Cónicas de Kiepert

Curvas cónicas asociadas a un triángulo

En geometría de triángulos , las cónicas de Kiepert son dos cónicas especiales asociadas al triángulo de referencia. Una de ellas es una hipérbola , llamada hipérbola de Kiepert y la otra es una parábola , llamada parábola de Kiepert . Las cónicas de Kiepert se definen de la siguiente manera:

Si los tres triángulos , y , construidos sobre los lados de un triángulo como bases, son semejantes, isósceles y están situados de forma similar, entonces los triángulos y están en perspectiva . Como el ángulo de la base de los triángulos isósceles varía entre y , el lugar geométrico del centro de perspectiva de los triángulos y es una hipérbola llamada hipérbola de Kiepert y la envolvente de su eje de perspectiva es una parábola llamada parábola de Kiepert. ${\displaystyle A^{\prime }BC}$ ${\displaystyle AB^{\prime }C}$ ${\displaystyle ABC^{\prime }}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$ ${\displaystyle -\pi /2}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$

Se ha demostrado que la hipérbola de Kiepert es la hipérbola que pasa por los vértices, el barítono y el ortocentro del triángulo de referencia y la parábola de Kiepert es la parábola inscrita en el triángulo de referencia que tiene como directriz la recta de Euler y como foco el centro del triángulo X ₁₁₀ . ^[1] La siguiente cita de un artículo de RH Eddy y R. Fritsch es testimonio suficiente para establecer la importancia de las cónicas de Kiepert en el estudio de la geometría de triángulos: ^[2]

"Si un visitante de Marte quisiera aprender la geometría del triángulo pero sólo pudiera permanecer en la atmósfera relativamente densa de la Tierra el tiempo suficiente para recibir una única lección, los matemáticos terrestres tendrían, sin duda, dificultades para satisfacer esta petición. En este artículo, creemos que tenemos una solución óptima para el problema. Las cónicas de Kiepert..."

Hipérbola de Kiepert

La hipérbola de Kiepert fue descubierta por Ludwig Kiepert mientras investigaba la solución del siguiente problema propuesto por Emile Lemoine en 1868: "Construir un triángulo, dados los picos de los triángulos equiláteros construidos en los lados". Ludwig Kiepert publicó una solución al problema en 1869 y la solución contenía una observación que efectivamente establecía la definición del lugar geométrico de la hipérbola de Kiepert a la que se aludió anteriormente. ^[2]

Datos básicos

Sean las longitudes de los lados y los ángulos del vértice del triángulo de referencia . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle ABC}$

Ecuación

La ecuación de la hipérbola de Kiepert en coordenadas baricéntricas es ${\displaystyle x:y:z}$

${\displaystyle {\frac {b^{2}-c^{2}}{x}}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.}$

Centro, asíntotas

• El centro de la hipérbola de Kiepert es el centro del triángulo X(115). Las coordenadas baricéntricas del centro son

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})^{2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}}$.

• Las asíntotas de la hipérbola de Kiepert son las líneas de Simson de las intersecciones del eje de Brocard con la circunferencia circunscrita .
• La hipérbola de Kiepert es una hipérbola rectangular y, por lo tanto, su excentricidad es . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Propiedades

Propiedad 4, simulación con K movida sobre la hipérbola de Kiepert y P movida sobre la FK , F=X(14)-el primer punto de Fermat

1. El centro de la hipérbola de Kiepert se encuentra en el círculo de nueve puntos . El centro es el punto medio del segmento de línea que une los centros isogónicos del triángulo , que son los centros del triángulo X(13) y X(14) en la Enciclopedia de centros de triángulos. ${\displaystyle ABC}$
2. La imagen de la hipérbola de Kiepert bajo la transformación isogonal es el eje de Brocard del triángulo , que es la línea que une el punto simediano y el circuncentro . ${\displaystyle ABC}$
3. Sea un punto en el plano de un triángulo no equilátero y sea la polar trilineal de con respecto a . El lugar geométrico de los puntos tal que es perpendicular a la línea de Euler de es la hipérbola de Kiepert. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ABC}$
4. Sea ABC un triángulo con F como primer (o segundo) punto de Fermat , sea K un punto arbitrario en la hipérbola de Kiepert . Sea P un punto arbitrario en la recta FK . La recta que pasa por P y es perpendicular a BC corta a AK en A _0. Definamos B ₀ , C ₀ cíclicamente, entonces A ₀ B ₀ C ₀ es un triángulo equilátero . ^[3]

Parábola de Kiepert

La parábola de Kiepert fue estudiada por primera vez en 1888 por un profesor de matemáticas alemán, Augustus Artzt, en un "programa escolar". ^{[2] [4]}

Datos básicos

• La ecuación de la parábola de Kiepert en coordenadas baricéntricas es ${\displaystyle x:y:z}$

${\displaystyle f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-2fgxy-2ghyz-2hfzx=0}$
dónde .
${\displaystyle f=(b^{2}-c^{2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c}$

• El foco de la parábola de Kiepert es el centro del triángulo X(110). Las coordenadas baricéntricas del foco son

${\displaystyle a^{2}/(b^{2}-c^{2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2})}$

• La directriz de la parábola de Kiepert es la línea de Euler del triángulo . ${\displaystyle ABC}$

Imágenes

• 
  Hipérbola de Kiepert que muestra el centro de perspectiva de los triángulos ABC y A'B'C'
• 
  Hipérbola de Kiepert que muestra el ortocentro, el incentro y las asíntotas perpendiculares
• 
  Parábola de Kiepert del triángulo ABC. La figura muestra también un miembro (línea LMN) de la familia de líneas cuya envolvente es la parábola de Kiepert.
• 
  Parábola de Kiepert que muestra el foco y la directriz

Véase también

• Triángulo cónico
• Geometría triangular moderna

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hiperbola de Kiepert". MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 5 de febrero de 2022 .
• Weisstein, Eric W. "Parábola de Kiepert". MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 5 de febrero de 2022 .

Referencias

1. Kimberling, C. «X(110)=Foco de la parábola de Kiepert». Enciclopedia de centros de triángulos . Consultado el 4 de febrero de 2022 .
2. Eddy, RH; Fritsch, R. (1994). "Las cónicas de Ludwig Kiepert: una lección completa sobre la geometría del triángulo". Math. Mag . 67 (3): 188–205. doi :10.1080/0025570X.1994.11996212.
3. Dao Thanh Oai (2018), "Algunos nuevos triángulos equiláteros en una geometría plana". Global J Adv Res Classical Mod Geometries Vol 7, número 2, páginas 73-91.
4. Sharp, J. (2015). "Parábolas de Artzt de un triángulo". La Gaceta Matemática . 99 (546): 444–463. doi :10.1017/mag.2015.81. S2CID  123814409.