Matriz hueca

Varios tipos de matrices matemáticas que contienen ceros

En matemáticas , una matriz hueca puede referirse a una de varias clases relacionadas de matrices : una matriz dispersa; una matriz con un gran bloque de ceros; o una matriz con entradas diagonales todas cero.

Definiciones

Escaso

Una matriz hueca puede ser una con "pocas" entradas distintas de cero: es decir, una matriz dispersa . ^[1]

Bloque de ceros

Una matriz hueca puede ser una matriz cuadrada n × n con un bloque r × s de ceros donde r + s > n . ^[2]

Entradas diagonales todas cero

Una matriz hueca puede ser una matriz cuadrada cuyos elementos diagonales son todos iguales a cero. ^[3] Es decir, una matriz n × n A = ( a _ij ) es hueca si a _ij = 0 siempre que i = j (es decir, a _ii = 0 para todo i ). El ejemplo más obvio es la matriz antisimétrica real . Otros ejemplos son la matriz de adyacencia de un grafo simple finito y una matriz de distancia o matriz de distancia euclidiana .

En otras palabras, cualquier matriz cuadrada que tome la forma es una matriz hueca, donde el símbolo denota una entrada arbitraria. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\ast &&\ast &\ast \\\ast &0&&\ast &\ast \\&&\ddots \\\ast &\ast &&0&\ast \\\ast &\ast &&\ast &0\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \ast }$

Por ejemplo, es una matriz hueca. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&6&{\frac {1}{3}}&4\\2&0&4&8&0\\9&4&0&2&933\\1&4&4&0&6\\7&9&23&8&0\end{pmatrix}}}$$

Propiedades

• La traza de una matriz hueca es cero.
• Si A representa una función lineal con respecto a una base fija , entonces asigna cada vector base e al complemento del intervalo de e . Es decir, donde ${\displaystyle L:V\to V}$ ${\displaystyle L(\langle e\rangle )\cap \langle e\rangle =\langle 0\rangle }$ ${\displaystyle \langle e\rangle =\{\lambda e:\lambda \in F\}.}$
• El teorema del círculo de Gershgorin muestra que los módulos de los valores propios de una matriz hueca son menores o iguales a la suma de los módulos de las entradas de las filas no diagonales.

Referencias

1. Pierre Massé (1962). Decisiones óptimas de inversión: reglas de acción y criterios de elección . Prentice-Hall . pág. 142.
2. Paul Cohn (2006). Anillos ideales libres y localización en anillos generales . Cambridge University Press . pág. 430. ISBN. 0-521-85337-0.
3. James E. Gentle (2007). Álgebra matricial: teoría, cálculos y aplicaciones en estadística. Springer-Verlag . p. 42. ISBN 978-0-387-70872-0.