Línea central (geometría)

En geometría , las líneas centrales son ciertas líneas rectas especiales que se encuentran en el plano de un triángulo . La propiedad especial que distingue a una línea recta como línea central se manifiesta a través de la ecuación de la línea en coordenadas trilineales . Esta propiedad especial también está relacionada con el concepto de centro del triángulo . El concepto de línea central fue introducido por Clark Kimberling en un artículo publicado en 1994. ^[1]^[2]

Definición

Sea $△ ABC$ un triángulo plano y sean $x : y : z$ las coordenadas trilineales de un punto arbitrario en el plano del triángulo $△ ABC$ .

Una línea recta en el plano de $△ ABC$ cuya ecuación en coordenadas trilineales tiene la forma donde el punto con coordenadas trilineales es un centro de un triángulo, es una línea central en el plano de $△$ $ABC$ con respecto a $△$ $ABC$ . ^[2]^[3]^[4] $f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0$ $f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)$

Líneas centrales como polares trilineales

La relación geométrica entre una línea central y su centro triangular asociado se puede expresar utilizando los conceptos de polares trilineales y conjugados isogonales .

Sea un triángulo con centro. La recta cuya ecuación es es la polar trilineal del triángulo con centro $X$ . ^[2]^[5] Además el punto es el conjugado isogonal del triángulo con centro $X$ . $X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)$ ${\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0$ $Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}$

Por lo tanto, la línea central dada por la ecuación es la polar trilineal de la conjugada isogonal del centro del triángulo. $f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0$ $f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c).$

Construcción de líneas centrales

Sea $X$ cualquier triángulo centro de $△ ABC$ .

Dibuje las líneas $AX, BX, CX$ y sus reflexiones en las bisectrices internas de los ángulos en los vértices $A, B, C$ respectivamente.
Las líneas reflejadas son concurrentes y el punto de concurrencia es el conjugado isogonal $Y$ de $X.$
Sean las cevianas $AY, BY, CY$ las que se encuentran en las líneas laterales opuestas de △ $ABC en$ A $', B', C'$ respectivamente. El triángulo $△ A'B'C'$ es el triángulo ceviano de $Y.$
El triángulo $△ ABC$ y el triángulo ceviano $△ A'B'C'$ están en perspectiva y sea DEF $el$ eje de perspectiva de los dos triángulos. La línea DEF $es$ la polar trilineal del punto $Y.$ $DEF$ es la línea central asociada al centro del triángulo $X.$

Algunas líneas centrales nombradas

Sea $X n$ el $n-$ ésimo centro del triángulo en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . La línea central asociada con $X$ $n$ se denota por $L$ $n$ . A continuación se indican algunas de las líneas centrales nombradas.

Línea central asociada aincógnita1, el incentro: Eje antiórtico

La línea central asociada con el incentro $X 1 = 1 : 1 : 1$ (también denotado por $I$ ) es Esta línea es el eje antiórtico de $△$ $ABC$ . ^[6] $x+y+z=0.$

El conjugado isogonal del incentro de $△ ABC$ es el propio incentro. Por lo tanto, el eje antiórtico, que es la línea central asociada al incentro, es el eje de perspectividad de $△ ABC$ y su triángulo incentral (el triángulo ceviano del incentro de $△ ABC$ ).
El eje antiórtico de $△ ABC$ es el eje de perspectividad de $△ ABC$ y el triángulo excentral $△ I 1 I 2 I 3$ de $△ ABC$ . ^[7]
El triángulo cuyos lados son tangentes externamente a los círculos extraídos de $△ ABC$ es el triángulo extangente de $△ ABC$ . $△ ABC$ y su triángulo extangente están en perspectiva y el eje de perspectividad es el eje antiórtico de $△ ABC$ .

Línea central asociada aincógnita2, el centroide: eje de Lemoine

Las coordenadas trilineales del centroide $X 2$ (también denotado por $G$ ) de $△ ABC$ son: Entonces, la línea central asociada con el centroide es la línea cuya ecuación trilineal es Esta línea es el eje de Lemoine , también llamado línea de Lemoine , de $△$ $ABC$ . ${\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}$ ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.$

El conjugado isogonal del centroide $X 2$ es el punto simediano $X 6$ (también denotado por $K$ ) que tiene coordenadas trilineales $a : b : c$ . Por lo tanto, el eje de Lemoine de $△ ABC$ es el polar trilineal del punto simediano de $△ ABC$ .
El triángulo tangencial de $△ ABC$ es el triángulo $△ T A T B T C$ formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita de $△ ABC$ en sus vértices. $△ ABC$ y su triángulo tangencial están en perspectiva y el eje de perspectividad es el eje de Lemoine de $△ ABC$ .

Línea central asociada aincógnita3, el circuncentro: eje órtico

Las coordenadas trilineales del circuncentro $X 3$ (también denotado por $O$ ) de $△ ABC$ son: Por lo que la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es Esta línea es el eje órtico de $△$ $ABC$ . ^[8] $\cos A:\cos B:\cos C$ $x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.$

El conjugado isogonal del circuncentro $X 3$ es el ortocentro $X 4$ (también denotado por $H$ ) que tiene coordenadas trilineales $sec A : sec B : sec C$ . Por lo tanto, el eje órtico de $△ ABC$ es el polar trilineal del ortocentro de $△ ABC$ . El eje órtico de $△ ABC$ es el eje de perspectividad de $△ ABC$ y su triángulo órtico $△ H A H B H C$ . También es el eje radical del circuncírculo del triángulo y del círculo de nueve puntos.

Línea central asociada aincógnita4, el ortocentro

Las coordenadas trilineales del ortocentro $X 4$ (también denotado por $H$ ) de $△ ABC$ son: Por lo que la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es $\seg A:\seg B:\seg C$ $x\seg A+y\seg B+z\seg C=0.$

El conjugado isogonal del ortocentro de un triángulo es el circuncentro del triángulo. Por lo tanto, la línea central asociada al ortocentro es la polar trilineal del circuncentro.

Línea central asociada aincógnita5, el centro de nueve puntos

Las coordenadas trilineales del centro de nueve puntos $X 5$ (también denotado por $N$ ) de $△ ABC$ son: ^[9] Por lo tanto, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es la línea cuya ecuación trilineal es $\cos(BC):\cos(CA):\cos(AB).$ $x\cos(BC)+y\cos(CA)+z\cos(AB)=0.$

El conjugado isogonal del centro de nueve puntos de $△ ABC$ es el punto Kosnita $X 54$ de $△ ABC$ . ^[10]^[11] Por lo tanto, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es el polar trilineal del punto Kosnita.
El punto de Kosnita se construye de la siguiente manera. Sea $O$ el circuncentro de $△ ABC$ . Sean $O A, O B, O C$ los circuncentros de los triángulos $△ BOC, △ COA, △ AOB$ respectivamente. Las rectas $AO A, BO B, CO C$ son concurrentes y el punto de concurrencia es el punto de Kosnita de $△ ABC$ . El nombre se debe a J Rigby. ^[12]

Línea central asociada aincógnita6, el punto simediano: línea en el infinito

Las coordenadas trilineales del punto simediano $X 6$ (también denotado por $K$ ) de $△ ABC$ son: Por lo que la línea central asociada con el punto simediano es la línea cuya ecuación trilineal es ${\estilo de visualización a:b:c}$ $ax+by+cz=0.$

Esta línea es la línea en el infinito en el plano de $△ ABC$ .
El conjugado isogonal del punto simediano de $△ ABC$ es el baricentro de $△ ABC$ . Por lo tanto, la línea central asociada con el punto simediano es la polar trilineal del baricentro. Este es el eje de perspectividad de $△ ABC$ y su triángulo medial .

Algunas líneas centrales con más nombre

Línea de Euler

La línea de Euler de $△ ABC$ es la línea que pasa por el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el centro de nueve puntos de $△ ABC$ . La ecuación trilineal de la línea de Euler es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo $X$ $647$ . $x\sin 2A\sin(BC)+y\sin 2B\sin(CA)+z\sin 2C\sin(AB)=0.$

Línea de uñas

La línea de Nagel de $△ ABC$ es la línea que pasa por el baricentro, el incentro, el centro de Spieker y el punto de Nagel de $△ ABC$ . La ecuación trilineal de la línea de Nagel es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo $X$ $649$ . $xa(bc)+yb(ca)+zc(ab)=0.$

Eje de Brocard

El eje de Brocard de $△ ABC$ es la línea que pasa por el circuncentro y el punto simediano de $△ ABC$ . Su ecuación trilineal es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo $X$ $523$ . $x\sin(BC)+y\sin(CA)+z\sin(AB)=0.$

Véase también

Referencias

^ Kimberling, Clark (junio de 1994). "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo". Revista de Matemáticas . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608.
^ abc Kimberling, Clark (1998). Centros de triángulos y triángulos centrales. Winnipeg, Canadá: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. p. 285.
^ Weisstein, Eric W. "Central Line". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 24 de junio de 2012 .
^ Kimberling, Clark. «Glosario: Enciclopedia de centros de triángulos». Archivado desde el original el 23 de abril de 2012. Consultado el 24 de junio de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Trilinear Polar". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 28 de junio de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Eje antiórtico". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 28 de junio de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Eje antiórtico". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 26 de junio de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Eje órtico". De MathWorld--Un recurso web de Wolfram .
^ Weisstein, Eric W. "Nine-Point Center". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 29 de junio de 2012 .
^ Weisstein, Eric W. "Kosnita Point". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 29 de junio de 2012 .
↑ Darij Grinberg (2003). "Sobre el punto Kosnita y el triángulo de reflexión" (PDF) . Forum Geometricorum . 3 : 105–111 . Consultado el 29 de junio de 2012 .
^ J. Rigby (1997). "Breves notas sobre algunos teoremas geométricos olvidados". Mathematics & Informatics Quarterly . 7 : 156–158.