el paraboloide en Wikimedia Commons