stringtranslate.com

Línea central (geometría)

En geometría , las líneas centrales son ciertas líneas rectas especiales que se encuentran en el plano de un triángulo . La propiedad especial que distingue a una línea recta como línea central se manifiesta a través de la ecuación de la línea en coordenadas trilineales . Esta propiedad especial también está relacionada con el concepto de centro del triángulo . El concepto de línea central fue introducido por Clark Kimberling en un artículo publicado en 1994. [1] [2]

Definición

Sea ABC un triángulo plano y sean x  : y  : z las coordenadas trilineales de un punto arbitrario en el plano del triángulo ABC .

Una línea recta en el plano de ABC cuya ecuación en coordenadas trilineales tiene la forma donde el punto con coordenadas trilineales es un centro de un triángulo, es una línea central en el plano de ABC con respecto a ABC . [2] [3] [4]

Líneas centrales como polares trilineales

La relación geométrica entre una línea central y su centro triangular asociado se puede expresar utilizando los conceptos de polares trilineales y conjugados isogonales .

Sea un triángulo con centro. La recta cuya ecuación es es la polar trilineal del triángulo con centro X . [2] [5] Además el punto es el conjugado isogonal del triángulo con centro X .

Por lo tanto, la línea central dada por la ecuación es la polar trilineal de la conjugada isogonal del centro del triángulo.

Construcción de líneas centrales

Sea X cualquier triángulo centro de ABC .

Algunas líneas centrales nombradas

Sea X n el n- ésimo centro del triángulo en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . La línea central asociada con X n se denota por L n . A continuación se indican algunas de las líneas centrales nombradas.

Eje antiórtico como eje de perspectividad de ABC y su triángulo excentral.

Línea central asociada aincógnita1, el incentro: Eje antiórtico

La línea central asociada con el incentro X 1 = 1 : 1 : 1 (también denotado por I ) es Esta línea es el eje antiórtico de ABC . [6]

Línea central asociada aincógnita2, el centroide: eje de Lemoine

Las coordenadas trilineales del centroide X 2 (también denotado por G ) de ABC son: Entonces, la línea central asociada con el centroide es la línea cuya ecuación trilineal es Esta línea es el eje de Lemoine , también llamado línea de Lemoine , de ABC .

Línea central asociada aincógnita3, el circuncentro: eje órtico

Las coordenadas trilineales del circuncentro X 3 (también denotado por O ) de ABC son: Por lo que la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es Esta línea es el eje órtico de ABC . [8]

Línea central asociada aincógnita4, el ortocentro

Las coordenadas trilineales del ortocentro X 4 (también denotado por H ) de ABC son: Por lo que la línea central asociada con el circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es

Línea central asociada aincógnita5, el centro de nueve puntos

Las coordenadas trilineales del centro de nueve puntos X 5 (también denotado por N ) de ABC son: [9] Por lo tanto, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es la línea cuya ecuación trilineal es

Línea central asociada aincógnita6, el punto simediano: línea en el infinito

Las coordenadas trilineales del punto simediano X 6 (también denotado por K ) de ABC son: Por lo que la línea central asociada con el punto simediano es la línea cuya ecuación trilineal es

Algunas líneas centrales con más nombre

Línea de Euler

La línea de Euler de ABC es la línea que pasa por el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el centro de nueve puntos de ABC . La ecuación trilineal de la línea de Euler es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 647 .

Línea de uñas

La línea de Nagel de ABC es la línea que pasa por el baricentro, el incentro, el centro de Spieker y el punto de Nagel de ABC . La ecuación trilineal de la línea de Nagel es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 649 .

Eje de Brocard

El eje de Brocard de ABC es la línea que pasa por el circuncentro y el punto simediano de ABC . Su ecuación trilineal es Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X 523 .

Véase también

Referencias

  1. ^ Kimberling, Clark (junio de 1994). "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo". Revista de Matemáticas . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608.
  2. ^ abc Kimberling, Clark (1998). Centros de triángulos y triángulos centrales. Winnipeg, Canadá: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. p. 285.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Central Line". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 24 de junio de 2012 .
  4. ^ Kimberling, Clark. «Glosario: Enciclopedia de centros de triángulos». Archivado desde el original el 23 de abril de 2012. Consultado el 24 de junio de 2012 .
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Trilinear Polar". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 28 de junio de 2012 .
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Eje antiórtico". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 28 de junio de 2012 .
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Eje antiórtico". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 26 de junio de 2012 .
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Eje órtico". De MathWorld--Un recurso web de Wolfram .
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Nine-Point Center". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 29 de junio de 2012 .
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Kosnita Point". De MathWorld--A Wolfram Web Resource . Consultado el 29 de junio de 2012 .
  11. Darij Grinberg (2003). "Sobre el punto Kosnita y el triángulo de reflexión" (PDF) . Forum Geometricorum . 3 : 105–111 . Consultado el 29 de junio de 2012 .
  12. ^ J. Rigby (1997). "Breves notas sobre algunos teoremas geométricos olvidados". Mathematics & Informatics Quarterly . 7 : 156–158.