Función holonómica

Tipos de funciones en el análisis matemático

En matemáticas , y más específicamente en análisis , una función holonómica es una función suave de varias variables que es una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales con coeficientes polinómicos y satisface una condición de dimensión adecuada en términos de la teoría de D-módulos . Más precisamente, una función holonómica es un elemento de un módulo holonómico de funciones suaves. Las funciones holonómicas también pueden describirse como funciones diferenciablemente finitas , también conocidas como funciones D-finitas . Cuando una serie de potencias en las variables es la expansión de Taylor de una función holonómica, la sucesión de sus coeficientes, en uno o varios índices, también se llama holonómica . Las sucesiones holonómicas también se denominan sucesiones P-recursivas : se definen recursivamente por recurrencias multivariadas satisfechas por toda la sucesión y por especializaciones adecuadas de esta. La situación se simplifica en el caso univariante: cualquier secuencia univariante que satisfaga una relación de recurrencia homogénea lineal con coeficientes polinomiales, o equivalentemente una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes polinomiales, es holonómica. ^[1]

Funciones y sucesiones holonómicas en una variable

Definiciones

Sea un campo de característica 0 (por ejemplo, o ). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$

Una función se llama D-finita (u holonómica ) si existen polinomios tales que ${\displaystyle f=f(x)}$ ${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

se cumple para todo x . Esto también se puede escribir como donde ${\displaystyle Af=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

y es el operador diferencial que se asigna a . se llama operador aniquilador de f (los operadores aniquiladores de forman un ideal en el anillo , llamado aniquilador de ). La cantidad r se llama orden del operador aniquilador. Por extensión, se dice que la función holonómica f es de orden r cuando existe un operador aniquilador de dicho orden. ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$ ${\displaystyle f}$

Una secuencia se llama P-recursiva (u holonómica ) si existen polinomios tales que ${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

se cumple para todo n . Esto también se puede escribir como donde ${\displaystyle Ac=0}$

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

y el operador de desplazamiento que se asigna a . se denomina operador aniquilador de c (los operadores aniquiladores de forman un ideal en el anillo , llamado aniquilador de ). La cantidad r se denomina orden del operador aniquilador. Por extensión, se dice que la secuencia holonómica c es de orden r cuando existe un operador aniquilador de dicho orden. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$ ${\displaystyle c}$

Las funciones holonómicas son precisamente las funciones generadoras de secuencias holonómicas: si es holonómica, entonces los coeficientes en la expansión de la serie de potencias ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

forman una sucesión holonómica. Por el contrario, para una sucesión holonómica dada , la función definida por la suma anterior es holonómica (esto es cierto en el sentido de serie de potencias formales , incluso si la suma tiene un radio de convergencia cero ). ${\displaystyle c_{n}}$

Propiedades del cierre

Las funciones (o sucesiones) holonómicas satisfacen varias propiedades de clausura . En particular, las funciones (o sucesiones) holonómicas forman un anillo . Sin embargo, no están cerradas bajo división y, por lo tanto, no forman un cuerpo .

Si y son funciones holonómicas, entonces las siguientes funciones también son holonómicas: ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$, donde y son constantes ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$(el producto de Cauchy de las sucesiones)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(el producto Hadamard de las secuencias)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}f_{k})x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$, donde es cualquier función algebraica . Sin embargo, generalmente no es holonómica. ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle a(f(x))}$

Una propiedad crucial de las funciones holonómicas es que las propiedades de cierre son efectivas: dados operadores aniquiladores para y , un operador aniquilador para tal como se define usando cualquiera de las operaciones anteriores se puede calcular explícitamente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Ejemplos de funciones y sucesiones holonómicas

Algunos ejemplos de funciones holonómicas incluyen:

• Todas las funciones algebraicas , incluidas las funciones polinómicas y racionales.
• las funciones seno y coseno (pero no tangente, cotangente, secante o cosecante)
• Las funciones seno y coseno hiperbólicos (pero no las funciones tangente, cotangente, secante o cosecante hiperbólicas)
• Funciones exponenciales y logaritmos (en cualquier base)
• La función hipergeométrica generalizada , considerada como una función de con todos los parámetros , mantenidos fijos. ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• La función de error ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• las funciones de Bessel , , , ${\displaystyle J_{n}(x)}$ ${\displaystyle Y_{n}(x)}$ ${\displaystyle I_{n}(x)}$ ${\displaystyle K_{n}(x)}$
• Las funciones de Airy , ${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

La clase de funciones holonómicas es un superconjunto estricto de la clase de funciones hipergeométricas. Entre los ejemplos de funciones especiales que son holonómicas pero no hipergeométricas se incluyen las funciones de Heun .

Algunos ejemplos de secuencias holonómicas incluyen:

• la secuencia de números de Fibonacci y, más generalmente, todas las secuencias recursivas constantes ${\displaystyle F_{n}}$
• La secuencia de factoriales ${\displaystyle n!}$
• la secuencia de coeficientes binomiales (como funciones de n o k ) ${\displaystyle {n \choose k}}$
• la secuencia de números armónicos , y más generalmente para cualquier entero m ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$
• La secuencia de números catalanes
• la secuencia de números de Motzkin .
• la secuencia de trastornos .

Las funciones hipergeométricas, las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos , además de ser funciones holonómicas de su variable, son también sucesiones holonómicas respecto de sus parámetros. Por ejemplo, las funciones de Bessel y satisfacen la recurrencia lineal de segundo orden . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$

Ejemplos de funciones y secuencias no holonómicas

Algunos ejemplos de funciones no holonómicas incluyen:

• La función ^[2] ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
• la función tan( x ) + sec( x ) ^[3]
• El cociente de dos funciones holonómicas generalmente no es holonómico.

Algunos ejemplos de secuencias no holonómicas incluyen:

• Los números de Bernoulli
• los números de permutaciones alternas ^[4]
• los números de particiones enteras ^[3]
• Los números ^[3] ${\displaystyle \log(n)}$
• los números donde ^[3] ${\displaystyle n^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$
• Los números primos ^[3]
• las enumeraciones de permutaciones irreducibles y conexas . ^[5]

Algoritmos y software

Las funciones holonómicas son una herramienta poderosa en el álgebra computacional . Una función o secuencia holonómica puede representarse mediante una cantidad finita de datos, es decir, un operador de aniquilación y un conjunto finito de valores iniciales, y las propiedades de clausura permiten realizar operaciones como pruebas de igualdad, suma e integración de manera algorítmica. En los últimos años, estas técnicas han permitido proporcionar pruebas automatizadas de una gran cantidad de identidades combinatorias y de funciones especiales.

Además, existen algoritmos rápidos para evaluar funciones holonómicas con precisión arbitraria en cualquier punto del plano complejo y para calcular numéricamente cualquier entrada en una secuencia holonómica.

El software para trabajar con funciones holonómicas incluye:

• El paquete HolonomicFunctions [1] para Mathematica , desarrollado por Christoph Koutschan, que permite calcular propiedades de cierre y demostrar identidades para funciones holonómicas univariadas y multivariadas.
• La biblioteca algolib [2] para Maple , que incluye los siguientes paquetes:
  • gfun , desarrollado por Bruno Salvy, Paul Zimmermann y Eithne Murray, para propiedades de cierre univariado y para demostrar [3]
  • mgfun , desarrollado por Frédéric Chyzak, para propiedades de cierre multivariado y demostración [4]
  • numgfun , desarrollado por Marc Mezzarobba, para evaluación numérica

Véase también

Diccionario dinámico de funciones matemáticas Archivado 2010-07-06 en Wayback Machine , un software en línea, basado en funciones holonómicas para estudiar automáticamente muchas funciones clásicas y especiales (evaluación en un punto, serie de Taylor y expansión asintótica para cualquier precisión dada por el usuario, ecuación diferencial, recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor, derivada, integral indefinida, representación gráfica, ...)

Notas

1. Véase Zeilberger 1990 y Kauers & Paule 2011.
2. Esto se deduce del hecho de que la función tiene infinitas singularidades ( complejas ), mientras que las funciones que satisfacen una ecuación diferencial lineal con coeficientes polinomiales necesariamente tienen sólo un número finito de puntos singulares. ${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}}$
3. Véase Flajolet, Gerhold y Salvy 2005.
4. Esto se deduce del hecho de que la función tan( x ) + sec( x ) es una función no holonómica. Véase Flajolet, Gerhold y Salvy 2005.
5. Véase Klazar 2003.

Referencias

• Flajolet, Philippe; Gerhold, Stefan; Salvy, Bruno (2005), "Sobre el carácter no holonómico de los logaritmos, las potencias y la función prima n-ésima", Electronic Journal of Combinatorics , 11 (2), doi : 10.37236/1894 , S2CID  184136.
• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Combinatoria analítica . Cambridge University Press. ISBN 978-0521898065.
• Kauers, Manuel; Paule, Peter (2011). El tetraedro concreto: sumas simbólicas, ecuaciones de recurrencia, funciones generadoras, estimaciones asintóticas . Texto y monografías sobre computación simbólica. Springer. ISBN 978-3-7091-0444-6.
• Klazar, Martin (2003). "Permutaciones irreducibles y conexas" (PDF) .(Preimpresión de la serie ITI)
• Mallinger, Christian (1996). Manipulaciones y transformaciones algorítmicas de funciones y secuencias holonómicas univariadas (PDF) (Tesis) . Consultado el 4 de junio de 2013 .
• Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa . Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56069-6.
• Zeilberger, Doron (1990). "Un enfoque de sistemas holonómicos para identidades de funciones especiales". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 32 (3): 321–368. doi : 10.1016/0377-0427(90)90042-X . ISSN  0377-0427. MR  1090884.
• Kauers, Manuel (2023). Funciones D-Finitas. Algoritmos y computación en matemáticas. Vol. 30. Springer. doi :10.1007/978-3-031-34652-1. ISBN 978-3-031-34652-1.